Fecho

Em topologia, o fecho ou aderência de um subespaço topológico S de X é o menor fechado de X que contém S.

O fecho de um conjunto X {\displaystyle X} , denotado por X ¯ {\displaystyle {\overline {X}}} , é o conjunto formado pelos seus pontos aderentes.^[1]

Um conjunto é considerado fechado se é igual ao seu fecho. Ou seja, quando contém todos os seus pontos aderentes.^[2]

• O fecho de S é a intersecção de todos os fechados que contêm S;
• O fecho de um conjunto X ( X ¯ {\displaystyle {\overline {X}}} ) é obtido acrescentando-se a X os seus pontos de acumulação, ou seja, é a união de dois conjuntos, X e X ′ {\displaystyle X'} (=conjunto dos pontos aderentes): X ¯ = X ∪ X ′ {\displaystyle {\overline {X}}=X\cup X'} ^[3]. Por exemplo, se tomarmos o conjunto aberto X = ( 0 , 3 ) {\displaystyle X=\left(0,3\right)} , então seu fecho será o conjunto fechado X ¯ = X ∪ X ′ = [ 0 , 3 ] {\displaystyle {\overline {X}}=X\cup X'=\left[0,3\right]} ^[4].

O fecho de S é a união de S com a sua fronteira.

• O fecho do conjunto Q {\displaystyle \mathbb {Q} } dos números racionais é a reta R {\displaystyle \mathbb {R} } . Também o fecho do conjunto ( R − Q ) {\displaystyle (\mathbb {R} -\mathbb {Q} )} dos números irracionais é R {\displaystyle \mathbb {R} } . Q {\displaystyle \mathbb {Q} } e ( R − Q ) {\displaystyle (\mathbb {R} -\mathbb {Q} )} não são conjuntos fechados.^[5]
• O fecho de uma bola aberta é uma bola fechada.^[2]

• Lima, Elon Lages (1981). Curso de análise, Volume 2. Instituto de Matemática Pura e Aplicada. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada 

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