Esfera

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A esfera pode ser definida como "uma sequência de pontos alinhados em todos os sentidos à mesma distância de um centro comum". É tida também como um sólido geométrico formado por uma superfície curva contínua, cujos pontos estão equidistantes de um outro fixo e interior chamado centro, ou seja: é uma superfície fechada de tal forma que todos os pontos dela estão à mesma distância de seu centro; ou ainda: de qualquer ponto de vista de sua superfície, a distância ao centro é a mesma. A esfera pode ser obtida através do movimento de rotação de um semicírculo em torno de seu diâmetro.

Uma esfera é um objeto tridimensional perfeitamente simétrico.^[1] Na matemática, o termo se refere à superfície de uma bola. Na física, esfera é um objeto (usado muitas vezes por causa de sua simplicidade) capaz de colidir ou chocar-se com outros objetos que ocupam espaço.

Quanto à geometria analítica, uma esfera é representada (em coordenadas retangulares) pela equação: ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 + ( z − c ) 2 ≤ r 2 {\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}\leq r^{2}} em que a, b, c são as coordenadas do centro da esfera nos eixos x, y, z respectivamente, e r é o raio da esfera. A esfera é uma forma circular ou seja esférica como a forma de uma bola.

A área de uma superfície esférica é obtida pela fórmula:^[2]

A = 4 π r 2 {\displaystyle A=4\pi r^{2}}

O volume de uma esfera é dado pela fórmula:^[2]

V = 4 3 π r 3 {\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}

onde r é o raio da esfera e π é a constante pi.

Calota seria metaforicamente "a tampa de uma laranja", demonstrada pela parte azul no desenho.

Área da calota:

A c = 2 π ⋅ R ⋅ h {\displaystyle Ac=2\pi \cdot R\cdot h}

Área do Segmento Esférico:

A s = A t − A c {\displaystyle As=At-Ac}

Em que, As é a área do segmento, At área total da esfera e, Ac área da calota.

Logo, o volume do segmento é:

V = π ⋅ h 2 3 ⋅ ( 3 ⋅ R − h ) {\displaystyle V={\pi \cdot h^{2} \over 3}\cdot (3\cdot R-h)}

Em azul é o fuso, em cinza é a cunha.

Fuso é uma parte da esfera, podendo ser representada por um "gomo de tangerina" (metaforicamente). Formalmente, o fuso é a interseção da superfície de uma esfera com um diedro cuja aresta contém um diâmetro da mesma.^[2]

Área do fuso:

A f = α 360 ⋅ 4 π ⋅ r 2 {\displaystyle Af={\alpha \over 360}\cdot 4\pi \cdot r^{2}}

α {\displaystyle \alpha } é o ângulo (em graus) do fuso.

Uma cunha é a interseção de uma esfera com um diedro cuja aresta contém um diâmetro da esfera.^[2]

O volume da cunha é:

V c = α 360 ⋅ 4 3 ⋅ π r 3 {\displaystyle Vc={\alpha \over 360}\cdot {4 \over 3}\cdot \pi r^{3}}

Nota-se que a área e o volume da cunha podem ambos ser obtidos subtraindo-se os respectivos valores para o fuso do valor total para a esfera.

O volume de uma semi-esfera é igual a soma dos volumes de discos, concêntricos e de espessura infinitesimal, empilhados ao longo do eixo x, de x = r (y = 0) até x = 0 onde o disco tem raio r (y = r).

Num dado x, o volume incremental (δV) é dado pelo produto da área transversal no ponto x pela largura (δx):

δ V ≈ π y 2 ⋅ δ x . {\displaystyle \delta V\approx \pi y^{2}\cdot \delta x.}

O volume da semi-esfera é o somatório de todos os volumes dos discos infinitesimais.

V 1 2 ≈ ∑ π y 2 ⋅ δ x . {\displaystyle V_{\frac {1}{2}}\approx \sum \pi y^{2}\cdot \delta x.}

No limite em que δx se aproxima de zero fica:

V 1 2 = ∫ x = 0 x = r π y 2 d x . {\displaystyle V_{\frac {1}{2}}=\int _{x=0}^{x=r}\pi y^{2}dx.}

em toda a evolução de "x" o raio da esfera (r) é sempre constante formando um triângulo retângulo conectando x, y e r à origem, obedecendo ao teorema de Pitágoras:

r 2 = x 2 + y 2 . {\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}.}

Substituindo y:

V 1 2 = ∫ x = 0 x = r π ( r 2 − x 2 ) d x . {\displaystyle V_{\frac {1}{2}}=\int _{x=0}^{x=r}\pi (r^{2}-x^{2})dx.}

Calculando a integral:

V 1 2 = π [ r 2 x − x 3 3 ] x = 0 x = r = π ( r 3 − r 3 3 ) = 2 3 π r 3 . {\displaystyle V_{\frac {1}{2}}=\pi \left[r^{2}x-{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{x=0}^{x=r}=\pi \left(r^{3}-{\frac {r^{3}}{3}}\right)={\frac {2}{3}}\pi r^{3}.}

Que é o valor da semi-esfera. Dobrando este valor temos o volume total da esfera:

V = 4 3 π r 3 . {\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.}

Uma vez provado o volume, podemos demonstrar a área da superfície a partir deste resultado (que se explica ao entender que uma esfera é a composição de "cascas de esfera" de espessura infinitesimal, "uma dentro da outra"):

4 3 π r 3 = ∫ 0 r A ( r ) d r . {\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}=\int _{0}^{r}A(r)dr.}

Usando a primeira parte do teorema fundamental do cálculo, onde F ( r ) = ∫ 0 r A ( r ) d r {\displaystyle F(r)=\int _{0}^{r}A(r)dr} , temos que F ′ ( r ) = A ( r ) {\displaystyle F'(r)=A(r)} , logo:

4 π r 2 = A ( r ) . {\displaystyle 4\pi r^{2}=A(r).}

Que pode ser abreviada como:

A = 4 π r 2 . {\displaystyle A=4\pi r^{2}.}

A área também pode ser obtida usando coordenadas esféricas. Um elemento infinitesimal de área de superfície da esfera, em coordenadas esféricas é dado por:

d A = r 2 s e n θ d θ d ϕ . {\displaystyle dA=r^{2}\mathrm {sen} \,\theta \,d\theta \,d\phi .}

Logo, a área total será:

A = ∫ 0 2 π ∫ 0 π r 2 s e n θ d θ d ϕ   = 4 π r 2 . {\displaystyle A=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }r^{2}\mathrm {sen} \,\theta \,d\theta \,d\phi \ =4\pi r^{2}.}

Em geometria analítica, uma esfera com centro (x₀, y₀, z₀) e raio r é o lugar geométrico tal que:

( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 + ( z − z 0 ) 2 = r 2 . {\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}.}

Na forma parametrizada

x = x 0 + r c o s θ sen ⁡ φ {\displaystyle x=x_{0}+r\mathrm {cos} \,\theta \;\operatorname {sen} \varphi }

y = y 0 + r s e n θ s e n φ ( 0 ≤ θ ≤ 2 π  e  0 ≤ φ ≤ π ) {\displaystyle y=y_{0}+r\mathrm {sen} \,\theta \;\mathrm {sen} \,\varphi \qquad (0\leq \theta \leq 2\pi {\mbox{ e }}0\leq \varphi \leq \pi )}

z = z 0 + r cos ⁡ φ {\displaystyle z=z_{0}+r\cos \varphi }

• Esfera tridimensional
• Bola e esfera

• Venturi, Jacir J. (2003). Cônicas e Quádricas (PDF). Curitiba: Unificado. 246 páginas. ISBN 85-85132-48-5