Cardioide

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Em geometria, o cardioide é um epicicloide que possui somente uma ponta. Isto é, um cardioide é uma curva que pode ser produzida como um locus — traçando-se o caminho de um dado ponto de um círculo, que rola sem cair ao redor de um outro círculo, que é fixo mas que tem o mesmo raio do círculo rolante.^[1]

O cardioide é também um tipo especial de limaçon: é o limaçon de uma ponta. (A ponta é formada quando o raio de a até b na equação é igual a um).

Um cardioide é uma curva matemática cuja forma se assemelha à de um coração. Por este motivo, recebe o nome derivado do grego kardioeides = kardia:coração + eidos:forma.

Comparado ao símbolo ♥ entretanto, um cardioide não termina em uma ponta fina. Ele tem mais a forma do contorno da seção em cruz de uma ameixa.

O cardioide é um transformador inverso de uma parábola.

A grande figura preta central em um conjunto Mandelbrot é um cardioide. Este cardioide é cercado por uma arranjo fractal de círculos.

Uma vez que o cardioide é uma epiciclóide com uma ponta, as equações paramétricas do cardioide são:

x ( θ ) = ρ ( θ ) cos ⁡ θ = ( 1 + cos ⁡ θ ) ⋅ cos ⁡ θ = cos ⁡ θ + 1 2 + 1 2 cos ⁡ 2 θ , {\displaystyle x(\theta )=\rho (\theta )\cos \theta =(1+\cos \theta )\cdot \cos \theta =\cos \theta +{1 \over 2}+{1 \over 2}\cos 2\theta ,\qquad \qquad }

y ( θ ) = ρ ( θ ) sin ⁡ θ = ( 1 + cos ⁡ θ ) ⋅ sin ⁡ θ = sin ⁡ θ + 1 2 sin ⁡ 2 θ . {\displaystyle y(\theta )=\rho (\theta )\sin \theta =(1+\cos \theta )\cdot \sin \theta =\sin \theta +{1 \over 2}\sin 2\theta .\qquad \qquad }

A mesma curva pode ser definida em coordenadas polares pela equação:

ρ ( θ ) = 1 + cos ⁡ θ .   {\displaystyle \rho (\theta )=1+\cos \theta .\ }

quatro gráficos dos cardioides^[2] orientados nos quatro sentidos cardeais, com suas respectivas equações polares.

A área de um cardioide a que seja cogruente com

ρ ( θ ) = a ( 1 − cos ⁡ θ ) {\displaystyle \rho (\theta )=a(1-\cos \theta )}

é

A = 3 2 π a 2 {\displaystyle A={3 \over 2}\pi a^{2}} ^[3].

Basta verificar que

A = ∫ 0 2 π ∫ 0 ρ ( θ ) r d r d θ = 3 2 π a 2 {\displaystyle \displaystyle A=\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\rho (\theta )}rdrd\theta ={\frac {3}{2}}\pi a^{2}}

Essa área é facilmente calculada utilizando o Teorema de Green para um campo vetorial cuja circulação seja igual a 1

F → ( x , y ) = ( − y 2 , x 2 ) {\displaystyle {\vec {F}}(x,y)=\left(-{\frac {y}{2}},{\frac {x}{2}}\right)}

pois, pelo Teorema

∮ C F → ⋅ d l → = ∮ C L d x + M d y = ∬ R [ ∂ ∂ x x 2 − ∂ ∂ y ( − y 2 ) ] d A = ∬ R d A {\displaystyle \oint \limits _{C}{\vec {F}}\cdot d{\vec {l}}=\oint \limits _{C}Ldx+Mdy=\iint \limits _{R}\left[{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {x}{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}\left(-{\frac {y}{2}}\right)\right]dA=\iint \limits _{R}dA}

então basta calcular a circulação ao longo da cardioide

P → ( θ ) = ( r ( θ ) cos ⁡ θ , r ( θ )   s e n   θ ) {\displaystyle {\vec {P}}(\theta )=\left(r(\theta )\cos \theta ,r(\theta )~\mathrm {sen} ~\theta \right)} )

no campo F → ( x , y ) {\displaystyle {\vec {F}}(x,y)} , onde:

• P x = r ( θ ) cos ⁡ θ {\displaystyle P_{x}=r(\theta )\cos \theta } ;
• P y = r ( θ )   s e n   θ {\displaystyle P_{y}=r(\theta )~\mathrm {sen} ~\theta } ;
• L = − P y 2 {\displaystyle L=-{\frac {P_{y}}{2}}} ;
• M = P x 2 {\displaystyle M={\frac {P_{x}}{2}}} ;

A = ∮ P F → ( P x , P y ) ⋅ P →   ′ ( θ ) d θ = 1 2 ∮ P P x d y − P y d x = 1 2 ∮ P ( r 2   s e n 2 θ + r 2 cos 2 ⁡ θ ) d θ = a 2 2 ∫ 0 2 π ( 1 + cos ⁡ θ ) 2 d θ {\displaystyle A=\oint \limits _{P}{\vec {F}}(P_{x},P_{y})\cdot {\vec {P}}~'(\theta )d\theta ={\frac {1}{2}}\oint \limits _{P}P_{x}dy-P_{y}dx={\frac {1}{2}}\oint \limits _{P}\left(r^{2}~\mathrm {sen} ^{2}\theta +r^{2}\cos ^{2}\theta \right)d\theta ={\frac {a^{2}}{2}}\int \limits _{0}^{2\pi }\left(1+\cos \theta \right)^{2}d\theta } = a 2 2 ∫ 0 2 π ( 1 + 2 cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ ) d θ = a 2 2 ∫ 0 2 π ( 1 + 2 cos ⁡ θ + 1 + cos ⁡ 2 θ 2 ) d θ = a 2 2 [ θ + θ 2 ] 0 2 π = 3 2 a 2 π {\displaystyle ={\frac {a^{2}}{2}}\int \limits _{0}^{2\pi }\left(1+2\cos \theta +\cos ^{2}\theta \right)d\theta ={\frac {a^{2}}{2}}\int \limits _{0}^{2\pi }\left(1+2\cos \theta +{\frac {1+\cos 2\theta }{2}}\right)d\theta ={\frac {a^{2}}{2}}\left[\theta +{\frac {\theta }{2}}\right]_{0}^{2\pi }={\frac {3}{2}}a^{2}\pi }

• Wittgenstein's rod
• microphone#Directionality

• «Hearty Munching on Cardioids». at cut-the-knot 
• Xah Lee, Cardioid (1998) (This site provides a number of alternative constructions).
• Jan Wassenaar, Cardiod, (2005) in 862 two-dimensional mathematical curves.