Base ortogonal

Em matemática, na teoria da álgebra linear, uma base ortogonal para um espaço vetorial com produto interno V é uma base para V cujos vetores são mutuamente ortogonais. Se os vetores de uma base ortogonal forem normalizados, a base resultante é uma base ortonormal.

Qualquer base ortogonal pode ser usada para definir um sistema de coordenadas ortogonais V. Bases ortogonais (não necessariamente ortonormais) são importantes devido à sua ocorrência a partir de coordenadas ortogonais curvilíneas nos espaços euclidianos, bem como nas variedades riemannianas e pseudoriemanniana.

Em análise funcional, uma base ortonormal é qualquer base obtida a partir de uma base ortonormal (ou base de Hilbert) por meio da multiplicação por escalares não nulos.

O conceito de base ortogonal (mas não ortonormal) aplica-se a um espaço vetorial V (sobre qualquer corpo) equipado com uma forma bilinear simétrica ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ , {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle ,} em que a ortogonalidade dos vetores v e w significa ⟨ v , w ⟩ = 0. {\displaystyle \langle v,w\rangle =0.} Para uma base ortogonal {e_k} : ⟨ e j , e k ⟩ = { q ( e k ) j = k 0 j ≠ k , {\displaystyle \langle \mathbf {e} _{j},\mathbf {e} _{k}\rangle =\left\{{\begin{array}{ll}q(\mathbf {e} _{k})&j=k\\0&j\neq k\end{array}}\right.\quad ,} em que q é uma forma quadrática associada a ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ : {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :} q ( v ) = ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle q(v)=\langle \cdot ,\cdot \rangle } (em um espaço com produto interno q ( v ) = | v | 2 {\displaystyle q(v)=|v|^{2}} ). Assim, ⟨ v , w ⟩ = ∑ k q ( e k ) v k w k   , {\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\sum \limits _{k}q(\mathbf {e} _{k})v^{k}w^{k}\ ,} em que v^k e w^k são componentes de v e w em {e_k} .

• Base ortonormal
• Base (álgebra linear)
• Subespaço vetorial
• Corpo (matemática)
• Teorema da base de Hilbert
• Espaço vetorial
• Espaço de Hilbert
• Forma bilinear simétrica

• Lang, Serge (2004), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Corrected fourth printing, revised third ed.), New York: Springer-Verlag, pp. 572–585, ISBN 978-0-387-95385-4
• Milnor, J.; Husemoller, D. (1973). Symmetric Bilinear Forms. Col: Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 73. [S.l.]: Springer-Verlag. p. 6. ISBN 3-540-06009-X. Zbl 0292.10016 

• Weisstein, Eric W. «Orthogonal Basis». MathWorld (em inglês) 

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