Acnode

Um acnó é um ponto isolado no conjunto de soluções de uma equação polinomial em duas variáveis reais. Termos equivalentes incluem ponto isolado e ponto eremita. Por exemplo, a equação f ( x , y ) = y 2 + x 2 − x 3 = 0 {\displaystyle f(x,y)=y^{2}+x^{2}-x^{3}=0} tem um acnó na origem, porque é equivalente a y 2 = x 2 ( x − 1 ) {\displaystyle y^{2}=x^{2}(x-1)} e x 2 ( x − 1 ) {\displaystyle x^{2}(x-1)} é não negativo apenas quando x ≥ 1 {\displaystyle x\geq 1} ou x = 0 {\displaystyle x=0} . Assim, sobre os números reais, a equação não tem soluções para x < 1 {\displaystyle x<1} exceto para (0, 0). Em contraste, sobre os números complexos a origem não é isolada, uma vez que existem raízes quadradas de números reais negativos. De facto, o conjunto de soluções complexas de uma equação polinomial em duas variáveis complexas nunca pode ter um ponto isolado. Um acnó é um ponto crítico, ou singularidade, da função polinomial que o define, no sentido de que ambas as derivadas parciais ∂ f ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}} e ∂ f ∂ y {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}} se anulam. Além disso, a matriz hessiana das segundas derivadas será positiva definida ou negativa definida, uma vez que a função deve ter um mínimo local ou um máximo local na singularidade.

Ponto isolado no conjunto de soluções de uma equação polinomial em duas variáveis reais

Um acnó é um ponto isolado no conjunto de soluções de uma equação polinomial em duas variáveis reais. Termos equivalentes incluem ponto isolado e ponto eremita.^[1]

Por exemplo, a equação

f ( x , y ) = y 2 + x 2 − x 3 = 0 {\displaystyle f(x,y)=y^{2}+x^{2}-x^{3}=0}

tem um acnó na origem, porque é equivalente a

y 2 = x 2 ( x − 1 ) {\displaystyle y^{2}=x^{2}(x-1)}

e x 2 ( x − 1 ) {\displaystyle x^{2}(x-1)} é não negativo apenas quando x ≥ 1 {\displaystyle x\geq 1} ou x = 0 {\displaystyle x=0} . Assim, sobre os números reais, a equação não tem soluções para x < 1 {\displaystyle x<1} exceto para (0, 0).

Em contraste, sobre os números complexos a origem não é isolada, uma vez que existem raízes quadradas de números reais negativos. De facto, o conjunto de soluções complexas de uma equação polinomial em duas variáveis complexas nunca pode ter um ponto isolado.

Um acnó é um ponto crítico, ou singularidade, da função polinomial que o define, no sentido de que ambas as derivadas parciais ∂ f ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}} e ∂ f ∂ y {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}} se anulam. Além disso, a matriz hessiana das segundas derivadas será positiva definida ou negativa definida, uma vez que a função deve ter um mínimo local ou um máximo local na singularidade.

Ver também

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• Ponto singular de uma curva
• Crunode (nó)
• Cúspide
• Tacnó

Referências

1. ↑ Hazewinkel, M. (2001), «Acnode», in: Hazewinkel, Michiel, Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer 

• Porteous, Ian (1994). Geometric Differentiation. [S.l.]: Cambridge University Press. p. 47. ISBN 978-0-521-39063-7