Semiwariogram

Semiwariogram – podstawowe narzędzie służące do estymacji i badania struktury zmienności badanych zjawisk w geostatystyce.

Semiwariogram jest miarą definiowaną jako połowa średniej kwadratowej różnicy między dwiema wartościami cechy mierzalnej, pomiędzy którymi odległość równa jest w przybliżeniu wektorowi h. Opisywany jest wzorem:

γ ( h ) = 1 2 N ( h ) ∑ a = 1 N ( h ) [ z ( u α ) − z ( u α + h ) ] 2 , {\displaystyle \gamma (h)={\frac {1}{2N(h)}}\sum \limits _{a=1}^{N(h)}[z(u_{\alpha })-z(u_{\alpha }+h)]^{2},}

gdzie:

z ( u α ) {\displaystyle z(u_{\alpha })} – wartość cechy w lokalizacji wyjściowej,

z ( u α + h ) {\displaystyle z(u_{\alpha }+h)} – wartość cechy w lokalizacji przesuniętej o wektor h.

W literaturze często zamiennie zamiast nazwy semiwariogram można spotkać nazwę wariogram. W celu odróżnienia tych dwóch pojęć niektórzy autorzy stosują następujące rozróżnienia:

• wariogram – 2γ,
• semiwariogram (połowa wartości wariancji) – γ.

Jest to semiwariogram sporządzony na podstawie posiadanych danych.

Algorytm sporządzania:

1. Cały obszar podzielić na klasy kątowe i odległościowe
2. Konkretny punkt (początkowy) obrać jako początek
3. Obliczyć różnicę położenia pomiędzy nim a wszystkimi innymi. Pozwala to zaliczyć pary do odpowiednich klas
4. Dla pary „wpadającej” do danej klasy obliczyć różnicę kwadratową wartości pomiędzy punktami, dodać do pozostałych wartości w danej klasie i zwiększyć liczebność klasy o jeden.
5. Obierać kolejne punkty jako początkowe i kontynuować obliczenia zgodnie z poprzednimi punktami aż do uwzględnienia wszystkich par punktów
6. Podzielić sumę każdej klasy przez dwukrotność liczebności par.

Istnieje grupa dopuszczalnych modeli semiwariogramu do których dopasowuje się uzyskany semiwariogram empiryczny. Często semiwariogram teoretyczny składa się z kilku modeli dopuszczalnych. Uzyskany semiwariogram teoretyczny jest następnie używany między innymi do celów krigingu.

Semiwariogram zmodyfikowany jest semiwariogramem do potęgi ω. Ponadto nawiasy kwadratowe zmieniono na wartości bezwzględne:

γ ω ( h ) = 1 2 N ∑ a = 1 N ( h ) | z ( u α ) − z ( u α + h ) | ω {\displaystyle \gamma _{\omega }(h)={\frac {1}{2N}}\sum \limits _{a=1}^{N(h)}|z(u_{\alpha })-z(u_{\alpha }+h)|^{\omega }}

dla ω ∈ ( 0 , 2 ) . {\displaystyle \omega \in (0,2).}

Semiwariogram o potędze ω = 1 {\displaystyle \omega =1} to madogram, natomiast dla ω = 1 2 {\displaystyle \omega ={\frac {1}{2}}} – rodogram.

Zarówno madogram, jak i rodogram stosowane są w celu redukcji wartości odstających (ekstremalnych bądź chaotycznych), których wpływ (za sprawą potęgowania) widoczny jest przy wykorzystaniu zwykłego semiwariogramu.