Problem bazylejski

Problem bazylejski – zagadnienie w analizie matematycznej, konkretniej w jej podstawowym dziale, czyli analizie rzeczywistej. Polega on na obliczeniu sumy pewnego szeregu – konkretnie sumy odwrotności wszystkich dodatnich liczb kwadratowych:

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = lim n → ∞ ( 1 1 2 + 1 2 2 + … + 1 n 2 ) . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\ldots +{\frac {1}{n^{2}}}\right).}

Problem ten postawiono najpóźniej w XVII wieku, a rozwiązano w następnym stuleciu. Odpowiedź zawiera liczbę pi:

π 2 6 ≈ 1 , 6449. {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}\approx 1,6449.}

Problem ten ogłosił włoski matematyk Pietro Mengoli w 1644 roku. Przez blisko 100 lat nieskutecznie próbowali go rozwiązać czołowi matematycy tamtych czasów, m.in. ród Bernoullich. Zadaniu podołał Leonhard Euler w 1735 roku – miał wówczas 28 lat i zdobył natychmiastową sławę^{[potrzebny przypis]}. W swojej argumentacji użył pewnych zabiegów, które wedle ówczesnej wiedzy nie były w  pełni uprawnione. Ściślejszy dowód podał w roku 1741^{[potrzebny przypis]}.

Nazwa problemu bazylejskiego pochodzi od Bazylei – rodzinnego miasta Bernoullich i Eulera.

Euler w swoim dowodzie rozszerzył obserwacje dotyczące skończonych wielomianów, uznając, że te same właściwości mają wielomiany nieskończone. Jego założenia wymagają uzasadnienia, jednak Euler uznał, że jeżeli jego wynik jest zgodny z wynikiem uzyskanym obliczeniowo, to wystarczy, by ogłosić rezultat swojej pracy w środowisku matematycznym.

Dowód Eulera opierał się na rozwinięciu w szereg Taylora funkcji sinus:

sin ⁡ ( x ) = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + … {\displaystyle \sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots }

Dzieląc stronami przez x otrzymujemy:

sin ⁡ ( x ) x = 1 − x 2 3 ! + x 4 5 ! − x 6 7 ! + … {\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+\ldots }

Miejsca zerowe funkcji sin ⁡ x x {\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}} występują w x = n ⋅ π , {\displaystyle x=n\cdot \pi ,} gdzie n = ± 1 , ± 2 , ± 3 , … {\displaystyle n=\pm 1,\pm 2,\pm 3,\dots }

Załóżmy teraz, że możemy wyrazić ten szereg potęgowy jako iloczyn czynników liniowych, tak jak to robimy ze skończonymi wielomianami:

sin ⁡ ( x ) x = ( 1 − x π ) ( 1 + x π ) ( 1 − x 2 π ) ( 1 + x 2 π ) ( 1 − x 3 π ) ( 1 + x 3 π ) … = ( 1 − x 2 π 2 ) ( 1 − x 2 4 π 2 ) ( 1 − x 2 9 π 2 ) … {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\sin(x)}{x}}&=\left(1-{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{3\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{3\pi }}\right)\ldots \\&=\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\ldots \end{aligned}}}

Gdybyśmy przemnożyli ten iloczyn i zebrali wszystkie składniki zawierające x 2 , {\displaystyle x^{2},} zobaczylibyśmy, że współczynnik przy drugiej potędze rozwinięcia jest równy:

− ( 1 π 2 + 1 4 π 2 + 1 9 π 2 + … ) = − 1 π 2 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 . {\displaystyle -\left({\frac {1}{\pi ^{2}}}+{\frac {1}{4\pi ^{2}}}+{\frac {1}{9\pi ^{2}}}+\ldots \right)=-{\frac {1}{\pi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.}

Jednak w oryginalnym rozwinięciu funkcji sin ⁡ ( x ) x {\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}} w szereg, współczynnik przy x 2 {\displaystyle x^{2}} jest równy −1/(3!) = −1/6. Te dwa współczynniki muszą być sobie równe, zatem:

− 1 6 = − 1 π 2 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 . {\displaystyle -{\frac {1}{6}}=-{\frac {1}{\pi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.}

Mnożąc stronami przez − π 2 , {\displaystyle -\pi ^{2},} otrzymujemy ostateczny wynik:

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6 . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}

Q.e.d.

Euler uogólnił pierwotne zagadnienie. Jego pomysły podjął w 1859 roku Bernhard Riemann w pracy Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe. Zdefiniował tam funkcję dzeta (ζ) i udowodnił jej podstawowe własności.

• Number Theory: An Approach Through History, Andre Weil, Springer, ISBN 0-8176-3141-0.
• Euler: The Master of Us All, William Dunham, MAA, ISBN 0-88385-328-0.
• JohnJ. Derbyshire JohnJ., Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics, Washington, DC: Joseph Henry Press, 2003, ISBN 0-309-08549-7, OCLC 61519857 .
• Proofs From the Book, Martin Aigner, Gunter Ziegler, Springer, ISBN 3-540-67865-4.
• Riemann’s Zeta Function, Harold M. Edwards, Dover, ISBN 0-486-41740-9.

• JarosławJ. Górnicki JarosławJ., Tożsamości Eulera, „Delta”, październik 1990, ISSN 0137-3005 [dostęp 2025-10-19] .
• Jarosław Górnicki, Od bzdury do bingo! (PDF), rocznik „Matematyka – Społeczeństwo – Nauczanie”, Ośrodek Kultury Matematycznej – Uniwersytet w Siedlcach (OKM UwS) [dostęp 2026-02-09].
• JarosławJ. Górnicki JarosławJ., Euler spotyka Ramanujana, „Delta”, lipiec 2024, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-07-07] .
• Grant Sanderson, Why is pi here? And why is it squared? A geometric answer to the Basel problem, kanał 3blue1brown na YouTube, 2 marca 2018 [dostęp 2021-03-14].