Operator Stokesa

Operator Stokesa (operator pochodnej materialnej) – operator różniczkowy stosowany w mechanice do oznaczania różniczkowania wędrownego (inaczej pochodnej substancjalnej lub pochodnej materialnej). Określa tempo zmiany dowolnej własności związanej z elementarną objętością ciała, która może znajdować się w ruchu, w odróżnieniu od różniczkowania lokalnego – związanego z układem odniesienia, który zwykle uznaje się za nieruchomy^[1].

Operator używany w mechanice płynów.

Operator Stokesa zwykle oznaczany jest przez:

D D t {\displaystyle {\frac {D}{Dt}}} lub w sktócie D t . {\displaystyle D_{t}.}

W analizie wędrownej równoważny jest symbolowi:

∂ ∂ t {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}}

różniczkowania cząstkowego względem czasu t . {\displaystyle t.}

Natomiast przy użyciu analizy lokalnej symbol równoważny jest operatorowi:

Zapis klasyczny	D D t = ∂ ∂ t + v x ∂ ∂ x + v y ∂ ∂ y + v z ∂ ∂ z {\displaystyle {\frac {D}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+v_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}}
Zapis indeksowy	D D t = ∂ ∂ t + v i ∇ i {\displaystyle {\frac {D}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+v_{i}\nabla ^{i}}
Zapis absolutny	D D t = ∂ ∂ t + v → ⋅ ∇ → {\displaystyle {\frac {D}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}}

gdzie: v {\displaystyle v} – prędkość elementu ciała, z którym jest stale związana różniczkowana wielkość.

Pierwszy składnik po prawej stronie równania nosi nazwę pochodnej lokalnej, drugi (pozostałe w przypadku zapisu klasycznego) pochodnej konwekcyjnej (unoszenia). Pochodna lokalna określa szybkość zmiany wielkości w danym punkcie wynikającą ze zmiany pola w czasie. Pochodna unoszenia określa szybkość zmiany na skutek przemieszczania się płynu^[1].

Zapisując jawnie różniczkowaną własność jako φ , {\displaystyle \varphi ,} która w ogólności może być dowolnym polem tensorowym, można wyrazić operator Stokesa przez:

D D t ϕ = ( ∂ ∂ t + v → ⋅ ∇ → ) ϕ = ∂ ϕ ∂ t + v → ⋅ ∇ → ϕ . {\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\phi =({\frac {\partial }{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }})\phi ={\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}\phi .}

Jeżeli funkcja różniczkowana jest prędkością, to pochodna jest przyspieszeniem płynu^[1]:

ϕ = v , {\displaystyle \phi =v,}

a = D D t v = ( ∂ ∂ t + v → ⋅ ∇ → ) v = ∂ v ∂ t + v → ⋅ ∇ → v . {\displaystyle a={\frac {D}{Dt}}v=({\frac {\partial }{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }})v={\frac {\partial v}{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}v.}

W układzie współrzędnych Eulera punkt o współrzędnej x → {\displaystyle {\vec {x}}} w chwili t , {\displaystyle t,} znajdzie się w chwili t + Δ t {\displaystyle t+\Delta t} w punkcie x → + Δ x → . {\displaystyle {\vec {x}}+\Delta {\vec {x}}.} Z definicji pochodnej:

D D t ϕ = lim Δ t → 0 ϕ ( t + Δ t , x → + Δ x → ) − ϕ ( t , x → ) Δ t . {\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\phi =\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\phi (t+\Delta t,{\vec {x}}+\Delta {\vec {x}})-\phi (t,{\vec {x}})}{\Delta t}}.}

Oznaczając:

v → ′ = Δ x → Δ t , {\displaystyle {\vec {v}}'={\frac {\Delta {\vec {x}}}{\Delta t}},}

można zauważyć, że:

lim Δ t → 0 v → ′ = v → . {\displaystyle \lim _{\Delta t\to 0}{\vec {v}}'={\vec {v}}.}

Rozwijając różniczkowaną funkcję wokół punktu ( t , x , y , z ) , {\displaystyle (t,x,y,z),} otrzymuje się:

ϕ ( t + Δ t , x → + Δ x → ) = ϕ ( t , x → ) + ∂ ϕ ∂ x → ⋅ Δ x → + ∂ ϕ ∂ t Δ t + O ( Δ x → Δ x → ) + O ( Δ t 2 ) = ϕ ( t , x → ) + ( ∂ ϕ ∂ x → ⋅ v → ′ + ∂ ϕ ∂ t ) Δ t + O ( Δ t 2 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\phi (t+\Delta t,{\vec {x}}+\Delta {\vec {x}})&=\phi (t,{\vec {x}})+{\frac {\partial \phi }{\partial {\vec {x}}}}\cdot \Delta {\vec {x}}+{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\Delta t+{\mathcal {O}}(\Delta {\vec {x}}\,\Delta {\vec {x}})+{\mathcal {O}}(\Delta t^{2})\\&=\phi (t,{\vec {x}})+\left({\frac {\partial \phi }{\partial {\vec {x}}}}\cdot {\vec {v}}'+{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)\Delta t+{\mathcal {O}}(\Delta t^{2}).\end{aligned}}}

Stąd:

D D t ϕ = lim Δ t → 0 ( ∂ ϕ ∂ x → ⋅ v → ′ + ∂ ϕ ∂ t ) = lim Δ t → 0 ( v → ′ ⋅ ∇ → + ∂ ∂ t ) ϕ = ( ∂ ∂ t + v → ⋅ ∇ → ) ϕ . {\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\phi =\lim _{\Delta t\to 0}\left({\frac {\partial \phi }{\partial {\vec {x}}}}\cdot {\vec {v}}'+{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)=\lim _{\Delta t\to 0}\left({\vec {v}}'\cdot {\vec {\nabla }}+{\frac {\partial }{\partial t}}\right)\phi =\left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)\phi .}

Różniczka zupełna funkcji ϕ ( t , x , y , z ) {\displaystyle \phi (t,x,y,z)} ma postać:

d ϕ = ∂ ϕ ∂ t d t + ∂ ϕ ∂ x d x + ∂ ϕ ∂ y d y + ∂ ϕ ∂ z d z , {\displaystyle d\phi ={\frac {\partial \phi }{\partial t}}dt+{\frac {\partial \phi }{\partial x}}dx+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}dy+{\frac {\partial \phi }{\partial z}}dz,}

dzieląc przez d t , {\displaystyle dt,} możemy zapisać:

d ϕ d t = ∂ ϕ ∂ t + ∂ ϕ ∂ x d x d t + ∂ ϕ ∂ y d y d t + ∂ ϕ ∂ z d z d t , {\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}={\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {\partial \phi }{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}{\frac {dy}{dt}}+{\frac {\partial \phi }{\partial z}}{\frac {dz}{dt}},}

uwzględniając, że prędkość v → = [ u , v , w ] = [ d x d t , d y d t , d z d t ] {\displaystyle {\vec {v}}=[u,v,w]=\left[{\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}}\right]} otrzymujemy:

d ϕ d t = ∂ ϕ ∂ t + u ∂ ϕ ∂ x + v ∂ ϕ ∂ y + w ∂ ϕ ∂ z . {\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}={\frac {\partial \phi }{\partial t}}+u{\frac {\partial \phi }{\partial x}}+v{\frac {\partial \phi }{\partial y}}+w{\frac {\partial \phi }{\partial z}}.}

Co można zapisać, używając operatorów:

d ϕ d t = ∂ ϕ ∂ t + v → ⋅ ∇ ϕ . {\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}={\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot \nabla \phi .}

W literaturze oznaczenia d d t {\displaystyle {\frac {d}{dt}}} oraz D D t {\displaystyle {\frac {D}{Dt}}} używane są zamiennie.