Operator Stokesa
Operator Stokesa (operator pochodnej materialnej) – operator różniczkowy stosowany w mechanice do oznaczania różniczkowania wędrownego (inaczej pochodnej substancjalnej lub pochodnej materialnej). Określa tempo zmiany dowolnej własności związanej z elementarną objętością ciała, która może znajdować się w ruchu, w odróżnieniu od różniczkowania lokalnego – związanego z układem odniesienia, który zwykle uznaje się za nieruchomy. Operator używany w mechanice płynów. Operator Stokesa zwykle oznaczany jest przez: D D t {\displaystyle {\frac {D}{Dt}}} lub w sktócie D t . {\displaystyle D_{t}.} W analizie wędrownej równoważny jest symbolowi: ∂ ∂ t {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}} różniczkowania cząstkowego względem czasu t . {\displaystyle t.} Natomiast przy użyciu analizy lokalnej symbol równoważny jest operatorowi: gdzie: v {\displaystyle v} – prędkość elementu ciała, z którym jest stale związana różniczkowana wielkość. Pierwszy składnik po prawej stronie równania nosi nazwę pochodnej lokalnej, drugi (pozostałe w przypadku zapisu klasycznego) pochodnej konwekcyjnej (unoszenia). Pochodna lokalna określa szybkość zmiany wielkości w danym punkcie wynikającą ze zmiany pola w czasie. Pochodna unoszenia określa szybkość zmiany na skutek przemieszczania się płynu. Zapisując jawnie różniczkowaną własność jako φ , {\displaystyle \varphi ,} która w ogólności może być dowolnym polem tensorowym, można wyrazić operator Stokesa przez: D D t ϕ = ( ∂ ∂ t + v → ⋅ ∇ → ) ϕ = ∂ ϕ ∂ t + v → ⋅ ∇ → ϕ . {\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\phi =({\frac {\partial }{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }})\phi ={\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}\phi .} Jeżeli funkcja różniczkowana jest prędkością, to pochodna jest przyspieszeniem płynu: ϕ = v , {\displaystyle \phi =v,} a = D D t v = ( ∂ ∂ t + v → ⋅ ∇ → ) v = ∂ v ∂ t + v → ⋅ ∇ → v . {\displaystyle a={\frac {D}{Dt}}v=({\frac {\partial }{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }})v={\frac {\partial v}{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}v.}
Operator Stokesa (operator pochodnej materialnej) – operator różniczkowy stosowany w mechanice do oznaczania różniczkowania wędrownego (inaczej pochodnej substancjalnej lub pochodnej materialnej). Określa tempo zmiany dowolnej własności związanej z elementarną objętością ciała, która może znajdować się w ruchu, w odróżnieniu od różniczkowania lokalnego – związanego z układem odniesienia, który zwykle uznaje się za nieruchomy[1].
Operator używany w mechanice płynów.
Operator Stokesa zwykle oznaczany jest przez:
- lub w sktócie
W analizie wędrownej równoważny jest symbolowi:
różniczkowania cząstkowego względem czasu
Natomiast przy użyciu analizy lokalnej symbol równoważny jest operatorowi:
| Zapis klasyczny |
|
| Zapis indeksowy |
|
| Zapis absolutny |
|
gdzie: – prędkość elementu ciała, z którym jest stale związana różniczkowana wielkość.
Pierwszy składnik po prawej stronie równania nosi nazwę pochodnej lokalnej, drugi (pozostałe w przypadku zapisu klasycznego) pochodnej konwekcyjnej (unoszenia). Pochodna lokalna określa szybkość zmiany wielkości w danym punkcie wynikającą ze zmiany pola w czasie. Pochodna unoszenia określa szybkość zmiany na skutek przemieszczania się płynu[1].
Zapisując jawnie różniczkowaną własność jako która w ogólności może być dowolnym polem tensorowym, można wyrazić operator Stokesa przez:
Jeżeli funkcja różniczkowana jest prędkością, to pochodna jest przyspieszeniem płynu[1]:
Wyprowadzenie w analizie lokalnej
[edytuj | edytuj kod]W układzie współrzędnych Eulera punkt o współrzędnej w chwili znajdzie się w chwili w punkcie Z definicji pochodnej:
Oznaczając:
można zauważyć, że:
Rozwijając różniczkowaną funkcję wokół punktu otrzymuje się:
Stąd:
Wyprowadzenie alternatywne
[edytuj | edytuj kod]Różniczka zupełna funkcji ma postać:
dzieląc przez możemy zapisać:
uwzględniając, że prędkość otrzymujemy:
Co można zapisać, używając operatorów:
W literaturze oznaczenia oraz używane są zamiennie.
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ a b c J. Szantyr: Kinetyka płynów. [dostęp 2018-11-16].