Multifunkcja

Multifunkcja lub funkcja wielowartościowa – uogólnienie pojęcia funkcji poprzez dopuszczenie przyporządkowania każdemu elementowi dziedziny więcej niż jednego elementu przeciwdziedziny. Z drugiej strony, pojęcie to definiuje się jako szczególny przypadek pewnego rodzaju funkcji.

Niech X {\displaystyle X} i Y {\displaystyle Y} będą niepustymi zbiorami. Multifunkcją f {\displaystyle f} między zbiorami X {\displaystyle X} i Y {\displaystyle Y} nazywa się przyporządkowanie każdemu x ∈ X {\displaystyle x\in X} niepustego zbioru f x ⊆ Y . {\displaystyle fx\subseteq Y.} Jeśli f {\displaystyle f} jest multifunkcją między X {\displaystyle X} i Y , {\displaystyle Y,} to oznacza się to czasami symbolem

f : X ⇝ Y . {\displaystyle f\colon X\rightsquigarrow Y.}

Dla multifunkcji definiuje się, analogicznie jak dla funkcji, pojęcia obrazu, wykresu, mutlifunkcji odwrotnej czy złożenia. Traktując multifunkcję f {\displaystyle f} jako funkcję f : X → P ( Y ) {\displaystyle f\colon X\to {\mathcal {P}}(Y)} pojęcia te nie pokrywają się ze swoimi klasycznymi odpowiednikami.

• Obrazem zbioru A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} poprzez multifunkcję f {\displaystyle f} nazywa się zbiór

f ( A ) = ⋃ x ∈ A f x . {\displaystyle f(A)=\bigcup _{x\in A}fx.}

• Wykresem multifunkcji f {\displaystyle f} nazywamy zbiór

Graf ( f ) = { ( x , y ) ∈ X × Y : y ∈ f x } . {\displaystyle {\text{Graf}}(f)=\{(x,y)\in X\times Y\colon \,y\in fx\}.}

• Multifunkcją odwrotną do multifunkcji f {\displaystyle f} nazywamy multifunkcję f − 1 : f ( X ) ⇝ X {\displaystyle f^{-1}\colon f(X)\rightsquigarrow X} taką, że

f − 1 y = { x ∈ X : y ∈ f x } . {\displaystyle f^{-1}y=\{x\in X\colon \,y\in fx\}.}

• Jeśli Z {\displaystyle Z} jest niepustym zbiorem oraz f : X ⇝ Y {\displaystyle f\colon X\rightsquigarrow Y} i g : Y ⇝ Z {\displaystyle g\colon Y\rightsquigarrow Z} są multifunkcjami, to ich złożeniem nazywamy multifunkcję g ∘ f : X ⇝ Z {\displaystyle g\circ f\colon X\rightsquigarrow Z} daną wzorem

( g ∘ f ) x = ⋃ y ∈ f x g y . {\displaystyle (g\circ f)x=\bigcup _{y\in fx}gy.}

Ponadto dla multifunkcji f : X ⇝ Y {\displaystyle f\colon X\rightsquigarrow Y} definiuje się (dla B ⊆ Y {\displaystyle B\subseteq Y} ):

• f − ( B ) = { x ∈ X : f x ∩ B ≠ ∅ } , {\displaystyle f^{-}(B)=\{x\in X\colon \,fx\cap B\neq \varnothing \},}
• f + ( B ) = { x ∈ X : f x ⊆ B } . {\displaystyle f^{+}(B)=\{x\in X\colon \,fx\subseteq B\}.}

Pojęcie m-produktu rodziny zbiorów niepustych niejako „naśladuje” pojęcie produktu rodziny zbiorów.

Niech { Y t : t ∈ T } {\displaystyle \{Y_{t}\colon t\in T\}} będzie rodziną zbiorów niepustych. m-produktem P { Y t : t ∈ T } {\displaystyle P\{Y_{t}\colon t\in T\}} tej rodziny nazywamy rodzinę wszystkich multifunkcji

f : T ⇝ ⋃ t ∈ T Y t . {\displaystyle f\colon T\rightsquigarrow \bigcup _{t\in T}Y_{t}.}

Jeśli Y t = Y {\displaystyle Y_{t}=Y} dla każdego t ∈ T , {\displaystyle t\in T,} to m-produkt P { Y t : t ∈ T } {\displaystyle P\{Y_{t}\colon t\in T\}} oznaczamy symbolem Y m T . {\displaystyle Y^{mT}.} Jeśli t ∈ T {\displaystyle t\in T} to multifunkcję pr t : P { Y t : t ∈ T } ⇝ Y t {\displaystyle {\text{pr}}_{t}\colon P\{Y_{t}\colon t\in T\}\rightsquigarrow Y_{t}} daną wzorem

pr t f = f t {\displaystyle {\text{pr}}_{t}f=ft}

nazywamy rzutowaniem na Y t . {\displaystyle Y_{t}.}

Jeśli ( Y t , τ t ) , t ∈ T {\displaystyle (Y_{t},\tau _{t}),t\in T} są przestrzeniami topologicznymi, to w m-produkcie P { Y t : t ∈ T } {\displaystyle P\{Y_{t}\colon t\in T\}} można wprowadzić topologię poprzez analogię do topologii Tichonowa w produkcie kartezjańskim przestrzeni topologicznych. Topologię tę definiuje się poprzez zadanie podbazy postaci

{ pr t − ( U t ) , pr t + ( U t ) : t ∈ T , U t ∈ τ t } . {\displaystyle \{{\text{pr}}_{t}^{-}(U_{t}),{\text{pr}}_{t}^{+}(U_{t})\colon t\in T,U_{t}\in \tau _{t}\}.}

• Geoffrey Fox, Pedro Morales, Non-Hausdorff multifunction generalization of the Kelley-Morse Ascoli theorem, Pacific J. Math. vol. 64, nr 1 (1976), s. 137–143.

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Multivalued Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-08-29].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Multiple-Valued Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-08-29].
• Multivalent function (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-08-29].