Model Isinga

Model Isinga – dyskretny układ spinów, umieszczonych w węzłach sieci jedno-, dwu- lub trójwymiarowej, oddziałujących ze sobą i z zewnętrznym polem magnetycznym. Model został wymyślony przez Wilhelma Lenza w roku 1920 jako model ferromagnetyka do teoretycznego opisu przejść fazowych w ferromagnetykach. Rozwiązanie analityczne tego modelu dla przypadku jednowymiarowego uzyskał jego doktorant Ernst Ising w roku 1925. Układ dwuwymiarowy przy zerowym polu magnetycznym analitycznie rozwiązał Lars Onsager w roku 1944. Przypadek dwuwymiarowy układu spinów umieszczonych w niezerowym zewnętrznym polu magnetycznym pozostaje dotąd nierozwiązany analitycznie (2011).

Energię układu spinów oblicza się biorąc pod uwagę dwa składniki:

a). oddziaływania między najbliższymi, sąsiadującymi ze sobą spinami

b). odziaływania spinów z zewnętrznym polem magnetycznym.

Hamiltonian układu spinów ma postać

H = − ∑ ⟨ i , j ⟩ J i j S i S j − ∑ i h i S i , {\displaystyle H=-\sum _{\langle i,j\rangle }J_{ij}S_{i}S_{j}-\sum _{i}h_{i}S_{i},}

gdzie:

• ⟨ i , j ⟩ {\displaystyle \langle i,j\rangle } oznacza sumowanie po wszystkich sąsiadujących ze sobą parach spinów,
• h {\displaystyle h} – energia pojedynczego (każdego i {\displaystyle i} -tego) spinu w zewnętrznym polu magnetycznym,
• S i , S j {\displaystyle S_{i},S_{j}} – operatory spinu
• J i j {\displaystyle J_{ij}} – całka wymiany

przy czym:

J i j > 0 {\displaystyle J_{ij}>0} gdy oddziaływanie pary spinów jest ferromagnetyczne (spiny ustawiają się równolegle, ze zgodnymi zwrotami),

J i j < 0 {\displaystyle J_{ij}<0} gdy oddziaływanie pary spinów jest antyferromagnetyczne (spiny ustawiają się antyrównolegle, z przeciwnymi zwrotami),

J i j = 0 {\displaystyle J_{ij}=0} gdy para spinów nie oddziałuje ze sobą.

Energia oddziaływania pary spinów przyjmuje więc jedną z dwóch wartości, zależną od ich wzajemnej orientacji (zgodnej lub przeciwnej) - jeśli spiny oddziałują ze sobą.

Wartość namagnesowania m {\displaystyle m} obliczamy w modelu wzorem

m = 1 N ∑ i ⟨ S i ⟩ , {\displaystyle m={\frac {1}{N}}\sum _{i}\langle S_{i}\rangle ,}

przy czym ferromagnetyzm występuje, gdy m ≠ 0 {\displaystyle m\neq 0} dla zerowego zewnętrznego pola magnetycznego.

Dla ferromagnetyzmu ma miejsce spontaniczne złamanie symetrii, tzn. w zerowym zewnętrznym polu magnetycznym układ sam wyróżnia jeden z kierunków.

Sumę statystyczną oblicza się ze wzoru

Z = ∑ S 1 , S 2 , … , S N exp ⁡ [ − β H ( S 1 , S 2 , … , S N ) ] . {\displaystyle Z=\sum _{S_{1},S_{2},\dots ,S_{N}}\exp[-\beta H(S_{1},S_{2},\dots ,S_{N})].}

Aby obliczyć średnią ⟨ A ⟩ {\displaystyle \langle A\rangle } z operatora A {\displaystyle A} zależnego od operatorów S 1 , … , S N {\displaystyle S_{1},\dots ,S_{N}} można dodać do hamiltonianu człon + α A , {\displaystyle +\alpha A,} a następnie obliczyć średnią i pochodną w granicy dla α {\displaystyle \alpha } zmierzającego do zera, tj.

⟨ A ( S 1 , S 2 , … , S N ) ⟩ = 1 Z ∑ S 1 , … , S N A ( S 1 , S 2 , … , S N ) exp ⁡ [ − β H ( S 1 , S 2 , … , S N ) ] . {\displaystyle \langle A(S_{1},S_{2},\dots ,S_{N})\rangle ={\frac {1}{Z}}\sum _{S_{1},\dots ,S_{N}}A(S_{1},S_{2},\dots ,S_{N})\exp[-\beta H(S_{1},S_{2},\dots ,S_{N})].}

Namagnesowanie jest więc równe:

m = k T 1 N ∂ ∂ h ln ⁡ Z = k T 1 N ∂ ∂ h ln ⁡ ∑ S 1 , … , S N exp ⁡ [ β J ∑ < i , j > S i S j + β h ∑ i S i ] = k T 1 N ∑ S 1 , … , S N [ exp ⁡ ( − β H ) β ∑ i S i ] Z = 1 N ∑ i ⟨ S i ⟩ . {\displaystyle m=kT{\frac {1}{N}}{\frac {\partial }{\partial h}}\ln Z=kT{\frac {1}{N}}{\frac {\partial }{\partial h}}\ln \sum _{S_{1},\dots ,S_{N}}\exp \left[\beta J\sum _{<i,j>}S_{i}S_{j}+\beta h\sum _{i}S_{i}\right]=kT{\frac {1}{N}}{\frac {\sum _{S_{1},\dots ,S_{N}}\left[\exp(-\beta H)\beta \sum _{i}S_{i}\right]}{Z}}={\frac {1}{N}}\sum _{i}\langle S_{i}\rangle .}

Ostatecznie więc namagnesowanie

m = 1 N ∑ i ⟨ S i ⟩ = k T 1 N ∂ ∂ h ln ⁡ Z . {\displaystyle m={\frac {1}{N}}\sum _{i}\langle S_{i}\rangle =kT{\frac {1}{N}}{\frac {\partial }{\partial h}}\ln Z.}

Gdy J = 0, tzn. dla układu nieoddziałujących spinów w polu magnetycznym suma statystyczna jest równa:

Z = ∑ S 1 , … , S N exp ⁡ ( − β H ) = ∑ S 1 , … , S N exp ⁡ ( β h ∑ i S i ) = [ ∑ S i ( exp ⁡ ( β h S i ) ) ] N = [ exp ⁡ ( β h ) + exp ⁡ ( − β h ) ] N = [ 2 cosh ⁡ ( β h ) ] N . {\displaystyle Z=\sum _{S_{1},\dots ,S_{N}}\exp(-\beta H)=\sum _{S_{1},\dots ,S_{N}}\exp \left(\beta h\sum _{i}S_{i}\right)=\left[\sum _{S_{i}}\left(\exp(\beta hS_{i})\right)\right]^{N}=\left[\exp(\beta h)+\exp(-\beta h)\right]^{N}=\left[2\cosh(\beta h)\right]^{N}.}

Dla takiej sumy statystycznej namagnesowanie jest równe

m = 1 N k T ∂ ∂ h ln ⁡ [ 2 cosh ⁡ β h ) ] N = k T [ exp ⁡ ( β h ) − exp ⁡ ( − β h ) ] 2 cosh ⁡ ( β h ) = tgh ⁡ ( β h ) . {\displaystyle m={\frac {1}{N}}kT{\frac {\partial }{\partial h}}\ln \left[2\cosh \beta h)\right]^{N}=kT{\frac {\left[\exp(\beta h)-\exp(-\beta h)\right]}{2\cosh(\beta h)}}=\operatorname {tgh} (\beta h).}

W układzie jednowymiarowym nakłada się periodyczne warunki brzegowe S N + 1 = S 1 . {\displaystyle S_{N+1}=S_{1}.} Hamiltonian dla takiego układu ma postać

H = − J ∑ i S i S i + 1 − h ∑ i S i = − J ∑ i S i S i + 1 − 1 2 h ∑ i S i − 1 2 h ∑ i S i + 1 = − ∑ i ( J S i S i + 1 + 1 2 h ( S i + S i + 1 ) ) = − ( J s 1 S 2 + 1 2 h ( S 1 + S 2 ) + J s 2 S 3 + 1 2 h ( S 2 + S 3 ) + J s 3 S 4 + 1 2 h ( S 3 + S 4 ) + … + J s N S 1 + 1 2 h ( S N + S 1 ) ) . {\displaystyle {\begin{aligned}H&=-J\sum _{i}S_{i}S_{i+1}-h\sum _{i}S_{i}=-J\sum _{i}S_{i}S_{i+1}-{\frac {1}{2}}h\sum _{i}S_{i}-{\frac {1}{2}}h\sum _{i}S_{i+1}=-\sum _{i}\left(JS_{i}S_{i+1}+{\frac {1}{2}}h(S_{i}+S_{i+1})\right)\\&=-\left(Js_{1}S_{2}+{\frac {1}{2}}h(S_{1}+S_{2})+Js_{2}S_{3}+{\frac {1}{2}}h(S_{2}+S_{3})+Js_{3}S_{4}+{\frac {1}{2}}h(S_{3}+S_{4})+\ldots +Js_{N}S_{1}+{\frac {1}{2}}h(S_{N}+S_{1})\right).\end{aligned}}}

Statystyczna suma stanów:

Z = ∑ S 1 , … , S N exp ⁡ ( − β H ) = ∑ S 1 , … , S N exp ⁡ [ β ∑ i ( J S i S i + 1 + 1 2 h ( S i + S i + 1 ) ) ] = ∑ S 1 , … , S N exp ⁡ [ β ( J s 1 S 2 + 1 2 h ( S 1 + S 2 ) + J s 2 S 3 + 1 2 h ( S 2 + S 3 ) + J s 3 S 4 + 1 2 h ( S 3 + S 4 ) + … + J s N S 1 + 1 2 h ( S N + S 1 ) ) ] = ∑ S 1 , … , S N exp ⁡ [ β ( J s 1 S 2 + 1 2 h ( S 1 + S 2 ) ) ] exp ⁡ [ β ( J s 2 S 3 + 1 2 h ( S 2 + S 3 ) ) ] exp ⁡ [ β ( J s 3 S 4 + 1 2 h ( S 3 + S 4 ) ) ] … exp ⁡ [ β ( J s N S 1 + 1 2 h ( S N + S 1 ) ) ] = ∑ S 1 , … , S N M S 1 , S 2 M S 2 , S 3 … M S N , S 1 = ( ∗ ) , {\displaystyle {\begin{aligned}Z&=\sum _{S_{1},\dots ,S_{N}}\exp(-\beta H)=\sum _{S_{1},\dots ,S_{N}}\exp \left[\beta \sum _{i}\left(JS_{i}S_{i+1}+{\frac {1}{2}}h(S_{i}+S_{i+1})\right)\right]\\&=\sum _{S_{1},\dots ,S_{N}}\exp \left[\beta \left(Js_{1}S_{2}+{\frac {1}{2}}h(S_{1}+S_{2})+Js_{2}S_{3}+{\frac {1}{2}}h(S_{2}+S_{3})+Js_{3}S_{4}+{\frac {1}{2}}h(S_{3}+S_{4})+\ldots +Js_{N}S_{1}+{\frac {1}{2}}h(S_{N}+S_{1})\right)\right]\\&=\sum _{S_{1},\dots ,S_{N}}\exp \left[\beta \left(Js_{1}S_{2}+{\frac {1}{2}}h(S_{1}+S_{2})\right)\right]\exp \left[\beta \left(Js_{2}S_{3}+{\frac {1}{2}}h(S_{2}+S_{3})\right)\right]\exp \left[\beta \left(Js_{3}S_{4}+{\frac {1}{2}}h(S_{3}+S_{4})\right)\right]\ldots \exp \left[\beta \left(Js_{N}S_{1}+{\frac {1}{2}}h(S_{N}+S_{1})\right)\right]\\&=\sum _{S_{1},\dots ,S_{N}}M_{S_{1},S_{2}}M_{S_{2},S_{3}}\ldots M_{S_{N},S_{1}}=(*),\end{aligned}}}

gdzie:

M S 1 , S 2 = M S 2 , S 3 = … = M S N , S 1 = M S i , S i + 1 = M = exp ⁡ [ β ( J s i S i + 1 + 1 2 h ( S i + S i + 1 ) ) ] . {\displaystyle M_{S_{1},S_{2}}=M_{S_{2},S_{3}}=\ldots =M_{S_{N},S_{1}}=M_{S_{i},S_{i+1}}=M=\exp \left[\beta \left(Js_{i}S_{i+1}+{\frac {1}{2}}h(S_{i}+S_{i+1})\right)\right].}

Możliwe są cztery „warianty” M {\displaystyle M} :

s i = − 1 s i = + 1 s i + 1 = − 1 s i + 1 = + 1 [ e β ( J − h ) e − β J e − β J e β ( J + h ) ] {\displaystyle {\begin{matrix}&{\begin{matrix}s_{i}=-1&s_{i}=+1\end{matrix}}\\{\begin{matrix}s_{i+1}=-1\\s_{i+1}=+1\end{matrix}}&{\begin{bmatrix}e^{\beta (J-h)}&e^{-\beta J}\\e^{-\beta J}&e^{\beta (J+h)}\end{bmatrix}}\end{matrix}}}

Wracając do sumy statystycznej mamy

Z = ( ∗ ) = T r ( M N ) = T r ( M ⋅ M ⋅ M ⋅ … ⋅ M ) = ( ∗ ∗ ) . {\displaystyle Z=(*)=Tr(M^{N})=Tr(M\cdot M\cdot M\cdot \ldots \cdot M)=(**).}

Macierz M {\displaystyle M} można przedstawić w postaci M = U † M D U , {\displaystyle M=U^{\dagger }M^{D}U,} gdzie M D {\displaystyle M^{D}} jest macierzą diagonalną, a U U † = 1 {\displaystyle UU^{\dagger }=1}

Z = ( ∗ ∗ ) = T r ( U † M D U U † M D U U † … M D U ) = T r ( U † ( M D ) N U ) = ( ∗ ∗ ∗ ) . {\displaystyle Z=(**)=Tr(U^{\dagger }M^{D}UU^{\dagger }M^{D}UU^{\dagger }\ldots M^{D}U)=Tr(U^{\dagger }(M^{D})^{N}U)=(***).}

M D {\displaystyle M^{D}} jest macierzą diagonalną, jest więc postaci:

M D = ( λ 1 0 0 λ 2 ) . {\displaystyle M^{D}=\left({\begin{matrix}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\end{matrix}}\right).}

Natomiast ( M D ) N = ( λ 1 N 0 0 λ 2 N ) . {\displaystyle (M^{D})^{N}=\left({\begin{matrix}{\lambda _{1}}^{N}&0\\0&{\lambda _{2}}^{N}\end{matrix}}\right).}

Wyznaczenie wartości własnych dla M:

det M = det ( exp ⁡ ( β J + β h ) − λ exp ⁡ ( − β J ) exp ⁡ ( − β J ) exp ⁡ ( β J − β h ) − λ ) = ( exp ⁡ ( β J + β h ) − λ ) ( exp ⁡ ( β J − β h ) − λ ) − exp ⁡ ( 2 β J ) = 2 sinh ⁡ ( 2 β J ) − λ 2 exp ⁡ ( β J ) cosh ⁡ ( β h ) + λ 2 , {\displaystyle {\begin{aligned}\det M&=\det \left({\begin{matrix}{\exp(\beta J+\beta h)-\lambda }&{\exp(-\beta J)}\\{\exp(-\beta J)}&{\exp(\beta J-\beta h)-\lambda }\end{matrix}}\right)\\[.5em]&=\left(\exp {(\beta J+\beta h)}-\lambda \right)\left(\exp {(\beta J-\beta h)}-\lambda \right)-\exp(2\beta J)\\[.5em]&=2\sinh(2\beta J)-\lambda 2\exp(\beta J)\cosh(\beta h)+\lambda ^{2},\end{aligned}}}

λ 1 = exp ⁡ ( β J ) [ cosh ⁡ ( β h ) + cosh 2 ⁡ ( β h ) − 2 exp ⁡ ( − 2 β J ) sinh ⁡ ( 2 β J ) ] , {\displaystyle \lambda _{1}=\exp(\beta J)\left[\cosh(\beta h)+{\sqrt {\cosh ^{2}(\beta h)-2\exp(-2\beta J)\sinh(2\beta J)}}\right],}

λ 2 = exp ⁡ ( β J ) [ cosh ⁡ ( β h ) − cosh 2 ⁡ ( β h ) − 2 exp ⁡ ( − 2 β J ) sinh ⁡ ( 2 β J ) ] . {\displaystyle \lambda _{2}=\exp(\beta J)\left[\cosh(\beta h)-{\sqrt {\cosh ^{2}(\beta h)-2\exp(-2\beta J)\sinh(2\beta J)}}\right].}

Wybierając największą wartość własną macierzy:

λ 1 > λ 2 , {\displaystyle \lambda _{1}>\lambda _{2},}

otrzymujemy, że suma statystyczna jest równa:

Z = ( ∗ ∗ ∗ ) = λ 1 N + λ 2 N = λ 1 N ⋅ ( 1 + ( λ 2 λ 1 ) N ) . {\displaystyle Z=(***)={\lambda _{1}}^{N}+{\lambda _{2}}^{N}={\lambda _{1}}^{N}\cdot \left(1+\left({\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}}}\right)^{N}\right).}

Jeśli λ 2 < λ 1 {\displaystyle \lambda _{2}<\lambda _{1}} to: ( λ 2 λ 1 ) N ≪ 1. {\displaystyle \left({\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}}}\right)^{N}\ll 1.}

Z = λ 1 N . {\displaystyle Z={\lambda _{1}}^{N}.}

Faza stabilna jest określona przez największą wartość własną. Przejście fazowe (np. między fazą ferro i paramagnetyczną) zachodzi wtedy, gdy zrównują się wartości własne.

Namagnesowanie w takim wypadku jest równe:

m = 1 N k Y ∂ ∂ h ln ⁡ Z = 1 β ∂ ∂ h ln ⁡ exp ⁡ ( β h ) ⋅ [ cosh ⁡ ( β h ) + cosh 2 ⁡ ( β h ) − 2 exp ⁡ ( − 2 β J ) sinh ⁡ ( 2 β J ) ] = 1 β 1 λ 1 exp ⁡ ( β J ) ⋅ [ β sinh ⁡ ( β h ) + 2 β sinh ⁡ ( β h ) cosh ⁡ ( β h ) 2 cosh 2 ⁡ ( β h ) − 2 exp ⁡ ( − 2 β J ) sinh ⁡ ( 2 β J ) ] = exp ⁡ ( β J ) sinh ⁡ ( β h ) λ 1 ⋅ [ cosh 2 ⁡ ( β h ) − 2 exp ⁡ ( − 2 β J ) sinh ⁡ ( 2 β J ) + cosh ⁡ ( β h ) cosh 2 ⁡ ( β h ) − 2 exp ⁡ ( − 2 β J ) sinh ⁡ ( 2 β J ) ] . {\displaystyle {\begin{aligned}m&={\frac {1}{N}}kY{\frac {\partial }{\partial h}}\ln Z\\[.5em]&={\frac {1}{\beta }}{\frac {\partial }{\partial h}}\ln \exp(\beta h)\cdot \left[\cosh(\beta h)+{\sqrt {\cosh ^{2}(\beta h)-2\exp(-2\beta J)\sinh(2\beta J)}}\right]\\[.5em]&={\frac {1}{\beta }}{\frac {1}{\lambda _{1}}}\exp(\beta J)\cdot \left[\beta \sinh(\beta h)+{\frac {2\beta \sinh(\beta h)\cosh(\beta h)}{2{\sqrt {\cosh ^{2}(\beta h)-2\exp(-2\beta J)\sinh(2\beta J)}}}}\right]\\[.5em]&={\frac {\exp(\beta J)\sinh(\beta h)}{\lambda _{1}}}\cdot \left[{\frac {{\sqrt {\cosh ^{2}(\beta h)-2\exp(-2\beta J)\sinh(2\beta J)}}+\cosh(\beta h)}{\sqrt {\cosh ^{2}(\beta h)-2\exp(-2\beta J)\sinh(2\beta J)}}}\right].\end{aligned}}}

Czyli ostatecznie namagnesowanie:

m = sinh ⁡ ( β h ) cosh 2 ⁡ ( β h ) − 2 exp ⁡ ( − 2 β J ) sinh ⁡ ( 2 β J ) . {\displaystyle m={\frac {\sinh(\beta h)}{\sqrt {\cosh ^{2}(\beta h)-2\exp(-2\beta J)\sinh(2\beta J)}}}.}

Bez zewnętrznego pola magnetycznego

Dla h = 0 {\displaystyle h=0} (czyli brak zewnętrznego pola magnetycznego) m = 0 , {\displaystyle m=0,} czyli nie ma ferromagnetyzmu w układzie jednowymiarowym.

• sieć Hopfielda
• szkło spinowe

• Ernst Ising, Contribution to the Theory of Ferromagnetism, 1925^[1]