Model ARCH

Model ARCH (ang. Auto-Regressive Conditional Heteroskedasticity model, model autoregresji z heteroskedastycznością warunkową) – model ekonometryczny służący do analizy szeregów czasowych. Stosuje się go głównie w analizie finansowej zmienności cen instrumentów finansowych.

W modelu ARCH zakłada się, że wariancja błędu losowego w danym okresie jest funkcją wartości błędów losowych w okresach poprzednich.

Model ARCH został po raz pierwszy zaproponowany w 1982 roku przez amerykańskiego ekonomistę, Roberta Engle, za co został on uhonorowany w 2003 roku Nagrodą Nobla w dziedzinie ekonomii.

Model ARCH rzędu p, co zapisuje się zazwyczaj jako ARCH(p), zdefiniowany został przez Engle’a przy pomocy następujących dwóch zależności:

1. y t | ψ t − 1 ∼ N ( 0 , h t ) , {\displaystyle y_{t}|\psi _{t-1}\sim {\mathcal {N}}(0,h_{t}),}
2. h t = h ( y t − 1 , y t − 2 , . . . , y t − p , α ) . {\displaystyle h_{t}=h(y_{t-1},y_{t-2},...,y_{t-p},\alpha ).}

Z równań tych wynika, że zmienna losowa y t {\displaystyle y_{t}} ma wartość oczekiwaną równą zero, oraz wariancję, która zależy od realizacji zmiennych losowych y w p poprzednich okresach. We współczesnych zastosowaniach najczęściej zakłada się, że funkcja h t = h ( y t − 1 , y t − 2 , . . . , y t − p , α ) {\displaystyle h_{t}=h(y_{t-1},y_{t-2},...,y_{t-p},\alpha )} ma postać:

h t = α 0 + α 1 y t − 1 2 + … + α p y t − p 2 = α 0 + ∑ i = 1 p α i y t − i 2 {\displaystyle h_{t}=\alpha _{0}+\alpha _{1}y_{t-1}^{2}+\ldots +\alpha _{p}y_{t-p}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{p}\alpha _{i}y_{t-i}^{2}} gdzie α 0 > 0 {\displaystyle \alpha _{0}>0} oraz α i ⩾ 0 ,   i > 0. {\displaystyle \alpha _{i}\geqslant 0,~i>0.}

Przykładowo model ARCH(1) można zapisać jako:

1. y t = ϵ t h t 1 / 2 , {\displaystyle y_{t}=\epsilon _{t}h_{t}^{1/2},}
2. h t = α 0 + α 1 y t − 1 2 {\displaystyle h_{t}=\alpha _{0}+\alpha _{1}y_{t-1}^{2}} gdzie ϵ t ∼ N ( 0 , 1 ) . {\displaystyle \epsilon _{t}\sim {\mathcal {N}}(0,1).}

Model ARCH można uogólnić na model GARCH (skrót od ang. Generalized Auto-Regressive Conditional Heteroskedasticity model, uogólniony ARCH), w którym dodatkowo wprowadza się bezpośrednią zależność od poprzednich wartości h t . {\displaystyle h_{t}.} Model GARCH(p,q) opisuje się szeregiem

h t = α 0 + ∑ i = 1 q α i y t − i 2 + ∑ i = 1 p β i h t − i {\displaystyle h_{t}=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}y_{t-i}^{2}+\sum _{i=1}^{p}\beta _{i}h_{t-i}} gdzie α 0 > 0 {\displaystyle \alpha _{0}>0} i α i ⩾ 0 ,   i > 0 , {\displaystyle \alpha _{i}\geqslant 0,~i>0,} oraz β i ⩾ 0 {\displaystyle \beta _{i}\geqslant 0}

(niektóre źródła definiują model i stosują konwencję ze zamienionych miejscami indeksami p i q).

Czasami znosi się ograniczenie na współczynniki β i , {\displaystyle \beta _{i},} ale wprowadza to problem w postaci możliwych ujemnej wartości h t , {\displaystyle h_{t},} co nie jest w pełni sensowne.

W 1986 roku Bollerslev opublikował artykuł, w którym wprowadził uogólniony model ARCH (generalized ARCH, GARCH), wzorując się na relacji między modelami AR i ARMA. Okazało się, że model ten stał się bardziej przydatny w praktyce niż wcześniejszy ARCH na skutek tego, iż: procesy finansowe wymagają dużych rzędów opóźnień dla prawidłowego modelowania; estymacja parametrów modelu ARCH prowadziła do załamania założeń o nieujemności wariancji warunkowej; model GARCH lepiej niż ARCH dostosowuje się do opisu rozkładów o grubych ogonach.

Najczęściej, model GARCH stosuje się wtedy, gdy liczba opóźnień w modelu ARCH jest zbyt duża, a także wówczas, gdy kryteria doboru modeli (np. Schwarza), wskazują na przewagę modelu GARCH nad ARCH.

• heteroskedastyczność

• Robert F. Engle. Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation. „Econometrica”. 50 (4), s. 987–1007, 1982.