Grupoid

Grupoid, rzadziej magma – zbiór G {\displaystyle G} z określonym na nim dowolnym działaniem dwuargumentowym^[1], czyli pewną funkcją

⋅ : G × G → G {\displaystyle \cdot \colon G\times G\to G} ^[2].

Zazwyczaj zamiast ⋅ ( x , y ) {\displaystyle \cdot (x,y)} stosuje się notację multiplikatywną x ⋅ y {\displaystyle x\cdot y} lub po prostu x y , {\displaystyle xy,} rzadziej notację addytywną x + y . {\displaystyle x+y.} Działanie opisywane notacją multiplikatywną nazywa się mnożeniem, a addytywną – dodawaniem. Notację i terminologię addytywną stosuje się zazwyczaj, gdy działanie grupoidu jest przemienne.

Grupoid jest algebrą A , {\displaystyle {\mathcal {A}},} której sygnatura składa się z jednej operacji binarnej.

Niepusty podzbiór P {\displaystyle P} grupoidu G {\displaystyle G} nazywany jest podgrupoidem grupoidu G , {\displaystyle G,} jeśli z a ∈ P {\displaystyle a\in P} i b ∈ P {\displaystyle b\in P} wynika, że

a b ∈ P . {\displaystyle ab\in P.}

Jeśli A {\displaystyle A} jest podzbiorem grupoidu G , {\displaystyle G,} to część wspólna wszystkich podgrupoidów G {\displaystyle G} zawierających A {\displaystyle A} jest najmniejszym podgrupoidem grupoidu G {\displaystyle G} zawierającym zbiór A ; {\displaystyle A;} grupoid ten nazywany jest podgrupoidem grupoidu G {\displaystyle G} generowanym przez A {\displaystyle A} i oznaczany czasem przez symbol ⟨ A ⟩ . {\displaystyle \langle A\rangle .} Na przykład w grupoidzie liczb naturalnych N {\displaystyle \mathbb {N} } z działaniem dodawania podgrupoid generowany przez {2} jest podgrupoidem liczb parzystych. W grupoidzie liczb naturalnych N {\displaystyle \mathbb {N} } z działaniem mnożenia podgrupoidem generowanym przez {2} jest podgrupoid potęg liczby 2 o wykładnikach całkowitych nieujemnych.

W grupoidzie liczb naturalnych N {\displaystyle \mathbb {N} } z działaniem dodawania zbiorem generującym N {\displaystyle \mathbb {N} } jest {1}. W grupoidzie liczb naturalnych N {\displaystyle \mathbb {N} } z działaniem mnożenia zbiorem generującym N {\displaystyle \mathbb {N} } jest zbiór liczb pierwszych. Wynika to z podstawowego twierdzenia arytmetyki.

Jeśli G {\displaystyle G} jest grupoidem, to moc | G | {\displaystyle |G|} zbioru G {\displaystyle G} nazywamy jego rzędem. Jeśli rząd grupoidu jest skończony, możemy jego działanie opisać za pomocą tablicy Cayleya. Grupoid Z 4 {\displaystyle \mathbb {Z} _{4}} reszt z dzielenia przez 4 jest rzędu 4, bo Z 4 {\displaystyle \mathbb {Z} _{4}} = {0, 1, 2, 3}. Grupoid przekształceń zbioru 2-elementowego (z działaniem składania przekształceń), też jest rzędu 4.

W grupoidzie G {\displaystyle G} element e {\displaystyle e} ( f {\displaystyle f} ) nazywamy lewostronnym (prawostronnym) elementem neutralnym, jeśli dla każdego x ∈ G {\displaystyle x\in G} spełniona jest równość e x = x {\displaystyle ex=x} ( x f = x {\displaystyle xf=x} ). Jeśli grupoid G {\displaystyle G} zawiera zarówno lewostronny element neutralny e , {\displaystyle e,} jak i prawostronny element neutralny f , {\displaystyle f,} to e = f , {\displaystyle e=f,} bo e = e f = f . {\displaystyle e=ef=f.} Taki element nazywamy albo obustronnym elementem neutralnym, albo po prostu elementem neutralnym. Dlatego w grupoidzie zachodzi jedna z czterech ewentualności:

1. grupoid nie zawiera ani prawostronnych ani lewostronnych elementów neutralnych,
2. grupoid zawiera przynajmniej jeden lewostronny element neutralny, a nie zawiera prawostronnego elementu neutralnego,
3. grupoid zawiera przynajmniej jeden prawostronny element neutralny, a nie zawiera lewostronnego elementu neutralnego,
4. grupoid zawiera obustronny element neutralny i nie zawiera żadnych innych lewostronnych bądź prawostronnych elementów neutralnych.

Jeśli A {\displaystyle A} i B {\displaystyle B} są podzbiorami grupoidu G , {\displaystyle G,} to ich iloczynem A B {\displaystyle AB} nazywamy zbiór wszystkich elementów postaci a b , {\displaystyle ab,} gdzie a ∈ A , b ∈ B . {\displaystyle a\in A,b\in B.} Jeśli A = { a } ( B = { b } ) , {\displaystyle A=\{a\}(B=\{b\}),} to iloczyn A B {\displaystyle AB} zapisujemy a B {\displaystyle aB} (odpowiednio A b {\displaystyle Ab} ).

Lewym (prawym) ideałem grupoidu G {\displaystyle G} nazywamy taki niepusty podzbiór A {\displaystyle A} zbioru G , {\displaystyle G,} że G A ⊆ G {\displaystyle GA\subseteq G} ( A G ⊆ G ) . {\displaystyle (AG\subseteq G).} Ideałem dwustronnym, albo po prostu ideałem grupoidu G {\displaystyle G} nazywamy podzbiór, który jest jednocześnie prawym i lewym. Jeżeli działanie w grupoidzie jest przemienne, to każdy jego ideał jest dwustronny. W grupoidzie liczb naturalnych N {\displaystyle \mathbb {N} } z działaniem mnożenia ideałami są sumy mnogościowe zbiorów wielokrotności poszczególnych liczb

Grupoid jest swoim ideałem dwustronnym. Grupoid G {\displaystyle G} nazywamy grupoidem prawostronnie pierwszym (lewostronnie pierwszym), jeśli G {\displaystyle G} jest swoim jedynym prawym (lewym) ideałem. Grupoid nazywamy grupoidem pierwszym, jeśli jest swoim jedynym ideałem dwustronnym. Grupa jest grupoidem pierwszym, zarówno lewostronnie, jak i prawostronnie.

Jeśli A {\displaystyle A} jest niepustym podzbiorem grupoidu G , {\displaystyle G,} to część wspólna wszystkich ideałów (lewych, prawych lub obustronnych) zawierających A {\displaystyle A} nazywamy ideałem (odp. lewym, prawym lub obustronnym) generowanym przez A . {\displaystyle A.}

Odwzorowanie φ : G → H , {\displaystyle \varphi \colon G\to H,} gdzie ( G , ∘ ) {\displaystyle (G,\circ )} i ( H , ⋅ ) {\displaystyle (H,\cdot )} są grupoidami nazywamy homomorfizmem grupoidów, jeśli:

φ ( a ∘ b ) = φ ( a ) ⋅ φ ( b ) {\displaystyle \varphi (a\circ b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)}

Jeśli homomorfizm grupoidów jest odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym, to jest nazywany izomorfizmem.

• grupa
• półgrupa
• monoid,
• quasi-grupa
• zbiór liczb naturalnych z działaniem potęgowania, tzn. ( N , ∧ ) , {\displaystyle (\mathbb {N} ,^{\wedge }),} gdzie ∧ ( a , b ) = a b {\displaystyle ^{\wedge }(a,b)=a^{b}}
• zbiór liczb naturalnych z działaniem dodawania
• zbiór liczb naturalnych z działaniem mnożenia.

• A.H. Clifford, G.B. Preston: The algebraic theory of semigroups. American Mathematical Society, 1964.
• A.G. Kurosz: Wykłady z algebry ogólnej (wyd. ros.). Wyd. 2. Nauka, 1973.

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Groupoid, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-03-07].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Magma, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-03-07].
• Magma (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-03-25].