Elipsoida

Elipsoida – powierzchnia, której wszystkie przekroje płaskie są elipsami^[1]. Czasem tym słowem oznacza się też bryłę ograniczoną tą powierzchnią.

Szczególnym przypadkiem elipsoidy jest elipsoida obrotowa, czyli powierzchnia ograniczona powstała przez obrót elipsy wokół jednej z jej osi symetrii; z kolei elipsoidy obrotowe są uogólnieniem sfery^[1].

Równania elipsoidy są najprostsze, gdy jej osie symetrii pokrywają się z osiami układu współrzędnych. Niech półosie mają długości a , b , c . {\displaystyle a,b,c.}

• równanie we współrzędnych kartezjańskich^[1]:

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1. {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1.}

• równanie parametryczne:

{ x ( u , v ) = a cos ⁡ u cos ⁡ v y ( u , v ) = b sin ⁡ v z ( u , v ) = c sin ⁡ u cos ⁡ v {\displaystyle {\begin{cases}x(u,v)=a\cos u\cos v\\y(u,v)=b\sin v\\z(u,v)=c\sin u\cos v\end{cases}}}

gdzie:

u ∈ [ − π , π ) , {\displaystyle u\in \left[-\pi ,\pi \right),}

v ∈ [ − π 2 , π 2 ] . {\displaystyle v\in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right].}

• równanie biegunowe w układzie współrzędnych sferycznych:

r 2 ( α , β ) = a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 sin 2 ⁡ α cos 2 ⁡ β + a 2 c 2 sin 2 ⁡ β + b 2 c 2 cos 2 ⁡ α cos 2 ⁡ β {\displaystyle r^{2}(\alpha ,\beta )={\frac {a^{2}b^{2}c^{2}}{a^{2}b^{2}\sin ^{2}\alpha \cos ^{2}\beta +a^{2}c^{2}\sin ^{2}\beta +b^{2}c^{2}\cos ^{2}\alpha \cos ^{2}\beta }}}

Elipsoida jest kwadryką, czyli pewną powierzchni drugiego stopnia o równaniu^[2]:

a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 33 z 2 + 2 a 12 x y + 2 a 23 y z + 2 a 31 z x + 2 a 14 x + 2 a 24 y + 2 a 34 z + a 44 = 0 , {\displaystyle a_{11}x^{2}+a_{22}y^{2}+a_{33}z^{2}+2a_{12}xy+2a_{23}yz+2a_{31}zx+2a_{14}x+2a_{24}y+2a_{34}z+a_{44}=0,}

przy czym (przyjmując a i j = a j i {\displaystyle a_{ij}=a_{ji}} ):

Δ = | a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 | < 0 , {\displaystyle \Delta =\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{matrix}}\right|<0,}

S δ = ( a 11 + a 22 + a 33 ) ⋅ | a 11 a 12 a 13 a 12 a 22 a 23 a 13 a 23 a 33 | > 0 {\displaystyle S\delta =(a_{11}+a_{22}+a_{33})\cdot \left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{matrix}}\right|>0}

oraz

T = a 22 a 33 + a 33 a 11 + a 11 a 22 − a 23 2 − a 31 2 − a 12 2 > 0. {\displaystyle T=a_{22}a_{33}+a_{33}a_{11}+a_{11}a_{22}-a_{23}^{2}-a_{31}^{2}-a_{12}^{2}>0.}

Objętość elipsoidy wyraża się wzorem^[1]:

V = 4 3 π a b c . {\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi abc.}

Pole powierzchni elipsoidy wyraża się wzorem:

S = 2 π ( c 2 + b c 2 a 2 − c 2 F ( θ , m ) + b a 2 − c 2 E ( θ , m ) ) , {\displaystyle S=2\pi \left(c^{2}+{\frac {bc^{2}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}F(\theta ,m)+b{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}E(\theta ,m)\right),}

gdzie:

m = a 2 ( b 2 − c 2 ) b 2 ( a 2 − c 2 ) , {\displaystyle m={\frac {a^{2}(b^{2}-c^{2})}{b^{2}(a^{2}-c^{2})}},}

θ = arcsin ⁡ ε , {\displaystyle \theta =\arcsin \varepsilon ,}

ε = 1 − c 2 a 2 , {\displaystyle \varepsilon ={\sqrt {1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}},}

a F ( θ , m ) {\displaystyle F(\theta ,m)} i E ( θ , m ) {\displaystyle E(\theta ,m)} są niekompletnymi całkami eliptycznymi pierwszego i drugiego rodzaju.

• geoida
• sferoida

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Ellipsoid, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2025-11-18].