Normalisator

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde is een normalisator een speciale ondergroep N G ( H ) {\displaystyle N_{G}(H)} van een groep G {\displaystyle G} die hoort bij een ondergroep H {\displaystyle H} . De normalisator N G ( H ) {\displaystyle N_{G}(H)} is de ondergroep van G {\displaystyle G} die bestaat uit de elementen van G {\displaystyle G} waarvoor linker- en rechternevenklasse van H {\displaystyle H} aan elkaar gelijk zijn. Duidelijk is dat de ondergroep H {\displaystyle H} ook een ondergroep is van z'n normalisator. Het blijkt dat H {\displaystyle H} zelfs normaaldeler is van de normalisator N G ( H ) {\displaystyle N_{G}(H)} .

Zij G {\displaystyle G} een groep en H {\displaystyle H} een ondergroep van G {\displaystyle G} , dan is de normalisator N G ( H ) {\displaystyle N_{G}(H)} van H {\displaystyle H} in G {\displaystyle G} de verzameling van alle g ∈ G {\displaystyle g\in G} , waarvoor geldt dat:

g H = H g {\displaystyle gH=Hg} ,

of anders geformuleerd: voor alle h ∈ H {\displaystyle h\in H} is

g h g − 1 ∈ H {\displaystyle ghg^{-1}\in H}

Met andere woorden de normalisator bestaat uit die g ∈ G {\displaystyle g\in G} waarvoor geldt dat H {\displaystyle H} onder conjugatie met g {\displaystyle g} invariant is.

Er wordt dus niet geëist voor h ∈ H {\displaystyle h\in H} dat g h g − 1 = h {\displaystyle ghg^{-1}=h} , oftewel g h = h g {\displaystyle gh=hg} d.w.z. dat g {\displaystyle g} en h {\displaystyle h} commuteren. In veel gevallen zal dat ook niet waar zijn.

• De normalisator is een ondergroep van G {\displaystyle G} .
• Een ondergroep H {\displaystyle H} is altijd een normaaldeler in haar normalisator N G ( H ) {\displaystyle N_{G}(H)} . Preciezer geformuleerd: N G ( H ) {\displaystyle N_{G}(H)} is de grootste ondergroep van G {\displaystyle G} waarin H {\displaystyle H} een normaaldeler is.
• Een ondergroep is precies dan een normaaldeler in G {\displaystyle G} wanneer haar normalisator de gehele groep G {\displaystyle G} is.
• Men kan de normalisator ook als volgt introduceren:
  men laat de groep G {\displaystyle G} op de verzameling van zijn ondergroepen werken door conjugatie, dan is de stabilisator van een gegeven ondergroep voor deze werking precies de normalisator van deze ondergroep.

Zij G {\displaystyle G} de groep van inverteerbare n × n {\displaystyle n\times n} -matrices (met reële coëfficiënten) voor een natuurlijk getal n {\displaystyle n} . Zij H {\displaystyle H} verder de ondergroep van de diagonaalmatrices. Dan is de normalisator van H {\displaystyle H} in G {\displaystyle G} de groep van matrices waar in elke rij en in elke kolom precies één invoerwaarde ongelijk is aan nul. Het quotiënt N G ( H ) / H {\displaystyle N_{G}(H)/H} is isomorf met de symmetrische groep S n {\displaystyle S_{n}} .

Vereist men dat H {\displaystyle H} per element invariant is onder de conjugatie met groepselementen, dan verkrijgt men het sterkere begrip van de centralisator C G ( H ) {\displaystyle C_{G}(H)} . De centralisator is in de desbetreffende normalisator een normaaldeler.