Versore

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In matematica, un versore è un vettore in uno spazio normato di norma uguale ad 1. Un versore è utilizzato per indicare una particolare direzione e verso.

Dato un qualunque vettore v {\displaystyle \mathbf {v} } (diverso dal vettore nullo che è l'unico ad avere modulo pari a zero) è possibile formarne un versore moltiplicandolo per il reciproco del suo modulo:

v ^ = v ‖ v ‖ . {\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}={\frac {\mathbf {v} }{\lVert \mathbf {v} \rVert }}.}

Esempi di versori comunemente utilizzati sono:

• I versori associati agli assi cartesiani nello spazio: sono una terna di vettori di modulo unitario, ognuno parallelo ad uno degli assi coordinati. Sono indicati equivalentemente con:
  1. ı ^ , ȷ ^ , k ^ ; {\displaystyle {\hat {\imath }},{\hat {\jmath }},{\hat {k}};}
  2. e x , e y , e z ; {\displaystyle \mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z};}
  3. e 1 , e 2 , e 3 ; {\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3};}
  4. x ^ , y ^ , z ^ ; {\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }},{\hat {\mathbf {y} }},{\hat {\mathbf {z} }};}
  5. x 0 , y 0 , z 0 ; {\displaystyle \mathbf {x} _{0},\mathbf {y} _{0},\mathbf {z} _{0};}
  6. [ 1 0 0 ] , [ 0 1 0 ] , [ 0 0 1 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}.}
• I versori associati agli assi cartesiani nel piano: analoghi dei precedenti. Sono indicati come i precedenti, con l'eccezione che il terzo versore è mancante (e nel sesto caso sono presenti solo due componenti in ognuno dei due vettori rimanenti).
• I versori associati ad un sistema di coordinate polari nel piano, che indicano la direzione radiale ed angolare. Si possono indicare equivalentemente con:
  1. r ^ , θ ^ ; {\displaystyle {\hat {r}},{\hat {\theta }};}
  2. r ^ , θ ^ ; {\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }},{\hat {\boldsymbol {\theta }}};}
  3. e r , e θ ; {\displaystyle \mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\theta };}
  4. r 0 , θ 0 . {\displaystyle \mathbf {r} _{0},{\boldsymbol {\theta }}_{0}.}
• Data una curva nel piano, per ogni punto di essa è possibile considerare il versore tangente e il versore normale. Si indicano spesso nei seguenti tre modi equivalenti:
  1. t ^ , n ^ ; {\displaystyle {\hat {t}},{\hat {n}};}
  2. t ^ , n ^ ; {\displaystyle {\hat {\mathbf {t} }},{\hat {\mathbf {n} }};}
  3. e t , e n . {\displaystyle \mathbf {e} _{t},\mathbf {e} _{n}.}

Lo stesso argomento in dettaglio: Derivata.

Sia v ^ ( t ) {\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}(t)} un versore dipendente dal tempo. Se consideriamo il prodotto scalare di questo vettore per se stesso abbiamo:

v ^ ⋅ v ^ = | v ^ | 2 {\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}\cdot {\hat {\mathbf {v} }}=\left|{\hat {\mathbf {v} }}\right|^{2}}

e ricordando che i versori hanno modulo unitario si ha

v ^ ⋅ v ^ = 1. {\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}\cdot {\hat {\mathbf {v} }}=1.}

Prendendo quest'ultima espressione, e derivandola membro a membro rispetto al tempo otteniamo:

v ^ ′ ⋅ v ^ + v ^ ⋅ v ^ ′ = 0. {\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}'\cdot {\hat {\mathbf {v} }}+{\hat {\mathbf {v} }}\cdot {\hat {\mathbf {v} }}'=0.}

Data la commutatività del prodotto scalare

2 ( v ^ ′ ⋅ v ^ ) = 0 {\displaystyle 2\left({\hat {\mathbf {v} }}'\cdot {\hat {\mathbf {v} }}\right)=0}

v ^ ′ ⋅ v ^ = 0. {\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}'\cdot {\hat {\mathbf {v} }}=0.}

Poiché deve essere nullo il prodotto scalare di v ^ ′ ⋅ v ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}'\cdot {\hat {\mathbf {v} }}} , si evince che la derivata di un versore è sempre perpendicolare al versore stesso. Ciò in quanto il prodotto scalare può anche essere visto come la proiezione di un vettore sull'altro, che si annulla se e solo se i due vettori sono appunto perpendicolari.

La derivata di un versore, in generale, non è un versore; per dimostrarlo basta considerare il generico versore in coordinate polari:

v ^ ( t ) = θ ( t ) , θ ^ + 1 r ^ , {\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}(t)=\theta (t),{\hat {\theta }}+1\,{\hat {r}},}

che in coordinate cartesiane diviene:

v ^ ( t ) = cos ⁡ ( θ ( t ) ) ı ^ + sin ⁡ ( θ ( t ) ) ȷ ^ . {\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}(t)=\cos \left(\theta (t)\right)\,{\hat {\imath }}+\sin \left(\theta (t)\right)\,{\hat {\jmath }}.}

Derivando rispetto a t {\displaystyle t} si ottiene:

v ^ ′ ( t ) = θ ′ ( t ) ( − sin ⁡ ( θ ( t ) ) ı ^ + cos ⁡ ( θ ( t ) ) ȷ ^ ) , {\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}'(t)=\theta '(t)(-\sin(\theta (t))\,{\hat {\imath }}+\cos(\theta (t))\,{\hat {\jmath }}),}

dove il termine

− sin ⁡ ( θ ( t ) ) ı ^ + cos ⁡ ( θ ( t ) ) ȷ ^ {\displaystyle -\sin(\theta (t))\,{\hat {\imath }}+\cos(\theta (t))\,{\hat {\jmath }}}

è il versore ortogonale di modulo unitario, e dove il termine

θ ′ ( t ) {\displaystyle \theta '(t)}

è in generale diverso dall'unità.

• Vettore (matematica)
• Vettore (fisica)
• Normalizzazione (matematica)
• Norma (matematica)
• Spazio vettoriale
• Spazio normato
• Circonferenza unitaria

• Wikizionario contiene il lemma di dizionario «versore»

• (EN) Eric W. Weisstein, Unit Vector, su MathWorld, Wolfram Research.

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