Supporto (matematica)

In matematica, il supporto o sostegno di una funzione è il sottoinsieme dei punti del dominio dove la funzione non si annulla. Se il dominio è uno spazio topologico e la funzione è continua, allora è conveniente definire il supporto come la chiusura dell'insieme dei punti del dominio dove la funzione non si annulla.

Nel caso di una curva, il supporto è definito come l'immagine della parametrizzazione della curva.

Nel caso di una misura μ {\displaystyle \mu } su uno spazio misurabile ( X , A ) {\displaystyle (X,{\mathcal {A}})} , il supporto è definito come la chiusura del sottoinsieme di X {\displaystyle X} i cui punti hanno la proprietà che ogni loro intorno ha misura positiva.

Sia X {\displaystyle X} uno spazio topologico, e Y {\displaystyle Y} uno spazio vettoriale. Sia:

f : Ω ⊆ X → Y {\displaystyle f:\Omega \subseteq X\to Y}

Si definisce supporto di f {\displaystyle f} l'insieme:^[1]

supp ⁡ f := { x ∈ Ω : f ( x ) ≠ 0 } ¯ {\displaystyle \operatorname {supp} f:={\overline {\{\mathbf {x} \in \Omega :f(\mathbf {x} )\neq \mathbf {0} \}}}}

Di particolare importanza in analisi sono le funzioni a supporto compatto.

Il supporto di una misura μ {\displaystyle \mu } su uno spazio misurabile ( X , A ) {\displaystyle (X,{\mathcal {A}})} è la chiusura del sottoinsieme di X {\displaystyle X} i cui punti hanno la proprietà che ogni loro intorno ha misura positiva.

Sia ( X , A , μ ) {\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )} uno spazio misurabile (con misura non negativa), allora:

s u p p μ := { x ∈ X : ∀ N ∋ x , μ ( N ) > 0 } ¯ {\displaystyle \mathrm {supp} \,\mu :={\overline {\{x\in X\,:\forall N\ni x,\,\mu (N)>0\}}}}

Il supporto di una curva è definito come l'immagine della parametrizzazione della curva. Sia r {\displaystyle \mathbf {r} } la parametrizzazione di una curva:

r : I ⊆ R → R n , {\displaystyle \mathbf {r} :I\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n},}

allora il suo supporto Γ {\displaystyle \Gamma } è l'immagine di r {\displaystyle \mathbf {r} } , cioè l'insieme:

Γ = { x ∈ R n : ∃ t ∈ I , x = r ( t ) } = r ( I ) . {\displaystyle \Gamma =\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}:\exists t\in I,\,\mathbf {x} =\mathbf {r} (t)\}=\mathbf {r} (I).}

Si nota che per descrivere la curva non basta solo il suo supporto. Infatti, ad esempio, la curva γ 1 ( t ) = ( cos ⁡ t , sin ⁡ t ) , t ∈ [ 0 , 2 π ] {\displaystyle \gamma _{1}(t)=(\cos t,\sin t),t\in [0,2\pi ]} e la curva γ 2 ( t ) = ( cos ⁡ t , sin ⁡ t ) , t ∈ [ 0 , 3 π ] {\displaystyle \gamma _{2}(t)=(\cos t,\sin t),t\in [0,3\pi ]} hanno lo stesso supporto, ma la prima è semplice e chiusa, la seconda no.

Nell'analisi di Fourier, il supporto singolare di una distribuzione è intuitivamente definito come l'insieme dei punti in cui la distribuzione non è una funzione liscia. Per esempio, la trasformata di Fourier della funzione gradino di Heaviside può essere vista come la funzione 1 / x {\displaystyle 1/x} eccetto per il punto x = 0 {\displaystyle x=0} . Nello specifico, essa ha la forma:

H ^ ( s ) = lim N → ∞ ∫ − N N e − 2 π i x s H ( x ) d x = 1 2 ( δ ( s ) − i π p . v . 1 s ) {\displaystyle {\hat {H}}(s)=\lim _{N\to \infty }\int _{-N}^{N}\mathrm {e} ^{-2\pi ixs}H(x)\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\left(\delta (s)-{\frac {i}{\pi }}\mathrm {p.v.} {\frac {1}{s}}\right)}

La trasformata possiede quindi un supporto singolare { 0 } {\displaystyle \{0\}} e non può essere espressa come una funzione, ma come la distribuzione (temperata) p . v . 1 / s {\displaystyle \mathrm {p.v.} 1/s} che associa alla funzione di test φ {\displaystyle \varphi } il valore principale di Cauchy di:

∫ − ∞ ∞ φ ( s ) / s d s {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (s)/s\,\mathrm {d} s}

• (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
• (EN) Gerald B. Folland, Real Analysis, 2nd ed., New York, John Wiley, 1999, p. 132.
• (EN) Lars Hörmander, Linear Partial Differential Equations I, 2nd ed., Berlin, Springer-Verlag, 1990, p. 14.
• (EN) Andrea Pascucci, PDE and Martingale Methods in Option Pricing, Berlin, Springer-Verlag, 2011, p. 678, DOI:10.1007/978-88-470-1781-8, ISBN 978-88-470-1780-1.

• Chiusura (topologia)
• Dominio (matematica)
• Funzione a supporto compatto

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