Successive Over Relaxation

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In analisi numerica, il metodo Successive Over Relaxation, comunemente detto SOR o metodo del sovrarilassamento, è un metodo iterativo per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari, variante del metodo di Gauss-Seidel. Fu introdotta dal matematico statunitense David M. Young nel 1950.

Indicando con x g s ( k ) {\displaystyle x_{gs}^{(k)}} l'approssimazione della soluzione ottenuta dal metodo di Gauss-Seidel al k-esimo passo di iterazione, il metodo SOR viene definito come:

x ( k + 1 ) = ω x g s ( k + 1 ) + ( 1 − ω ) x ( k ) {\displaystyle x^{(k+1)}=\omega x_{gs}^{(k+1)}+(1-\omega )x^{(k)}}

dove ω {\displaystyle \omega } è detto parametro di rilassamento.

Più esplicitamente:

x i ( k + 1 ) = x i k + ω r i k {\displaystyle x_{i}^{(k+1)}=x_{i}^{k}+\omega r_{i}^{k}}

dove r indica la correzione necessaria a x k {\displaystyle x^{k}} per ottenere x k + 1 {\displaystyle x^{k+1}} e viene calcolata come:

r i k = 1 / a i i [ b i − ∑ j = 1 i − 1 a i j x j k + 1 − ∑ j = i n a i j x j k ] {\displaystyle r_{i}^{k}=1/a_{ii}\left[b_{i}-\sum _{j=1}^{i-1}a_{ij}x_{j}^{k+1}-\sum _{j=i}^{n}a_{ij}x_{j}^{k}\right]}

Quando ω = 1 {\displaystyle \omega =1} il metodo SOR coincide con il metodo di Gauss-Seidel.

Si dimostra che condizione necessaria affinché tale metodo converga è che 0 < ω < 2 {\displaystyle 0<\omega <2} , e che tale condizione è sufficiente se la matrice A {\displaystyle A} cui è applicato il metodo è diagonalmente dominante in senso stretto.

• Metodo di Gauss-Seidel

• Pagina Web di David M. Young, su cs.utexas.edu. URL consultato il 4 maggio 2019 (archiviato dall'url originale il 1º dicembre 2008).* (1950)
• D. R. Kincaid Celebrating Fifty Years of David M. Young's Successive Overrelaxation Method

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