Processo di Poisson

Un processo di Poisson, dal nome del matematico francese Siméon-Denis Poisson, è un processo stocastico che simula il manifestarsi di eventi che siano indipendenti l'uno dall'altro e che accadano continuamente nel tempo. Il processo è definito da una collezione di variabili aleatorie N t {\displaystyle N_{t}} per t > 0 , {\displaystyle t>0,} che vengono viste come il numero di eventi occorsi dal tempo 0 al tempo t . {\displaystyle t.} Inoltre il numero di eventi tra il tempo a {\displaystyle a} e il tempo b {\displaystyle b} è dato come N b − N a {\displaystyle N_{b}-N_{a}} ed ha una distribuzione di Poisson. Ogni traiettoria del processo (ovvero ogni possibile mappa da t {\displaystyle t} a N t ( ω ) , {\displaystyle N_{t}(\omega ),} dove ω {\displaystyle \omega } appartiene allo spazio di probabilità su cui è definita N {\displaystyle N} ) è una funzione a gradino sui numeri interi.

Il processo di Poisson è un processo a tempo continuo: la sua controparte a tempo discreto è il processo di Bernoulli. Il processo di Poisson è uno dei più famosi processi di Lévy. I processi di Poisson sono anche un esempio di catena di Markov a tempo continuo.

Esistono tre definizioni equivalenti di processo di Poisson:

Un processo di Poisson è un processo stocastico che soddisfa le seguenti proprietà:

• N 0 = 0. {\displaystyle N_{0}=0.}
• Il numero di eventi contati in intervalli di tempo disgiunti sono indipendenti, ossia le variabili aleatorie

N t k − N t k − 1 , … , N t 1 − N t 0 , ∀ t 0 = 0 < t 1 < ⋯ < t k , {\displaystyle N_{t_{k}}-N_{t_{k-1}},\dots ,N_{t_{1}}-N_{t_{0}},\qquad \forall t_{0}=0<t_{1}<\dots <t_{k},}

sono indipendenti.

• La probabilità di un evento in un piccolo intervallo di tempo è proporzionale alla lunghezza, ossia, per h → 0 {\displaystyle h\rightarrow 0}

P ( N t + h − N t = 1 ) = λ h + o ( h ) . {\displaystyle \mathbb {P} (N_{t+h}-N_{t}=1)=\lambda h+o(h).}

La costante di proporzionalità λ {\displaystyle \lambda } è detta intensità del processo.

• La probabilità che accada più di un evento in un piccolo intervallo di tempo è trascurabile, ossia

P ( N t + h − N t > 1 ) = o ( h ) . {\displaystyle \mathbb {P} (N_{t+h}-N_{t}>1)=o(h).}

Consideriamo degli eventi che si manifestano a distanze aleatorie S k {\displaystyle S_{k}} l'uno dall'altro, dove gli S k {\displaystyle S_{k}} sono distribuzioni esponenziali di parametro λ {\displaystyle \lambda } , ognuna indipendente dalle altre. Allora il processo definito da

N t = sup { n : ∑ k = 1 n S k ≤ t } {\displaystyle N_{t}=\sup {\left\{n:\sum _{k=1}^{n}{S_{k}}\leq t\right\}}}

è un processo di Poisson di intensità λ . {\displaystyle \lambda .}

Un processo di Poisson è un processo stocastico che soddisfa le seguenti proprietà:

• N 0 = 0. {\displaystyle N_{0}=0.}
• Gli incrementi sono stazionari (ovvero la distribuzione del numero di eventi che accadono in un certo intervallo dipende solo dalla lunghezza dell'intervallo) e hanno distribuzione di Poisson di parametro λ t , {\displaystyle \lambda t,} ossia:

P ( N t + τ − N t = k ) = e − λ τ ( λ τ ) k k ! , k = 0 , 1 , … . {\displaystyle \mathbb {P} (N_{t+\tau }-N_{t}=k)={\frac {e^{-\lambda \tau }(\lambda \tau )^{k}}{k!}},\qquad k=0,1,\ldots .}

Oltre a quelle elencate nelle definizioni, il processo di Poisson soddisfa altre proprietà:

• Il processo di Poisson soddisfa la proprietà di Markov.
• Il processo di Poisson soddisfa la proprietà di Markov forte.
• Il tempo del n-esimo evento ha distribuzione Gamma Γ ( n , 1 λ ) {\displaystyle \Gamma \left(n,{\frac {1}{\lambda }}\right)} .
• Sapendo che in un certo intervallo di tempo è accaduto un solo evento, si ha che la sua distribuzione è uniforme.
• Se N t {\displaystyle N_{t}} e M t {\displaystyle M_{t}} sono due processi di Poisson indipendenti di intensità λ {\displaystyle \lambda } e μ {\displaystyle \mu } , allora Z t = N t + M t {\displaystyle Z_{t}=N_{t}+M_{t}} è un processo di Poisson di intensità λ + μ . {\displaystyle \lambda +\mu .}
• Il processo di Poisson è un processo di Lévy.

• J.R. Norris, Markov Chains, Cambridge University Press, 1997.

• Distribuzione di Poisson
• Processo di Poisson composto
• Processo markoviano
• Processo stocastico
• Teoria delle code

• Giacomo Aletti, Processo stocastico di Poisson, in Enciclopedia della scienza e della tecnica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2008.
• (EN) Poisson process, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Opere riguardanti Poisson processes, su Open Library, Internet Archive.
• (EN) Eric W. Weisstein, Poisson Process, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Poisson process, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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