Porta quantistica

Una porta quantistica o porta quantica è una porta logica basata sulla fisica quantistica e su circuiti che operano con un piccolo numero di qubit. Sono l'analogo quantistico delle porte logiche digitali dei computer convenzionali.

Le porte quantistiche, a differenza di quelle tradizionali, sono reversibili. Alcune porte logiche classiche universali come la porta di Toffoli forniscono la reversibilità e possono essere mappate direttamente in porte logiche quantistiche.

Le porte logiche quantistiche sono rappresentate da matrici unitarie. Il numero di qubit in ingresso e in uscita dalla porta deve essere uguale; una porta che agisce su n {\displaystyle n} qubit è rappresentata da una matrice unitaria 2 n × 2 n {\displaystyle 2^{n}\times 2^{n}} . Gli stati quantistici su cui agiscono le porte sono vettori in 2 n {\displaystyle 2^{n}} dimensioni complesse. I vettori della base sono i possibili esiti della misura dello stato, e uno stato quantistico è una combinazione lineare di questi esiti. Le porte quantistiche più comuni operano su spazi a uno o due qubit, proprio come le porte logiche classiche operano su uno o due bit.

Gli stati quantistici sono tipicamente rappresentati da "ket", seguendo la notazione bra-ket.

La rappresentazione vettoriale di un singolo qubit è:

| a ⟩ = v 0 | 0 ⟩ + v 1 | 1 ⟩ → [ v 0 v 1 ] {\displaystyle |a\rangle =v_{0}|0\rangle +v_{1}|1\rangle \rightarrow {\begin{bmatrix}v_{0}\\v_{1}\end{bmatrix}}} ,

dove v 0 {\displaystyle v_{0}} e v 1 {\displaystyle v_{1}} sono ampiezze di probabilità complesse del qubit. Questi valori determinano la probabilità di misurare uno 0 o un 1, quando si misura lo stato del qubit.

Il valore zero è rappresentato dal ket | 0 ⟩ = [ 1 0 ] {\displaystyle |0\rangle ={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}} , e il valore uno dal ket | 1 ⟩ = [ 0 1 ] {\displaystyle |1\rangle ={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}} .

Il prodotto tensoriale (o prodotto di Kronecker) è usato per combinare stati quantistici. Lo stato combinato di due qubit è il prodotto tensoriale dei due qubit. Il prodotto tensoriale è indicato dal simbolo ⊗ {\displaystyle \otimes } .

La rappresentazione vettoriale di due qubit è:

| a b ⟩ = | a ⟩ ⊗ | b ⟩ = v 00 | 00 ⟩ + v 01 | 01 ⟩ + v 10 | 10 ⟩ + v 11 | 11 ⟩ → [ v 00 v 01 v 10 v 11 ] {\displaystyle |ab\rangle =|a\rangle \otimes |b\rangle =v_{00}|00\rangle +v_{01}|01\rangle +v_{10}|10\rangle +v_{11}|11\rangle \rightarrow {\begin{bmatrix}v_{00}\\v_{01}\\v_{10}\\v_{11}\end{bmatrix}}} ,

L'azione della porta su uno specifico stato quantistico si trova moltiplicando il vettore | ψ 1 ⟩ {\displaystyle |\psi _{1}\rangle } che rappresenta lo stato, per la matrice U {\displaystyle U} che rappresenta la porta. Il risultato è un nuovo stato quantistico

| ψ 2 ⟩ = U | ψ 1 ⟩ {\displaystyle |\psi _{2}\rangle =U|\psi _{1}\rangle }

La porta di Hadamard agisce su un singolo qubit. Ha il seguente effetto sugli stati di base | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } e | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } :

| 0 ⟩ ⟶ | 0 ⟩ + | 1 ⟩ 2 | 1 ⟩ ⟶ | 0 ⟩ − | 1 ⟩ 2 {\displaystyle {\begin{aligned}|0\rangle &\longrightarrow {\frac {|0\rangle +|1\rangle }{\sqrt {2}}}\\|1\rangle &\longrightarrow {\frac {|0\rangle -|1\rangle }{\sqrt {2}}}\end{aligned}}}

Ciò significa che una misura dello stato in uscita avrà la stessa probabilità di dare 1 o 0 (cioè si crea una sovrapposizione).^[1] Rappresenta una rotazione di π {\displaystyle \pi } intorno all'asse ( x ^ + z ^ ) / 2 {\displaystyle ({\hat {x}}+{\hat {z}})/{\sqrt {2}}} nella sfera di Bloch. Equivalentemente, è la combinazione di due rotazioni, di π {\displaystyle \pi } intorno all'asse Z, e poi di π / 2 {\displaystyle \pi /2} intorno all'asse Y: R y ( π / 2 ) R z ( π ) = i H {\displaystyle R_{y}(\pi /2)R_{z}(\pi )=iH} . Viene rappresentata dalla matrice di Hadamard:^[1]

H = 1 2 [ 1 1 1 − 1 ] {\displaystyle H={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}} .

Siccome H H † = I {\displaystyle HH^{\dagger }=I} dove I è la matrice identità, H è una matrice unitaria (come tutte le porte logiche quantistiche).

La porta X di Pauli agisce su un singolo qubit. È l'equivalente quantistico della porta NOT per i computer classici (rispetto alla base standard | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } , | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } , che distingue la direzione Z, nel senso che una misura dell'autovalore 1 corrisponde al classico 1 e una misura di -1 corrisponde a 0). Equivale a una rotazione di π {\displaystyle \pi } radianti intorno all'asse X della sfera di Bloch. Manda | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } in | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } e | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } in | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } . A causa di questa caratteristica, viene talvolta chiamata bit-flip. Viene rappresentata dalla prima delle matrici di Pauli:^[1]

X = [ 0 1 1 0 ] {\displaystyle X={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}} .

La porta Y di Pauli agisce su un singolo qubit. Equivale a una rotazione di π {\displaystyle \pi } radianti attorno all'asse Y della sfera di Bloch. Manda | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } in i | 1 ⟩ {\displaystyle i|1\rangle } e | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } in − i | 0 ⟩ {\displaystyle -i|0\rangle } . Viene rappresentata dalla seconda delle matrici di Pauli:^[1]

Y = [ 0 − i i 0 ] {\displaystyle Y={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}} .

La porta Z di Pauli agisce su un singolo qubit. Equivale a una rotazione di π {\displaystyle \pi } radianti attorno all'asse Z della sfera di Bloch. Perciò, è un caso particolare di porta di phase shift con ϕ = π {\displaystyle \phi =\pi } . Lascia lo stato di base | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } invariato mentre manda | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } in − | 1 ⟩ {\displaystyle -|1\rangle } . A causa di questa caratteristica, è talvolta chiamata phase-flip. Viene rappresentata dalla terza matrice di Pauli:^[1]

Z = [ 1 0 0 − 1 ] {\displaystyle Z={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}} .

Si tratta di una famiglia di porte a singolo qubit che mandano gli stati di base | 0 ⟩ ↦ | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle \mapsto |0\rangle } e | 1 ⟩ ↦ e i ϕ | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle \mapsto e^{i\phi }|1\rangle } .^[2] La probabilità di misurare uno | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } o | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } non cambia dopo aver applicato questa porta, tuttavia modifica la fase dello stato quantistico. È equivalente a tracciare un cerchio orizzontale (una linea di latitudine) sulla sfera di Bloch di ϕ {\displaystyle \phi } radianti.

R ϕ = [ 1 0 0 e i ϕ ] {\displaystyle R_{\phi }={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i\phi }\end{bmatrix}}}

dove ϕ {\displaystyle \phi } è il phase shift. Alcuni esempi comuni sono la porta T dove ϕ = π 4 {\displaystyle \phi ={\frac {\pi }{4}}} , la porta S (anche se S si usa talvolta per le porte SWAP) dove ϕ = π 2 {\displaystyle \phi ={\frac {\pi }{2}}} e la porta Z di Pauli dove ϕ = π {\displaystyle \phi =\pi } .

Le porte di phase gate sono correlate come segue:

Z = [ 1 0 0 e i π ] = [ 1 0 0 − 1 ] {\displaystyle Z={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i\pi }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}

S = [ 1 0 0 e i π 2 ] = [ 1 0 0 i ] = Z {\displaystyle S={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i{\frac {\pi }{2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&i\end{bmatrix}}={\sqrt {Z}}}

T = [ 1 0 0 e i π 4 ] = S = Z 4 {\displaystyle T={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i{\frac {\pi }{4}}}\end{bmatrix}}={\sqrt {S}}={\sqrt[{4}]{Z}}}

• Michael Nielsen e Isaac Chang, Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge, Cambridge University Press, 2000, ISBN 0521632358, OCLC 43641333.
• Noson S. Yanofsky e Mirco Mannucci, Quantum computing for computer scientists, Cambridge University Press, 2013, ISBN 978-0-521-87996-5.

• Porta logica
• Porta di Toffoli
• Porta di Fredkin
• Lista delle porte quantistiche

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