Indice Atkinson

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L'indice di disuguaglianza di Atkinson è un misuratore economico della disuguaglianza dei redditi creato da Anthony Barnes Atkinson.

Si basa sul reddito pro-capite che, ove fosse condiviso da tutta la popolazione, genererebbe lo stesso livello di benessere che scaturisce dalla distribuzione dei redditi osservata.

L'indice Atkinson è definito come:

A = { 1 − 1 μ ( 1 N ∑ i = 1 N y i 1 − ε ) 1 / ( 1 − ε ) per   ε ∈ [ 0 , 1 ) 1 − 1 μ ( ∏ i = 1 N y i ) 1 / N per   ε = 1 , {\displaystyle A={\begin{cases}1-{\frac {1}{\mu }}\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}y_{i}^{1-\varepsilon }\right)^{1/(1-\varepsilon )}&{\mbox{per}}\ \varepsilon \in \left[0,1\right)\\1-{\frac {1}{\mu }}\left(\prod _{i=1}^{N}y_{i}\right)^{1/N}&{\mbox{per}}\ \varepsilon =1,\end{cases}}}

dove y i {\displaystyle y_{i}} è il reddito individuale (i = 1, 2, ..., N) e μ {\displaystyle \mu } è il reddito medio.

L'indice Atkinson è basato sulla teoria economica. Può essere interpretato nel seguente modo. Siano W ¯ {\displaystyle {\bar {W}}} l'utilità sociale attuale e y ∗ {\displaystyle y^{*}} il reddito che, se tutti gli individui avessero questa somma, dà la medesima utilità sociale.

Prendendo il caso di due individui, si può rappresentare graficamente la costruzione dell'indice Atkinson.

Se y 1 o {\displaystyle y_{1}^{o}} è il reddito del primo individuo e y 2 o {\displaystyle y_{2}^{o}} quello del secondo, il reddito medio è y ¯ {\displaystyle {\bar {y}}} , cioè la media aritmetica dei due redditi. Sia A = 1 − y ∗ y ¯ {\displaystyle A=1-{\frac {y^{*}}{\bar {y}}}} una misura della disuguaglianza dei redditi basata sull'utilità sociale. Può essere calcolata se si conosce l'utilità sociale ( W {\displaystyle W} ). Se questa misura deve essere indipendente dalla media dei redditi, la funzione di utilità sociale deve avere la forma seguente :

W = 1 1 − ε ∑ 1 = 1 N y i 1 − ε {\displaystyle W={\frac {1}{1-\varepsilon }}\sum _{1=1}^{N}y_{i}^{1-\varepsilon }}

dove N {\displaystyle N} è il numero di individui e ε {\displaystyle \varepsilon } una costante da definire (con ε ≥ 0 {\displaystyle \varepsilon \geq 0} per ottenere una curva di indifferenza concava). Atkinson propone di determinare ε {\displaystyle \varepsilon } nel seguente modo. C'è una persona con un reddito doppio dell'altra. Si prende 1 euro dalla persona ricca per dare x < 1 {\displaystyle x<1} euro all'altra (il resto è perso a causa dei costi amministrativi del prelevamento: costo dell'apparato fiscale per esempio). La parte persa aumenta quando la pressione fiscale è forte. Per quale valore di x {\displaystyle x} bisogna fermarsi? La risposta determina il valore di ε {\displaystyle \varepsilon } secondo la formula 1 x = 2 ϵ {\displaystyle {\frac {1}{x}}=2^{\epsilon }} . Se si ferma a 0.5 allora ε {\displaystyle \varepsilon } è uguale a uno e così di seguito.

Se tutte le persone hanno il medesimo reddito y ∗ {\displaystyle y^{*}} allora W = N 1 − ε ( y ∗ ) 1 − ε {\displaystyle W={\frac {N}{1-\varepsilon }}(y^{*})^{1-\varepsilon }} . Sostituendo y ∗ {\displaystyle y^{*}} nella formula A = 1 − y ∗ y ¯ {\displaystyle A=1-{\frac {y^{*}}{\bar {y}}}} si ottiene l'indice Atkinson.

Se ε = 0 {\displaystyle \varepsilon =0} allora la funzione di utilità sociale è unicamente la somma dei redditi. La società non è interessata alla distribuzione dei redditi. Al contrario, se ε = ∞ {\displaystyle \varepsilon =\infty } allora la società considera unicamente il reddito dell'individuo più povero. Questa attitudine corrisponde alla teoria contrattuale della giustizia sociale sviluppata da John Rawls. Praticamente, si utilizzano dei valori tra 0.5 e 1.5.

L'indice Atkinson è una misura del guadagno potenziale (in termine di utilità sociale) di una ridistribuzione dei redditi. Se A {\displaystyle A} è uguale a 0.04 allora si può ottenere la medesima utilità sociale con solo il 96% del reddito totale [ ( 1 − 0.04 ) × 100 {\displaystyle (1-0.04)\times 100} ].

L'indice Atkinson rivela una differenza nella ripartizione nei redditi bassi rispetto ad una differenza nei redditi alti, ciò che non è il caso dell'indice di Gini, più conosciuto. Prendiamo il caso di tre società con quattro impiegati. Rispetto alla società A, la società B ha una disuguaglianza più forte nei redditi bassi mentre la società C ha una disuguaglianza più forte nei redditi alti.

L'indice di Gini aumenta da 0.25 a 0.275 passando da A a B o da A a C. Al contrario l'indice Atkinson (con ε = 1.5 {\displaystyle \varepsilon =1.5} ) passa da 0.175 per A a 0.344 per B mentre che per C l'indice è di 0.190. L'aumento è più debole.

• Paul D. Allison, Measures of Inequality, American Sociological Review, 43 (December 1978), pp. 865–880, presents a technical discussion of the Atkinson measure's properties.
• Atkinson, AB (1970) On the measurement of economic inequality. Journal of Economic Theory, 2 (3), pp. 244–263
• Atkinson, AB (1975) Economics of inequality, Oxford University Press
• Amartya Sen, James E. Foster: On Economic Inequality, Oxford University Press, 1996 (Python script Archiviato il 25 marzo 2010 in Internet Archive. for a selection of formulas in the book)
• Income Inequality, 1947-1998, from the United States Census Office.
• World Income Inequality Database, su wider.unu.edu. URL consultato il 30 marzo 2012 (archiviato dall'url originale il 13 marzo 2011).

• Indice di concentrazione di Gini

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