Finite impulse response

Nella teoria dei segnali, in particolare nell'elaborazione numerica dei segnali, un sistema dinamico finite impulse response, in italiano risposta finita all'impulso e spesso abbreviato in FIR, è una tipologia di filtro digitale caratterizzata da una risposta impulsiva di durata finita, cioè che si annulla ad un tempo finito. I sistemi la cui risposta non si annulla ad un tempo finito sono detti infinite impulse response (IIR).

L'uscita y ( t ) {\displaystyle y(t)} di un sistema dinamico lineare tempo-invariante (LTI) a tempo continuo soggetto ad un segnale in ingresso x ( t ) {\displaystyle x(t)} è descritta dalla convoluzione y ( t ) = x ( t ) ∗ h ( t ) {\displaystyle y(t)=x(t)*h(t)} , dove h ( t ) {\displaystyle h(t)} è la risposta del sistema quando l'ingresso x ( t ) {\displaystyle x(t)} è una funzione a delta di Dirac. L'uscita y {\displaystyle y} è quindi proporzionale alla media dell'ingresso x {\displaystyle x} pesata dalla funzione h ( − τ ) {\displaystyle h(-\tau )} , traslata di un tempo t {\displaystyle t} :

y ( t ) = ∫ − ∞ ∞ x ( τ ) h ( t − τ ) d τ {\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )h(t-\tau )d\tau }

Un sistema dinamico lineare stazionario discreto trasforma la successione in ingresso { x } {\displaystyle \{x\}} in un'altra successione { y } {\displaystyle \{y\}} , data dalla convoluzione discreta con la risposta h {\displaystyle h} alla delta di Kronecker:

y [ n ] = ∑ k = − ∞ ∞ x [ k ] ⋅ h [ n − k ] = ∑ k = − ∞ ∞ x [ n − k ] ⋅ h [ k ] {\displaystyle y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot h[n-k]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[n-k]\cdot h[k]}

Gli elementi di { y } {\displaystyle \{y\}} possono dipendere da ogni elemento di { x } {\displaystyle \{x\}} . Solitamente y [ n ] {\displaystyle y[n]} dipende maggiormente dagli elementi in prossimità del tempo n {\displaystyle n} .

Per un filtro a tempo discreto l'uscita è una somma pesata dei valori assunti dall'ingresso al tempo corrente ed a tempi precedenti. Tale operazione è descritta dalla seguente equazione:

y [ n ] = h 0 x [ n ] + h 1 x [ n − 1 ] + ⋯ + h N x [ n − N ] = ∑ i = 0 N h i x [ n − i ] {\displaystyle y[n]=h_{0}x[n]+h_{1}x[n-1]+\cdots +h_{N}x[n-N]=\sum _{i=0}^{N}h_{i}x[n-i]}

dove h i {\displaystyle h_{i}} sono detti coefficienti del filtro, che determinano la risposta impulsiva, ed N {\displaystyle N} l'ordine del filtro. Per un filtro di ordine N {\displaystyle \scriptstyle N} compaiono ( N + 1 ) {\displaystyle \scriptstyle (N\,+\,1)} termini nel membro alla sinistra.

Un filtro a media mobile è uno dei più semplici filtri FIR, i cui coefficienti b 0 , … , b N {\displaystyle b_{0},\,\dots ,\,b_{N}} soddisfano l'equazione:

b i = 1 N + 1 {\displaystyle b_{i}={\frac {1}{N+1}}}

Ad esempio, un filtro di ordine N = 2 {\displaystyle N=2} ha risposta impulsiva:

h [ n ] = 1 3 δ [ n ] + 1 3 δ [ n − 1 ] + 1 3 δ [ n − 2 ] {\displaystyle h[n]={\frac {1}{3}}\delta [n]+{\frac {1}{3}}\delta [n-1]+{\frac {1}{3}}\delta [n-2]}

Facendone la trasformata zeta:

H ( z ) = 1 3 + 1 3 z − 1 + 1 3 z − 2 = 1 3 z 2 + z + 1 z 2 {\displaystyle H(z)={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}z^{-1}+{\frac {1}{3}}z^{-2}={\frac {1}{3}}{\frac {z^{2}+z+1}{z^{2}}}}

i cui due poli sono nell'origine e i due zeri in:

z 1 = − 1 2 + j 3 2 z 2 = − 1 2 − j 3 2 {\displaystyle z_{1}\;=\;-{\frac {1}{2}}\,+\,j{\frac {\sqrt {3}}{2}}\qquad z_{2}\;=\;-{\frac {1}{2}}\,-\,j{\frac {\sqrt {3}}{2}}}

La risposta in frequenza (in radianti per campione) è:

H ( e j ω ) = 1 3 + 1 3 e − j ω + 1 3 e − j 2 ω {\displaystyle H\left(e^{j\omega }\right)={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}e^{-j\omega }+{\frac {1}{3}}e^{-j2\omega }}

• (EN) Phillips, C.l., Parr, J.M., & Riskin, E.A, Signals, systems and Transforms, Prentice Hall, 2007, ISBN 0-13-041207-4.
• (EN) Hespanha,J.P., Linear System Theory, Princeton university press, 2009, ISBN 0-691-14021-9.

• Delta di Dirac
• Ergodicità
• Funzione di trasferimento
• Infinite impulse response
• Sistema dinamico
• Sistema dinamico lineare
• Sistema dinamico lineare stazionario discreto
• Teoria della stabilità
• Trasformata di Fourier
• Trasformata di Fourier a tempo discreto
• Trasformata zeta

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• (EN) Denis Howe, Finite impulse response, in Free On-line Dictionary of Computing. Disponibile con licenza GFDL