Doppio pendolo

In fisica classica, in particolare in meccanica classica, il doppio pendolo è un sistema fisico costituito da due pendoli attaccati uno all'estremità dell'altro e liberi ciascuno di oscillare rispetto al loro punto di vincolo: il suo comportamento dinamico è fortemente sensibile a piccole variazioni delle condizioni iniziali e, per alcuni valori dell'energia, il suo moto risultante è caotico.

Si possono considerare diverse varianti del doppio pendolo; i due bracci possono avere lunghezze e masse uguali o diverse, possono essere pendoli semplici o composti (detti anche pendoli complessi) e il moto può avvenire in tre dimensioni o limitato al solo piano verticale. Nella seguente analisi, i bracci sono considerati due pendoli composti identici di lunghezza ℓ {\displaystyle \ell } e le masse m {\displaystyle m} , e il moto è limitato ad un piano.

In un pendolo composto, la massa è distribuita su tutta la lunghezza. Se la massa è distribuita uniformemente, allora il centro di massa di ogni braccio si trova alla sua metà, ed il momento di inerzia rispetto a tale punto è I = 1 12 m ℓ 2 {\displaystyle \textstyle I={\frac {1}{12}}m\ell ^{2}} . Il momento di inerzia di una sbarra che ruota intorno ad uno dei suoi estremi è dato da I = 1 3 m ℓ 2 {\displaystyle \textstyle I={\frac {1}{3}}m\ell ^{2}} .

È utile usare l'angolo tra ciascuno dei bracci e l'asse verticale come coordinata generalizzata per definire lo spazio delle configurazioni; questi angoli sono indicati con θ₁ e θ₂. La posizione del centro di massa di ogni braccio può essere scritta in funzione di queste due coordinate; se si prende come origine di un sistema di riferimento cartesiano il punto di sospensione del primo pendolo, allora le coordinate del centro di massa di questo pendolo sono

x 1 = ℓ 2 sin ⁡ θ 1 , {\displaystyle x_{1}={\frac {\ell }{2}}\sin \theta _{1},}

y 1 = − ℓ 2 cos ⁡ θ 1 , {\displaystyle y_{1}=-{\frac {\ell }{2}}\cos \theta _{1},}

mentre per il secondo pendolo si ha

x 2 = ℓ ( sin ⁡ θ 1 + 1 2 sin ⁡ θ 2 ) , {\displaystyle x_{2}=\ell \left(\sin \theta _{1}+{\frac {1}{2}}\sin \theta _{2}\right),}

y 2 = − ℓ ( cos ⁡ θ 1 + 1 2 cos ⁡ θ 2 ) . {\displaystyle y_{2}=-\ell \left(\cos \theta _{1}+{\frac {1}{2}}\cos \theta _{2}\right).}

Con queste informazioni si può scrivere la lagrangiana del sistema.

La lagrangiana è

L = E n e r g i a   c i n e t i c a − E n e r g i a   p o t e n z i a l e = 1 2 m ( v 1 2 + v 2 2 ) + 1 2 I ( θ ˙ 1 2 + θ ˙ 2 2 ) − m g ( y 1 + y 2 ) = 1 2 m ( x ˙ 1 2 + y ˙ 1 2 + x ˙ 2 2 + y ˙ 2 2 ) + 1 2 I ( θ ˙ 1 2 + θ ˙ 2 2 ) − m g ( y 1 + y 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}L&=\mathrm {Energia~cinetica} -\mathrm {Energia~potenziale} \\&={\frac {1}{2}}m\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right)+{\frac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\\&={\frac {1}{2}}m\left({{\dot {x}}_{1}}^{2}+{{\dot {y}}_{1}}^{2}+{{\dot {x}}_{2}}^{2}+{{\dot {y}}_{2}}^{2}\right)+{\frac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\end{aligned}}}

Il primo termine è l'energia cinetica di traslazione del centro di massa dei due bracci e il secondo è l'energia cinetica rotazionale intorno al centro di massa di ciascun braccio. Il terzo termine è l'energia potenziale gravitazionale assumendo una accelerazione costante g {\displaystyle g} . La notazione x ˙ {\displaystyle {\dot {x}}} indica la derivata rispetto al tempo (notazione di Newton).

Sostituendo le coordinate definite sopra e riordinando le equazioni si trova

L = 1 6 m ℓ 2 [ θ ˙ 2 2 + 4 θ ˙ 1 2 + 3 θ ˙ 1 θ ˙ 2 cos ⁡ ( θ 1 − θ 2 ) ] + 1 2 m g ℓ ( 3 cos ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ 2 ) . {\displaystyle L={\frac {1}{6}}m\ell ^{2}\left[{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}+4{{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+3{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right]+{\frac {1}{2}}mg\ell \left(3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}\right).}

L'unica quantità conservata in questo sistema è l'energia, e non ci sono momenti generalizzati conservati. I due momenti possono essere scritti come

p θ 1 = ∂ L ∂ θ ˙ 1 = 1 6 m ℓ 2 [ 8 θ ˙ 1 + 3 θ ˙ 2 cos ⁡ ( θ 1 − θ 2 ) ] {\displaystyle p_{\theta _{1}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\theta }}_{1}}}}={\frac {1}{6}}m\ell ^{2}\left[8{{\dot {\theta }}_{1}}+3{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right]}

e

p θ 2 = ∂ L ∂ θ ˙ 2 = 1 6 m ℓ 2 [ 2 θ ˙ 2 + 3 θ ˙ 1 cos ⁡ ( θ 1 − θ 2 ) ] . {\displaystyle p_{\theta _{2}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\theta }}_{2}}}}={\frac {1}{6}}m\ell ^{2}\left[2{{\dot {\theta }}_{2}}+3{{\dot {\theta }}_{1}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right].}

Invertendo queste espressioni si trova

θ ˙ 1 = 6 m ℓ 2 2 p θ 1 − 3 cos ⁡ ( θ 1 − θ 2 ) p θ 2 16 − 9 cos 2 ⁡ ( θ 1 − θ 2 ) {\displaystyle {{\dot {\theta }}_{1}}={\frac {6}{m\ell ^{2}}}{\frac {2p_{\theta _{1}}-3\cos(\theta _{1}-\theta _{2})p_{\theta _{2}}}{16-9\cos ^{2}(\theta _{1}-\theta _{2})}}}

e

θ ˙ 2 = 6 m ℓ 2 8 p θ 2 − 3 cos ⁡ ( θ 1 − θ 2 ) p θ 1 16 − 9 cos 2 ⁡ ( θ 1 − θ 2 ) . {\displaystyle {{\dot {\theta }}_{2}}={\frac {6}{m\ell ^{2}}}{\frac {8p_{\theta _{2}}-3\cos(\theta _{1}-\theta _{2})p_{\theta _{1}}}{16-9\cos ^{2}(\theta _{1}-\theta _{2})}}.}

Le altre equazioni del moto sono

p ˙ θ 1 = ∂ L ∂ θ 1 = − 1 2 m ℓ 2 [ θ ˙ 1 θ ˙ 2 sin ⁡ ( θ 1 − θ 2 ) + 3 g ℓ sin ⁡ θ 1 ] {\displaystyle {{\dot {p}}_{\theta _{1}}}={\frac {\partial L}{\partial \theta _{1}}}=-{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}\left[{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+3{\frac {g}{\ell }}\sin \theta _{1}\right]}

e

p ˙ θ 2 = ∂ L ∂ θ 2 = − 1 2 m ℓ 2 [ − θ ˙ 1 θ ˙ 2 sin ⁡ ( θ 1 − θ 2 ) + g ℓ sin ⁡ θ 2 ] . {\displaystyle {{\dot {p}}_{\theta _{2}}}={\frac {\partial L}{\partial \theta _{2}}}=-{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}\left[-{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+{\frac {g}{\ell }}\sin \theta _{2}\right].}

Queste ultime quattro equazioni sono formule esplicite per l'evoluzione temporale del sistema dato il suo stato attuale. Non è possibile integrare queste equazioni analiticamente e ottenere formule per θ₁ e θ₂ in funzione del tempo^{[senza fonte]}. Si può tuttavia usare un'integrazione numerica, ad esempio con i metodi di Runge-Kutta.

Il doppio pendolo si muove con moto caotico, cioè la sua evoluzione è molto sensibile alle condizioni iniziali. L'immagine a destra mostra il tempo trascorso prima che il pendolo si capovolga, in funzione delle condizioni iniziali; il valore iniziale di θ₁ (direzione orizzontale nel grafico) va da −3 a 3, e θ₂ (direzione verticale nel grafico) va da −3 a 3. Il colore indica se uno dei due pendoli si capovolge entro 10 ℓ / g {\displaystyle 10{\sqrt {\ell /g}}} (in verde), entro 100 ℓ / g {\displaystyle 100{\sqrt {\ell /g}}} (rosso), 1000 ℓ / g {\displaystyle 1000{\sqrt {\ell /g}}} (viola) o 10000 ℓ / g {\displaystyle 10000{\sqrt {\ell /g}}} (blu). Le condizioni iniziali che non portano al capovolgimento entro 10000 ℓ / g {\displaystyle 10000{\sqrt {\ell /g}}} sono in bianco.

Il bordo della regione bianca è definito in parte dalla conservazione dell'energia secondo la curva

3 cos ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ 2 = 2. {\displaystyle 3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}=2.\,}

All'interno della regione definita da questa curva, cioè se

3 cos ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ 2 > 2 , {\displaystyle 3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}>2,\,}

è energeticamente impossibile il capovolgimento per ciascun pendolo. Fuori da questa regione il pendolo può capovolgersi, ma è complicato determinare quando.

La mancanza di una frequenza di risonanza rende utile il doppio pendolo nel progetto di edifici antisismici. L'idea è di vedere l'intero edificio come un pendolo invertito, e di aggiungere una massa secondaria per completare il doppio pendolo. La massa secondaria è solitamente un grosso peso sospeso all'interno dell'edificio. Il grattacielo taiwanese Taipei 101, è dotato alla sua sommità di un mass damper di 660 tonnellate.

• Leonard Meirovitch, Elements of Vibration Analysis, 2ª ed., McGraw-Hill Science/Engineering/Math, 1986, ISBN 0-07-041342-8.

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sul doppio pendolo

• Eric W. Weisstein, Double pendulum (2005), ScienceWorld (contains details of the complicated equations involved) and "Double Pendulum" by Rob Morris, Wolfram Demonstrations Project, 2007 (animations of those equations).
• Peter Lynch, Double Pendulum, (2001). (Java applet simulation.)
• Northwestern University, Double Pendulum Archiviato il 3 giugno 2007 in Internet Archive., (Java applet simulation.)
• Theoretical High-Energy Astrophysics Group at UBC, Double pendulum, (2005).
• Animazioni e spiegazioni di Mike Wheatland (Univ. Sydney): [1], [2]
• Video di un doppio pendolo con tre condizioni iniziali (quasi) identiche.
• Simulazioni da www.myphysicslab.com
• Simulationi, equazioni e spiegazioni del Pendolo di Rott
• Video di confronto di un doppio pendolo con le stesse condizioni iniziali su YouTube
• Double Pendulum Simulator - Simulatore opensource scritto in C++ usando il Qt tookit.
• Vadas Gintautas, Alfred Hübler (2007). Experimental evidence for mixed reality states in an interreality system, Phys. Rev. E 75, 057201 Articolo che presenta dati da un esperimento in cui un pendolo reale e uno virtuale interagiscono.

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