Condizione di Samuelson

La condizione di Samuelson, formulata da Paul Samuelson, dice che una produzione ottimale di bene pubblico puro esige un'uguaglianza tra la somma dei tassi marginali di sostituzione e il tasso marginale di trasformazione dei prodotti.

Sia q o {\displaystyle q_{o}} il bene pubblico e q j {\displaystyle q_{j}} ( j = 1 , 2 , … , m {\displaystyle j=1,2,\ldots ,m} ) i beni privati. La funzione di produzione sotto forma implicita è data dall'espressione seguente: φ ( q ^ o , q ^ 1 , q ^ 2 , … , q ^ m ) = 0 {\displaystyle \varphi ({\hat {q}}_{o},{\hat {q}}_{1},{\hat {q}}_{2},\ldots ,{\hat {q}}_{m})=0} dove q ^ j {\displaystyle {\hat {q}}_{j}} è la quantità prodotta del bene j.

Le funzioni di utilità sono:

u i ( q o , q i 1 , q i 2 , … , q i m ) i = 1 , 2 , … , h {\displaystyle u_{i}(q_{o},q_{i1},q_{i2},\ldots ,q_{im})\qquad i=1,2,\ldots ,h}

dove q i j {\displaystyle q_{ij}} è la quantità del bene j consumata dall'individuo i. Non c'è l'indice i per il bene pubblico poiché la quantità consumata è la stessa per tutti gli individui. La quantità consumata dei beni privati dipende invece dalle preferenze e dal reddito di ogni individuo.

Un ottimo paretiano può essere ottenuto massimizzando l'utilità del primo consumatore sotto i vincoli esistenti tra produzione e consumo. La lagrangiana è:

L = u 1 ( q o , q 11 , q 12 , … , q 1 m ) + ∑ i = 2 h λ i ( u i − u i o ) + σ φ ( q ^ o , q ^ 1 , … , q ^ m ) + μ o ( q o o + q ^ o − q o ) + ∑ j = 1 m μ j ( q j o + q ^ j − ∑ α = 1 h q α j ) {\displaystyle L=u_{1}(q_{o},q_{11},q_{12},\ldots ,q_{1m})+\sum _{i=2}^{h}\lambda _{i}(u_{i}-u_{i}^{o})+\sigma \varphi ({\hat {q}}_{o},{\hat {q}}_{1},\ldots ,{\hat {q}}_{m})+\mu _{o}(q_{o}^{o}+{\hat {q}}_{o}-q_{o})+\sum _{j=1}^{m}\mu _{j}(q_{j}^{o}+{\hat {q}}_{j}-\sum _{\alpha =1}^{h}q_{\alpha j})}

dove λ i , σ , μ j {\displaystyle \lambda _{i},\sigma ,\mu _{j}} sono i moltiplicatori di Lagrange e q j o {\displaystyle q_{j}^{o}} lo stock del bene j.

Le condizioni di primo ordine sono:

( 1 ) ∂ L ∂ q o = ∑ α = 1 h λ α ∂ u α ∂ q o − μ o = 0 ( λ 1 = 1 ) {\displaystyle (1)\qquad {\frac {\partial L}{\partial q_{o}}}=\sum _{\alpha =1}^{h}\lambda _{\alpha }{\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial q_{o}}}-\mu _{o}=0\qquad (\lambda _{1}=1)}

( 2 ) ∂ L ∂ q α j = λ α ∂ u α ∂ q α j − μ j = 0 α = 1 , 2 , … , h ; j = 1 , 2 , … , m {\displaystyle (2)\qquad {\frac {\partial L}{\partial q_{\alpha j}}}=\lambda _{\alpha }{\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial q_{\alpha j}}}-\mu _{j}=0\qquad \qquad \quad \alpha =1,2,\ldots ,h\quad ;\quad j=1,2,\ldots ,m}

( 3 ) ∂ L ∂ q ^ s = σ ∂ φ ∂ q ^ s + μ s = 0 s = 0 , 1 , … , m {\displaystyle (3)\qquad {\frac {\partial L}{\partial {\hat {q}}_{s}}}=\sigma {\frac {\partial \varphi }{\partial {\hat {q}}_{s}}}+\mu _{s}=0\qquad \qquad \qquad s=0,1,\ldots ,m}

( 4 ) ∂ L ∂ λ i = u i − u i o = 0 i = 2 , 3 , … , h {\displaystyle (4)\qquad {\frac {\partial L}{\partial \lambda _{i}}}=u_{i}-u_{i}^{o}=0\qquad \qquad \qquad \quad \;i=2,3,\ldots ,h}

( 5 ) ∂ L ∂ σ = φ ( q ^ o , q ^ 1 , q ^ 2 , … , q ^ m ) = 0 {\displaystyle (5)\qquad {\frac {\partial L}{\partial \sigma }}=\varphi ({\hat {q}}_{o},{\hat {q}}_{1},{\hat {q}}_{2},\ldots ,{\hat {q}}_{m})=0}

( 6 ) ∂ L ∂ μ o = q o o + q ^ o − q o = 0 {\displaystyle (6)\qquad {\frac {\partial L}{\partial \mu _{o}}}=q_{o}^{o}+{\hat {q}}_{o}-q_{o}=0}

( 7 ) ∂ L ∂ μ j = q j o + q ^ j − ∑ α = 1 h q α j = 0 {\displaystyle (7)\qquad {\frac {\partial L}{\partial \mu _{j}}}=q_{j}^{o}+{\hat {q}}_{j}-\sum _{\alpha =1}^{h}q_{\alpha j}=0}

Eliminando i moltiplicatori di Lagrange si ottiene:

∑ α = 1 h ∂ u α ∂ q o ∂ u α ∂ q α j = φ o φ j {\displaystyle \sum _{\alpha =1}^{h}{\frac {\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial q_{o}}}{\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial q_{\alpha j}}}}={\frac {\varphi _{o}}{\varphi _{j}}}}

∂ u α ∂ q α j ∂ u α ∂ q α s = φ j φ s {\displaystyle {\frac {\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial q_{\alpha j}}}{\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial q_{\alpha s}}}}={\frac {\varphi _{j}}{\varphi _{s}}}}

Prendendo le trè quantità consumate q o {\displaystyle q_{o}} , q j {\displaystyle q_{j}} e q s {\displaystyle q_{s}} , si può scrivere:

∑ α = 1 h T M S o j α = T T P o j {\displaystyle \sum _{\alpha =1}^{h}TMS_{oj}^{\alpha }=TTP_{oj}}

T M S j s α = T T P j s {\displaystyle TMS_{js}^{\alpha }=TTP_{js}}

La seconda relazione, relativa ai beni privati j e s, è identica a quella ottenuta nell'ottimo paretiano classico. I tassi marginali di sostituzione (TMS) devono essere uguali ai tassi marginali di trasformazione dei prodotti (TTP). La prima relazione è la condizione di ottimalità per il bene pubblico. La somma dei tassi marginali di sostituzione (tra il bene pubblico e un qualunque bene privato) di tutti i consumatori deve essere uguali al tasso marginale di trasformazione dei prodotti.

• Michael Pickhardt: Fifty Years after Samuelson's The Pure Theory of Public Expenditure: What are we Left With? In: Journal of the History of Economic Thought. 28, Nr. 4, 2006, pp. 439–460.
• Agnar Sandmo: Public Goods. In: Steven N. Durlauf and Lawrence E. Blume (Eds.): The New Palgrave Dictionary of Economics. Palgrave Macmillan, Internet http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2008_P000245&edition=current#sec1 (Online-edition).
• Paul Samuelson: The Pure Theory of Public Expenditure. In: The Review of Economics and Statistics. 36, Nr. 4, 1954, pp. 387–389.

• Beni pubblici