Base aurea
La base aurea è un sistema di numerazione posizionale non intero che utilizza il rapporto aureo (il numero irrazionale 1 + 5 {\displaystyle {\sqrt {5}}} /2 ≈ 1,61803399, simboleggiato dalla lettera greca φ) come sua base. Viene talvolta chiamato base φ o, in inglese, phinary. Qualsiasi numero reale non negativo può essere rappresentato come un numero in base φ utilizzando solo le cifre 0 e 1, ed evitando la sequenza di cifre "11": questa viene chiamata forma standard. Un numero in base φ che include la sequenza di cifre "11" può sempre essere riscritto in forma standard, utilizzando le proprietà algebriche della base φ, in particolare φn + φn−1 = φn+1. Ad esempio, 11φ = 100φ. Nonostante utilizzi una base costituita da un numero irrazionale, quando si utilizza la forma standard, tutti i numeri interi non negativi hanno una rappresentazione univoca in base φ finita. L'insieme di numeri che possiedono una rappresentazione finita in base φ è l'anello Z [ 1 + 5 2 ] {\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right]} ; esso svolge lo stesso ruolo in questo sistema di numerazione che le frazioni diadiche svolgono nei numeri binari. Altri numeri hanno rappresentazioni standard in base φ ed i numeri razionali hanno rappresentazioni periodiche.
La base aurea è un sistema di numerazione posizionale non intero che utilizza il rapporto aureo (il numero irrazionale 1 + /2 ≈ 1,61803399, simboleggiato dalla lettera greca φ) come sua base. Viene talvolta chiamato base φ o, in inglese, phinary. Qualsiasi numero reale non negativo può essere rappresentato come un numero in base φ utilizzando solo le cifre 0 e 1, ed evitando la sequenza di cifre "11": questa viene chiamata forma standard. Un numero in base φ che include la sequenza di cifre "11" può sempre essere riscritto in forma standard, utilizzando le proprietà algebriche della base φ, in particolare φn + φn−1 = φn+1. Ad esempio, 11φ = 100φ.
Nonostante utilizzi una base costituita da un numero irrazionale, quando si utilizza la forma standard, tutti i numeri interi non negativi hanno una rappresentazione univoca in base φ finita. L'insieme di numeri che possiedono una rappresentazione finita in base φ è l'anello ; esso svolge lo stesso ruolo in questo sistema di numerazione che le frazioni diadiche svolgono nei numeri binari.
![{\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a684e48bb86e251ac3906e3241317df6cb40e70)
Altri numeri hanno rappresentazioni standard in base φ ed i numeri razionali hanno rappresentazioni periodiche.
Esempi
[modifica | modifica wikitesto]| Decimale | Potenze di φ | Base φ |
|---|---|---|
| 1 | φ0 | 1 |
| 2 | φ1 + φ−2 | 10,01 |
| 3 | φ2 + φ−2 | 100,01 |
| 4 | φ2 + φ0 + φ−2 | 101,01 |
| 5 | φ3 + φ−1 + φ−4 | 1000,1001 |
| 6 | φ3 + φ1 + φ−4 | 1010,0001 |
| 7 | φ4 + φ−4 | 10000,0001 |
| 8 | φ4 + φ0 + φ−4 | 10001,0001 |
| 9 | φ4 + φ1 + φ−2 + φ−4 | 10010,0101 |
| 10 | φ4 + φ2 + φ−2 + φ−4 | 10100,0101 |
Rappresentazione di alcuni numeri irrazionali notevoli in base aurea
[modifica | modifica wikitesto]Di seguito sono riportate le rappresentazioni in base φ di alcuni interessanti numeri irrazionali:
- ≈ 100,0100 1010 1001 0001 0101 0100 0001 0100 ...φ
- e ≈ 100,0000 1000 0100 1000 0000 0100 ...φ
- ≈ 1,0100 0001 0100 1010 0100 0000 0101 0000 0000 0101 ...φ
- φ = 1+/2 = 10φ
- = 10,1φ
Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- George Bergman, A Number System with an Irrational Base, in Mathematics Magazine, vol. 31, n. 2, 1957, pp. 98-110, DOI:10.2307/3029218.
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- (EN) Eric W. Weisstein, Phi Number System, su MathWorld, Wolfram Research.
