Trigonalisation

En algèbre linéaire, une matrice carrée A à coefficients dans un corps K est dite trigonalisable (ou triangularisable) sur K si elle est semblable à une matrice triangulaire T à coefficients dans K, via une matrice de passage P elle aussi à coefficients dans K :

A = P T P − 1 . {\displaystyle A=PTP^{-1}.}

Trigonaliser (on dit aussi triangulariser) A sur K consiste à trouver de telles matrices T et P. Cela est possible (on dit alors que A est trigonalisable) si et seulement si le polynôme caractéristique de A est scindé sur K. Par exemple, si A est à coefficients réels, elle est trigonalisable sur ℝ si et seulement si toutes ses valeurs propres (complexes a priori) sont réelles.

Dans la suite, on se donne un entier n > 0 et M n ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {M} _{n}(K)} désignera l'algèbre des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans K.

Une matrice triangulaire supérieure est une matrice carrée dont tous les coefficients situés strictement en dessous de la diagonale principale sont nuls, c'est-à-dire une matrice de la forme

( a 1 , 1 ⋯ ⋯ a 1 , n 0 ⋱ ⋱ a 2 , n ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 0 a n , n ) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1,1}&\cdots &\cdots &a_{1,n}\\0&\ddots &\ddots &a_{2,n}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&a_{n,n}\end{pmatrix}}.}

De même, une matrice triangulaire inférieure est une matrice carrée dont tous les coefficients situés strictement au-dessus de la diagonale sont nuls.

• Soit M ∈ M n ⁡ ( K ) {\displaystyle M\in \operatorname {M} _{n}(K)} , on dit que M {\displaystyle M} est une matrice trigonalisable^[1] s'il existe une matrice inversible P ∈ G L n ( K ) {\displaystyle P\in GL_{n}(K)} et une matrice triangulaire supérieure T ∈ M n ⁡ ( K ) {\displaystyle T\in \operatorname {M} _{n}(K)} telles que : M = P T P − 1 {\displaystyle M=PTP^{-1}} (ou, ce qui est équivalent : T = P − 1 M P {\displaystyle T=P^{-1}MP} ).Cela revient à dire que M {\displaystyle M} est semblable dans M n ⁡ ( K ) {\displaystyle \operatorname {M} _{n}(K)} à une matrice triangulaire supérieure (ou à une matrice triangulaire inférieure, ce qui est équivalent^[2]).
  En particulier :
  • toute matrice triangulaire supérieure est trigonalisable (il suffit de choisir P = I n {\displaystyle P=I_{n}} où I n {\displaystyle I_{n}} est la matrice identité de dimension n {\displaystyle n} ) ;
  • toute matrice diagonalisable est a fortiori trigonalisable (car une matrice diagonale est un cas particulier de matrice triangulaire).
• Soient E {\displaystyle E} un K {\displaystyle K} -espace vectoriel de dimension finie et u {\displaystyle u} un endomorphisme de E {\displaystyle E} . On dit que u {\displaystyle u} est un endomorphisme trigonalisable s'il existe une base de E {\displaystyle E} dans laquelle la matrice de u {\displaystyle u} est triangulaire supérieure.
• Ces deux définitions sont reliées par le fait qu'un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si sa matrice dans au moins une base de E {\displaystyle E} est trigonalisable ; dans ce cas, sa matrice dans n'importe quelle base de E {\displaystyle E} est trigonalisable.

Il existe plusieurs critères pour savoir si une matrice ou un endomorphisme sont trigonalisables :

• Une matrice est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé dans K[X]^[2].

  En particulier, si K est algébriquement clos, toute matrice carrée à coefficients dans K est trigonalisable et donc aussi tout endomorphisme d'un K-espace vectoriel de dimension finie.

  Sur le corps des nombres complexes (algébriquement clos d'après le théorème de d'Alembert-Gauss), Issai Schur a démontré un résultat plus précis :

• Un endomorphisme u de E est trigonalisable si et seulement s'il existe un drapeau total de E stable par u.

• Réduction d'endomorphisme
• Décomposition de Dunford
• Théorèmes de trigonalisation simultanée :
  • Théorème de Lie (1876)
  • Théorème de Engel (1890)
  • Théorème de McCoy (1934)
  • Théorème de Lie-Kolchin (1948)

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