Solide de Johnson

En géométrie, un solide de Johnson est un polyèdre strictement convexe dont chaque face est un polygone régulier et qui n'est pas isogonal (qui n'est donc ni un solide de Platon, ni un solide d'Archimède, ni un prisme ni un antiprisme). Il n'est pas nécessaire que chaque face soit un polygone identique, ou que les mêmes polygones se rejoignent autour de chaque sommet. Un exemple de solide de Johnson est la pyramide à base carrée avec des côtés triangulaires équilatéraux (J₁) ; il possède une face carrée et quatre faces triangulaires.

Comme dans un solide strictement convexe au moins trois faces se rencontrent à chaque sommet, le total de leurs angles est moindre que 360 degrés. Puisqu'un polygone régulier possède des angles supérieurs à 60 degrés, on en déduit que cinq faces au plus se rencontrent à un sommet quelconque. La pyramide pentagonale (J₂) est un exemple qui a un sommet de degré 5.

Bien qu'il n'existe pas de restriction évidente qu'un polygone régulier quelconque donné puisse être une face d'un solide de Johnson, il s'avère que les faces des solides de Johnson ont toujours 3, 4, 5, 6, 8 ou 10 côtés.

En 1966, Norman Johnson a publié une liste qui incluait les 92 solides, et leur donna leurs noms et leurs nombres. Il ne démontra pas qu'il n'en existait que 92, mais il conjectura qu'il n'y en avait pas d'autres. Victor Zalgaller (en) a démontré en 1969 que la liste de Johnson était complète. On utilise les noms et l'ordre donnés par Johnson, et on les note J_xx.

Des solides de Johnson, la gyrobicoupole octogonale allongée (J₃₇) est le seul qui est de sommet uniforme : il existe quatre faces à chaque sommet, et leur arrangement est toujours le même : trois carrés et un triangle.

Noms

Les noms sont listés ci-dessous et sont plus descriptifs que ce que l'on entend. Beaucoup de ces solides peuvent être construits par ajout de pyramides, de coupoles et de rotondes sur des faces de solide de Platon, solide d'Archimède, de prismes ou d'antiprismes.

Le préfixe Bi- signifie que deux copies du solide en question sont jointes base sur base. Pour les coupoles et les rotondes, elles peuvent être jointes telles que les faces se rencontrent (ortho-) ou non (gyro-). Dans cette nomenclature, un octaèdre serait nommé une bipyramide carrée, un cuboctaèdre serait nommé une gyrobicoupole hexagonale et un icosidodécaèdre une gyrobirotonde décagonale.

Allongé signifie qu'un prisme a été joint à la base du solide en question ou entre les bases des solides en question. Un rhombicuboctaèdre serait nommé une orthobicoupole octogonale allongée.
Gyroallongé signifie qu'un antiprisme a été joint à la base du solide en question ou entre les bases des solides en question. Un icosaèdre serait nommé une bipyramide pentagonale gyroallongée.

Augmenté signifie qu'une pyramide ou une coupole a été jointe à une face du solide en question.
Diminué signifie qu'une pyramide ou une coupole a été enlevée du solide en question.

Gyré signifie qu'une coupole sur le solide en question a subi une rotation telle que les différentes arêtes coïncident, comme pour la différence entre ortho et gyro bicoupoles.

Les trois dernières opérations — augmentation, diminution et gyration — peuvent être exécutées plus d'une fois sur un solide suffisamment grand. Nous ajoutons bi- au nom de l'opération pour indiquer que cela a été exécuté deux fois. (Un solide bigyré a deux de ses coupoles ayant subi une rotation). Nous ajoutons tri- pour indiquer que cela a été exécuté trois fois. (Un solide tridimininué a trois de ses pyramides ou coupoles enlevées).

Quelquefois, bi- tout seul n'est pas assez précis. Nous devons distinguer entre un solide qui a deux faces parallèles altérées et un qui a deux faces obliques altérées. Lorsque deux faces altérées sont parallèles, nous ajoutons para- au nom de l'opération. (Un solide parabiaugmenté possède deux faces parallèles augmentées). Lorsqu'elles ne le sont pas, nous ajoutons méta- au nom de l'opération. (Un solide métabiaugmenté possède deux faces obliques augmentées).

Liste et noms de Johnson

S : nombre de sommets,
A : nombre d'arêtes,
F : nombre total de faces, dont :
F₃ triangles,
F₄ carrés,
F₅ pentagones,
F₆ hexagones,
F₈ octogones,
F₁₀ décagones.

Prismatoïdes et rotondes

Jn	Nom du solide	Type	S	A	F	F3	F4	F5	F6	F8	F10	Symétrie

1	pyramide carrée	pyramide	5	8	5	4	1	0	0	0	0	C_4v
2	pyramide pentagonale	pyramide	6	10	6	5	0	1	0	0	0	C_5v
3	coupole hexagonale	coupole	9	15	8	4	3	0	1	0	0	C_3v
4	coupole octogonale	coupole	12	20	10	4	5	0	0	1	0	C_4v
5	coupole décagonale	coupole	15	25	12	5	5	1	0	0	1	C_5v
6	rotonde décagonale	rotonde	20	35	17	10	0	6	0	0	1	C_5v

Pyramides modifiées et dipyramides

Jn	Nom du solide	Type	S	A	F	F3	F4	F5	F6	F8	F10	Symétrie

7	pyramide triangulaire allongée	pyramide allongée (en)	7	12	7	4	3	0	0	0	0	C_3v
8	pyramide carrée allongée	pyramide allongée	9	16	9	4	5	0	0	0	0	C_4v
9	pyramide pentagonale allongée	pyramide allongée	11	20	11	5	5	1	0	0	0	C_5v
10	pyramide carrée gyroallongée	pyramide gyroallongée (en)	9	20	13	12	1	0	0	0	0	C_4v
11	pyramide pentagonale gyroallongée	pyramide gyroallongée	11	25	16	15	0	1	0	0	0	C_5v
12	diamant triangulaire	Bipyramide (ou diamant)	5	9	6	6	0	0	0	0	0	D_3h
13	diamant pentagonal	Bipyramide (ou diamant)	7	15	10	10	0	0	0	0	0	D_5h
14	diamant triangulaire allongé	Bipyramide allongée (ou diamant allongé)	8	15	9	6	3	0	0	0	0	D_3h
15	diamant carré allongé	Bipyramide allongée (ou diamant allongé)	10	20	12	8	4	0	0	0	0	D_4h
16	diamant pentagonal allongé	Bipyramide allongée (ou diamant allongé)	12	25	15	10	5	0	0	0	0	D_5h
17	diamant carré gyroallongé	Bipyramide allongée (ou diamant allongé)	10	24	16	16	0	0	0	0	0	D_4d

Coupoles et rotondes modifiées

coupole allongée
rotonde allongée
birotonde allongée
coupole-rotonde allongée
bicoupole allongée
coupole gyroallongée
rotonde gyroallongée
bicoupole
birotonde
coupole-rotonde
bicoupole gyroallongée
birotonde gyroallongée
coupole-rotonde gyroallongée

Jn	Nom du solide	Type	S	A	F	F3	F4	F5	F6	F8	F10	Symétrie	Chiral

18	coupole hexagonale allongée	coupole allongée	15	27	14	4	9	0	1	0	0	C_3v
19	coupole octogonale allongée	coupole allongée	20	36	18	4	13	0	0	1	0	C_4v
20	coupole décagonale allongée	coupole allongée	25	45	22	5	15	1	0	0	1	C_5v
21	rotonde décagonale allongée	rotonde allongée	30	55	27	10	10	6	0	0	1	C_5v
22	coupole hexagonale gyroallongée	coupole gyroallongée	15	33	20	16	3	0	1	0	0	C_3v
23	coupole octogonale gyroallongée	coupole gyroallongée	20	44	26	20	5	0	0	1	0	C_4v
24	coupole décagonale gyroallongée	coupole gyroallongée	25	55	32	25	5	1	0	0	1	C_5v
25	rotonde décagonale gyroallongée	rotonde gyroallongée	30	65	37	30	0	6	0	0	1	C_5v
26	gyrobiprisme triangulaire	bicoupole	8	14	8	4	4	0	0	0	0	D_2d
27	orthobicoupole hexagonale	bicoupole	12	24	14	8	6	0	0	0	0	D_3h
28	orthobicoupole octogonale	bicoupole	16	32	18	8	10	0	0	0	0	D_4h
29	gyrobicoupole octogonale	bicoupole	16	32	18	8	10	0	0	0	0	D_4d
30	orthobicoupole décagonale	bicoupole	20	40	22	10	10	2	0	0	0	D_5h
31	gyrobicoupole décagonale	bicoupole	20	40	22	10	10	2	0	0	0	D_5d
32	orthocoupole-rotonde décagonale	coupole-rotonde	25	50	27	15	5	7	0	0	0	C_5v
33	gyrocoupole-rotonde décagonale	coupole-rotonde	25	50	27	15	5	7	0	0	0	C_5v
34	orthobirotonde décagonale	birotonde	30	60	32	20	0	12	0	0	0	C_5v
35	orthobicoupole hexagonale allongée	bicoupole allongée	18	36	20	8	12	0	0	0	0	D_3h
36	gyrobicoupole hexagonale allongée	bicoupole allongée	18	36	20	8	12	0	0	0	0	D_3d
37	gyrobicoupole octogonale allongée	bicoupole allongée	24	48	26	8	18	0	0	0	0	D_4h
38	orthobicoupole décagonale allongée	bicoupole allongée	30	60	32	10	20	2	0	0	0	D_5h
39	gyrobicoupole décagonale allongée	bicoupole allongée	30	60	32	10	20	2	0	0	0	D_5v
40	orthocoupole-rotonde décagonale allongée	coupole-rotonde allongée	35	70	37	15	15	7	0	0	0	C_5v
41	gyrocoupole-rotonde décagonale allongée	coupole-rotonde allongée	35	70	37	15	15	7	0	0	0	C_5v
42	orthobirotonde décagonale allongée	birotonde allongée	40	80	42	20	10	12	0	0	0	D_5h
43	gyrobirotonde décagonale allongée	birotonde allongée	40	80	42	20	10	12	0	0	0	D_5v
44	bicoupole hexagonale gyroallongée	bicoupole gyroallongée	18	42	26	20	6	0	0	0	0	D_3v	Oui
45	bicoupole octogonale gyroallongée	bicoupole gyroallongée	24	56	34	24	10	0	0	0	0	D_4v	Oui
46	bicoupole décagonale gyroallongée	bicoupole gyroallongée	30	70	42	30	10	2	0	0	0	D_5v	Oui
47	coupole-rotonde décagonale gyroallongée	coupole-rotonde gyroallongée	35	80	47	35	5	7	0	0	0	C_5v	Oui
48	birotonde décagonale gyroallongée	birotonde gyroallongée	40	90	52	40	0	12	0	0	0	C_5v	Oui

Prismes augmentés

Jn	Nom du solide	Type	S	A	F	F3	F4	F5	F6	F8	F10	Symétrie

49	prisme triangulaire augmenté	prisme augmenté	7	13	8	6	2	0	0	0	0	C_2v
50	prisme triangulaire biaugmenté	prisme augmenté	8	17	11	10	1	0	0	0	0	C_2v
51	prisme triangulaire triaugmenté	prisme augmenté	9	21	14	14	0	0	0	0	0	D_3h
52	prisme pentagonal augmenté	prisme augmenté	11	19	10	4	4	2	0	0	0	C_2v
53	prisme pentagonal biaugmenté	prisme augmenté	12	23	13	8	3	2	0	0	0	C_2v
54	prisme hexagonal augmenté	prisme augmenté	13	22	11	4	5	0	2	0	0	C_2v
55	prisme hexagonal parabiaugmenté	prisme augmenté	14	26	14	8	4	0	2	0	0	D_2h
56	prisme hexagonal métabiaugmenté	prisme augmenté	14	26	14	8	4	0	2	0	0	C_2v
57	prisme hexagonal triaugmenté	prisme augmenté	15	30	17	12	3	0	2	0	0	D_3h

Solides de Platon modifiés

Dodécaèdres augmentés
Icosaèdres diminués

Jn	Nom du solide	Type	S	A	F	F3	F4	F5	F6	F8	F10	Symétrie

58	dodécaèdre augmenté	dodécaèdre augmenté	21	35	16	5	0	11	0	0	0	C_5v
59	dodécaèdre parabiaugmenté	dodécaèdre augmenté	22	40	20	10	0	10	0	0	0	D_5v
60	dodécaèdre métabiaugmenté	dodécaèdre augmenté	22	40	20	10	0	10	0	0	0	C_2v
61	dodécaèdre triaugmenté	dodécaèdre augmenté	23	45	24	15	0	9	0	0	0	C_3v
62	icosaèdre métabidiminué	icosaèdre diminué	10	20	12	10	0	2	0	0	0	C_2v
63	icosaèdre tridiminué	icosaèdre diminué	9	15	8	5	0	3	0	0	0	C_3v
64	icosaèdre tridiminué augmenté	icosaèdre diminué	10	18	10	7	0	3	0	0	0	C_3v

Solides d'Archimède modifiés

Jn	Nom du solide	Type	S	A	F	F3	F4	F5	F6	F8	F10	Symétrie

65	tétraèdre tronqué augmenté	tétraèdre tronqué augmenté	15	27	14	8	3	0	3	0	0	C_3v
66	cube tronqué augmenté	cube tronqué augmenté	28	48	22	12	5	0	0	5	0	C_4v
67	cube tronqué biaugmenté	cube tronqué augmenté	32	60	30	16	10	0	0	4	0	D_4h
68	dodécaèdre tronqué augmenté	dodécaèdre tronqué augmenté	65	105	42	25	5	1	0	0	11	C_5v
69	dodécaèdre tronqué parabiaugmenté	dodécaèdre tronqué augmenté	70	120	52	30	10	2	0	0	10	D_5v
70	dodécaèdre tronqué métabiaugmenté	dodécaèdre tronqué augmenté	70	120	52	30	10	2	0	0	10	C_2v
71	dodécaèdre tronqué triaugmenté	dodécaèdre tronqué augmenté	75	135	62	35	15	3	0	0	9	C_3v
72	gyro-rhombicosidodécaèdre	rhombicosidodécaèdre gyré	60	120	62	20	30	12	0	0	0	C_5v
73	parabigyro-rhombicosidodécaèdre	rhombicosidodécaèdre gyré	60	120	62	20	30	12	0	0	0	D_5v
74	métabigyro-rhombicosidodécaèdre	rhombicosidodécaèdre gyré	60	120	62	20	30	12	0	0	0	C_2v
75	trigyro-rhombicosidodécaèdre	rhombicosidodécaèdre gyré	60	120	62	20	30	12	0	0	0	C_3v
76	rhombicosidodécaèdre diminué	rhombicosidodécaèdre diminué	55	105	52	15	25	11	0	0	1	C_5v
77	rhombicosidodécaèdre paragyrodiminué	rhombicosidodécaèdre diminué	55	105	52	15	25	11	0	0	1	C_5v
78	rhombicosidodécaèdre métagyrodiminué	rhombicosidodécaèdre diminué	55	105	52	15	25	11	0	0	1	C_s
79	rhombicosidodécaèdre bigyrodiminué	rhombicosidodécaèdre diminué	55	105	52	15	25	11	0	0	1	C_s
80	rhombicosidodécaèdre parabidiminué	rhombicosidodécaèdre diminué	50	90	42	10	20	10	0	0	2	D_5v
81	rhombicosidodécaèdre métabidiminué	rhombicosidodécaèdre diminué	50	90	42	10	20	10	0	0	2	C_2v
82	rhombicosidodécaèdre gyrobidiminué	rhombicosidodécaèdre diminué	50	90	42	10	20	10	0	0	2	C_s
83	rhombicosidodécaèdre tridiminué	rhombicosidodécaèdre diminué	45	75	32	5	15	9	0	0	3	C_3v

Divers

Jn	Nom du solide	Type	S	A	F	F3	F4	F5	F6	F8	F10	Symétrie

84	Disphénoïde adouci	-	8	18	12	12	0	0	0	0	0	D_2v
85	antiprisme carré adouci	-	16	40	26	24	2	0	0	0	0	D_4v
86	sphéno-couronne	-	10	22	14	12	2	0	0	0	0	C_2v
87	sphéno-couronne augmentée	-	11	26	17	16	1	0	0	0	0	C_s
88	sphénoméga-couronne	-	12	28	18	16	2	0	0	0	0	C_2v
89	hébesphénoméga-couronne	-	14	33	21	18	3	0	0	0	0	C_2v
90	disphéno-ceinture	-	16	38	24	20	4	0	0	0	0	D_2v
91	birotonde bilunaire	-	14	26	14	8	2	4	0	0	0	D_2h
92	hébesphéno-rotonde triangulaire	-	18	36	20	13	3	3	1	0	0	C_3v

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Johnson solid » (voir la liste des auteurs).
(en) Norman W. Johnson, « Convex Solids with Regular Faces », Canad. J. Math., vol. 18,‎ 1966, p. 169–200 (DOI 10.4153/CJM-1966-021-8) — Contient l'énumération originale des 92 solides et la conjecture affirmant qu'il n'y en a pas d'autres.
(en) Victor A. Zalgaller, « Convex Polyhedra with Regular Faces », 1969 : première preuve de cette conjecture.
(en) Eric W. Weisstein, « Johnson Solid », sur MathWorld

Liens externes

« Patron des solides de Johnson selon leurs indices »
(en) « Paper Models of Polyhedra » : de nombreux liens
(en) « Johnson Solids » par George W. Hart (en)
(en) « Johnson Polyhedra » : images des 92 solides, catégorisés, sur une page
Maurice Starck, « Polyèdres de Johnson », sur Vice-rectorat de Nouvelle-Calédonie

Portail de la géométrie

v · m Solides géométriques
Solides de Platon (5)	Tétraèdre régulier Cube Octaèdre régulier Dodécaèdre régulier Icosaèdre régulier
Solides d'Archimède (13)	Tétraèdre tronqué Cube tronqué Octaèdre tronqué Dodécaèdre tronqué Icosaèdre tronqué Cuboctaèdre Cube adouci Icosidodécaèdre Dodécaèdre adouci Petit rhombicuboctaèdre Cuboctaèdre tronqué Petit rhombicosidodécaèdre Icosidodécaèdre tronqué
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Composés polyédriques	Composé de deux tétraèdres Octangle étoilé
Solides de Johnson (92)	Voir la palette Solides de Johnson

v · m Solides de Johnson
Prismatoïdes et rotondes	Pyramide à base carrée Pyramide pentagonale Coupole hexagonale Coupole octogonale Coupole décagonale Rotonde décagonale
Pyramides modifiées et dipyramides	Pyramide triangulaire allongée Pyramide carrée allongée Pyramide pentagonale allongée Pyramide carrée gyroallongée Pyramide pentagonale gyroallongée Diamant triangulaire Diamant pentagonal Diamant triangulaire allongé Diamant carré allongé Diamant pentagonal allongé Diamant carré gyroallongé
Coupoles et rotondes modifiées	Coupole hexagonale allongée Coupole octogonale allongée Coupole décagonale allongée Rotonde décagonale allongée Coupole hexagonale gyroallongée Coupole octogonale gyroallongée Coupole décagonale gyroallongée Rotonde décagonale gyroallongée Gyrobiprisme triangulaire Orthobicoupole hexagonale Orthobicoupole octogonale Gyrobicoupole octogonale Orthobicoupole décagonale Gyrobicoupole décagonale Orthocoupole-rotonde décagonale Gyrocoupole-rotonde décagonale Orthobirotonde décagonale Orthobicoupole hexagonale allongée Gyrobicoupole hexagonale allongée Gyrobicoupole octogonale allongée Orthobicoupole décagonale allongée Gyrobicoupole décagonale allongée Orthocoupole-rotonde décagonale allongée Gyrocoupole-rotonde décagonale allongée Orthobirotonde décagonale allongée Gyrobirotonde décagonale allongée Bicoupole hexagonale gyroallongée Bicoupole octogonale gyroallongée Bicoupole décagonale gyroallongée Coupole-rotonde décagonale gyroallongée Birotonde décagonale gyroallongée
Prismes augmentés	Prisme triangulaire augmenté Prisme triangulaire biaugmenté Prisme triangulaire triaugmenté Prisme pentagonal augmenté Prisme pentagonal biaugmenté Prisme hexagonal augmenté Prisme hexagonal parabiaugmenté Prisme hexagonal métabiaugmenté Prisme hexagonal triaugmenté
Solides de Platon modifiés	Dodécaèdre augmenté Dodécaèdre parabiaugmenté Dodécaèdre métabiaugmenté Dodécaèdre triaugmenté Icosaèdre métabidiminué Icosaèdre tridiminué Icosaèdre tridiminué augmenté
Solides d'Archimède augmentés	Tétraèdre tronqué augmenté Cube tronqué augmenté Cube tronqué biaugmenté Dodécaèdre tronqué augmenté Dodécaèdre tronqué parabiaugmenté Dodécaèdre tronqué métabiaugmenté Dodécaèdre tronqué triaugmenté Gyro-rhombicosidodécaèdre Parabigyro-rhombicosidodécaèdre Métabigyro-rhombicosidodécaèdre Trigyro-rhombicosidodécaèdre Rhombicosidodécaèdre diminué Rhombicosidodécaèdre paragyrodiminué Rhombicosidodécaèdre métagyrodiminué Rhombicosidodécaèdre bigyrodiminué Rhombicosidodécaèdre parabidiminué Rhombicosidodécaèdre métabidiminué Rhombicosidodécaèdre gyrobidiminué Rhombicosidodécaèdre tridiminué
Non classés	Disphénoïde adouci Antiprisme carré adouci Sphéno-couronne Sphéno-couronne augmentée Sphénoméga-couronne Hébesphénoméga-couronne Disphéno-ceinture Birotonde bilunaire Hébesphéno-rotonde triangulaire
Articles liés	Polyèdre uniforme Solide de Platon Solide d'Archimède Solide de Kepler-Poinsot Solide de Catalan