Matrice de Pascal
En mathématiques, plus particulièrement en algèbre linéaire et en combinatoire, les matrices de Pascal sont des matrices faisant intervenir le triangle de Pascal sous diverses formes.
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En mathématiques, plus particulièrement en algèbre linéaire et en combinatoire, les matrices de Pascal sont des matrices faisant intervenir le triangle de Pascal sous diverses formes.
Définitions
[modifier | modifier le code]Matrices de Pascal triangulaires
[modifier | modifier le code]La matrice de Pascal triangulaire supérieure
T
{\displaystyle T}
est la matrice infinie à coefficients entiers indexée sur
N
2
{\displaystyle \mathbb {N} ^{2}}
définie par
T
(
i
,
j
)
=
(
j
i
)
=
C
j
i
{\displaystyle T(i,j)={\binom {j}{i}}=C_{j}^{i}}
, avec la convention
(
j
i
)
=
0
{\displaystyle {\binom {j}{i}}=0}
si
i
>
j
{\displaystyle i>j}
.
Tronquée à l'ordre
n
{\displaystyle n}
on obtient une matrice
T
n
{\displaystyle T_{n}}
à
n
+
1
{\displaystyle n+1}
lignes et
n
+
1
{\displaystyle n+1}
colonnes ; par exemple :
T
4
=
(
1
1
1
1
1
0
1
2
3
4
0
0
1
3
6
0
0
0
1
4
0
0
0
0
1
)
{\displaystyle T_{4}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\0&1&2&3&4\\0&0&1&3&6\\0&0&0&1&4\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}}
.
La transposée
U
{\displaystyle U}
de la matrice
T
{\displaystyle T}
est la matrice de Pascal triangulaire inférieure définie par
U
(
i
,
j
)
=
(
i
j
)
{\displaystyle U(i,j)={\binom {i}{j}}}
. Elle présente la forme habituelle du triangle de Pascal. Par exemple :
U
4
=
(
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
2
1
0
0
1
3
3
1
0
1
4
6
4
1
)
{\displaystyle U_{4}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\1&1&0&0&0\\1&2&1&0&0\\1&3&3&1&0\\1&4&6&4&1\end{pmatrix}}}
.
Matrice de Pascal symétrique
[modifier | modifier le code]Le produit
U
T
{\displaystyle UT}
donne une matrice symétrique
S
{\displaystyle S}
définie par
S
(
i
,
j
)
=
(
i
+
j
i
)
{\displaystyle S(i,j)={\binom {i+j}{i}}}
[1]. Elle présente le triangle de Pascal habituel tourné de 45° ; par exemple
S
4
=
(
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
3
6
10
15
1
4
10
20
35
1
5
15
35
70
)
.
{\displaystyle S_{4}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&3&4&5\\1&3&6&10&15\\1&4&10&20&35\\1&5&15&35&70\end{pmatrix}}.}
Ceci vient de la formule de convolution pour les coefficients binomiaux, en effet :
-
S
(
i
,
j
)
=
∑
k
U
(
i
,
k
)
T
(
k
,
j
)
=
∑
k
(
i
k
)
(
j
k
)
=
∑
k
(
i
i
−
k
)
(
j
k
)
=
(
i
+
j
i
)
{\displaystyle S(i,j)=\sum _{k}U(i,k)T(k,j)=\sum _{k}{\binom {i}{k}}{\binom {j}{k}}=\sum _{k}{\binom {i}{i-k}}{\binom {j}{k}}={\binom {i+j}{i}}}
.
Interprétation comme matrice d'un endomorphisme polynomial
[modifier | modifier le code]La matrice
T
{\displaystyle T}
est la matrice relative à la base canonique
(
1
,
X
,
X
2
,
.
.
.
)
{\displaystyle (1,X,X^{2},...)}
de l'endomorphisme
φ
{\displaystyle \varphi }
de
R
[
X
]
{\displaystyle \mathbb {R} [X]}
qui au polynôme
P
(
X
)
{\displaystyle P(X)}
associe
P
(
X
+
1
)
{\displaystyle P(X+1)}
.
Ceci vient de la formule du binôme. En effet
-
(
X
+
1
)
j
=
∑
i
(
j
i
)
X
i
=
∑
i
T
(
i
,
j
)
X
i
{\displaystyle (X+1)^{j}=\sum _{i}{\binom {j}{i}}X^{i}=\sum _{i}T(i,j)X^{i}}
.
Calcul de la matrice de Pascal triangulaire comme exponentielle de la matrice de la dérivation
[modifier | modifier le code]La formule de Taylor appliquée aux polynômes permet d'écrire
P
(
X
+
1
)
=
∑
k
P
(
k
)
(
X
)
k
!
{\displaystyle P(X+1)=\sum _{k}{\frac {P^{(k)}(X)}{k!}}}
; on peut donc écrire l'endomorphisme
φ
{\displaystyle \varphi }
sous la forme
φ
=
∑
k
δ
k
k
!
{\displaystyle \varphi =\sum _{k}{\frac {\delta ^{k}}{k!}}}
où
δ
{\displaystyle \delta }
est l'endomorphisme de dérivation. Si on appelle
D
{\displaystyle D}
la matrice canonique de
δ
{\displaystyle \delta }
, on obtient
T
=
∑
k
D
k
k
!
{\displaystyle T=\sum _{k}{\frac {D^{k}}{k!}}}
qui n'est autre que l'exponentielle de la matrice
D
{\displaystyle D}
.
Cette matrice
D
{\displaystyle D}
, définie par
D
(
i
,
j
)
=
j
{\displaystyle D(i,j)=j}
si
i
=
j
−
1
{\displaystyle i=j-1}
,
D
(
i
,
j
)
=
0
{\displaystyle D(i,j)=0}
sinon, est la matrice triangulaire supérieure stricte dont la sur-diagonale contient
1
,
2
,
3
,
.
.
.
{\displaystyle 1,2,3,...}
.
Sa transposée est la matrice triangulaire inférieure stricte dont la sous-diagonale contient
1
,
2
,
3
,
.
.
.
{\displaystyle 1,2,3,...}
.
En passant aux matrices tronquées, on obtient
exp
(
D
n
)
=
T
n
{\displaystyle \exp(D_{n})=T_{n}}
et
exp
(
(
D
n
)
t
)
=
U
n
{\displaystyle \exp((D_{n})^{t})=U_{n}}
.
Par exemple pour
n
=
4
{\displaystyle n=4}
, on obtient :
(
D
4
)
t
=
(
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
3
0
0
0
0
0
4
0
)
{\displaystyle (D_{4})^{t}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&2&0&0&0\\0&0&3&0&0\\0&0&0&4&0\end{pmatrix}}}
donc[1]
U
4
=
(
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
2
1
0
0
1
3
3
1
0
1
4
6
4
1
)
=
exp
(
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
3
0
0
0
0
0
4
0
)
{\displaystyle U_{4}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\1&1&0&0&0\\1&2&1&0&0\\1&3&3&1&0\\1&4&6&4&1\end{pmatrix}}=\exp {\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&2&0&0&0\\0&0&3&0&0\\0&0&0&4&0\end{pmatrix}}}
.
Propriétés
[modifier | modifier le code]Puissances entières des matrices de Pascal triangulaires
[modifier | modifier le code]Comme
φ
(
P
(
X
)
)
=
P
(
X
+
1
)
{\displaystyle \varphi (P(X))=P(X+1)}
, on a
φ
m
(
P
(
X
)
)
=
P
(
X
+
m
)
{\displaystyle \varphi ^{m}(P(X))=P(X+m)}
pour tout entier
m
{\displaystyle m}
. On en déduit directement
T
m
(
i
,
j
)
=
m
j
−
i
T
(
i
,
j
)
{\displaystyle T^{m}(i,j)=m^{j-i}T(i,j)}
et
U
m
(
i
,
j
)
=
m
i
−
j
U
(
i
,
j
)
{\displaystyle U^{m}(i,j)=m^{i-j}U(i,j)}
.
Par exemple :
(
1
1
1
1
1
0
1
2
3
4
0
0
1
3
6
0
0
0
1
4
0
0
0
0
1
)
m
=
(
1
m
m
2
m
3
m
4
0
1
2
m
3
m
2
4
m
3
0
0
1
3
m
6
m
2
0
0
0
1
4
m
0
0
0
0
1
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\0&1&2&3&4\\0&0&1&3&6\\0&0&0&1&4\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}^{m}={\begin{pmatrix}1&m&m^{2}&m^{3}&m^{4}\\0&1&2m&3m^{2}&4m^{3}\\0&0&1&3m&6m^{2}\\0&0&0&1&4m\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}}
.
Inverses des matrices de Pascal
[modifier | modifier le code]Les trois matrices
T
,
U
,
S
{\displaystyle T,U,S}
ont pour inverses des matrices où les coefficients de la matrice de départ ont été changés de signe "en damier".
Plus précisément
T
−
1
(
i
,
j
)
=
(
−
1
)
i
+
j
T
(
i
,
j
)
{\displaystyle T^{-1}(i,j)=(-1)^{i+j}T(i,j)}
et de même pour
U
,
S
{\displaystyle U,S}
.
Par exemple :
(
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
3
6
10
15
1
4
10
20
35
1
5
15
35
70
)
−
1
=
(
1
−
1
1
−
1
1
−
1
2
−
3
4
−
5
1
−
3
6
−
10
15
−
1
4
−
10
20
−
35
1
−
5
15
−
35
70
)
.
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&3&4&5\\1&3&6&10&15\\1&4&10&20&35\\1&5&15&35&70\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}1&-1&1&-1&1\\-1&2&-3&4&-5\\1&-3&6&-10&15\\-1&4&-10&20&-35\\1&-5&15&-35&70\end{pmatrix}}.}
Pour T et U, on fait m = -1 dans les formules précédentes
Pour la matrice S, il suffit d'écrire :
-
S
n
−
1
(
i
,
j
)
=
(
U
n
T
n
)
−
1
(
i
,
j
)
=
∑
k
T
n
−
1
(
i
,
k
)
U
n
−
1
(
k
,
j
)
=
∑
k
(
−
1
)
i
+
k
+
k
+
j
T
n
(
i
,
k
)
U
n
(
k
,
j
)
=
(
−
1
)
i
+
j
S
n
(
i
,
j
)
{\displaystyle S_{n}^{-1}(i,j)=(U_{n}T_{n})^{-1}(i,j)=\sum _{k}T_{n}^{-1}(i,k)U_{n}^{-1}(k,j)=\sum _{k}(-1)^{i+k+k+j}T_{n}(i,k)U_{n}(k,j)=(-1)^{i+j}S_{n}(i,j)}
Déterminant des matrices de Pascal finies
[modifier | modifier le code]Les deux matrices triangulaires
T
n
,
U
n
{\displaystyle T_{n},U_{n}}
sont évidemment de déterminant 1, et comme
S
n
=
U
n
T
n
{\displaystyle S_{n}=U_{n}T_{n}}
, la matrice
S
n
{\displaystyle S_{n}}
est aussi de déterminant 1.
Par exemple,
|
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
3
6
10
15
1
4
10
20
35
1
5
15
35
70
|
=
1
{\displaystyle {\begin{vmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&3&4&5\\1&3&6&10&15\\1&4&10&20&35\\1&5&15&35&70\end{vmatrix}}=1}
Référence
[modifier | modifier le code]- ↑ a et b (en) Alan Edelman et Gilbert Strang, « Pascal's matrices », American Mathematical Monthly, vol. 111, no 3, 2004, p. 361-385 (DOI 10.2307/4145127, lire en ligne).
Voir aussi
[modifier | modifier le code]Articles connexes
[modifier | modifier le code]Lien externe
[modifier | modifier le code](en) Eric W. Weisstein, « Pascal Matrix », sur MathWorld