Image directe

L'image directe de đŽ, un sous-ensemble de X {\displaystyle X} , par une application f : X â Y {\displaystyle f\,\colon X\to Y} est le sous-ensemble de Y {\displaystyle Y} formĂ© des Ă©lĂ©ments qui ont, par f {\displaystyle f} , au moins un antĂ©cĂ©dent appartenant Ă A {\displaystyle A} : f ( A ) = { f ( x ) ⣠x â A } = { y â Y ⣠â a â A , y = f ( a ) } . {\displaystyle f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}=\{y\in Y\mid \exists a\in A,y=f(a)\}.}

L'image directe de đŽ, un sous-ensemble de , par une application est le sous-ensemble de formĂ© des Ă©lĂ©ments qui ont, par , au moins un antĂ©cĂ©dent appartenant Ă :
Exemples
[modifier | modifier le code]- On définit en particulier l'image d'une application définie sur :
- On se gardera bien de confondre l'image directe par d'une partie de , avec l'image par d'un élément de , ou avec l'image de l'application [1].
- Considérons l'application de dans définie par , et . L'image directe de par est tandis que l'image de est .
Propriétés élémentaires
[modifier | modifier le code]- Pour toutes parties et de ,Plus généralement, pour toute famille de parties de ,
- Pour toutes parties et de ,et cette inclusion peut ĂȘtre stricte, sauf si est injective[2].
On peut mĂȘme prouver que est injective si et seulement si pour toutes parties et de , on a .
Plus généralement, pour toute famille non vide de parties de ,
- Toute partie de contient l'image directe de son image réciproque ; plus précisément[2] :En particulier, si est surjective alors .
- On peut mĂȘme prouver que est surjective si et seulement si pour toute partie de on a .
- (Une démonstration est proposée dans l'article Surjection.)
- Toute partie de est contenue dans l'image rĂ©ciproque de son image directe :et cette inclusion peut ĂȘtre stricte, sauf si est injective[2]. On peut mĂȘme prouver que est injective si et seulement si pour toutes parties de , on a .
- Si l'on considÚre de plus une application , alors l'image directe d'une partie de par la composée est :
Notes et références
[modifier | modifier le code]- â Pour Ă©viter toute confusion, Saunders Mac Lane et Garrett Birkhoff, AlgĂšbre [dĂ©tail des Ă©ditions], vol. 1, p. 8, parlent d'une application ensembliste, qu'ils notent *.
- Pour une démonstration, voir par exemple le .
Articles connexes
[modifier | modifier le code]- Théorie naïve des ensembles
- Image d'une partie par une fonction multivaluée (autrement dit : par une relation binaire)