Image directe

L'image directe de 𝐴, un sous-ensemble de X {\displaystyle X} , par une application f : X → Y {\displaystyle f\,\colon X\to Y} est le sous-ensemble de Y {\displaystyle Y} formé des éléments qui ont, par f {\displaystyle f} , au moins un antécédent appartenant à A {\displaystyle A}  :

f ( A ) = { f ( x ) ∣ x ∈ A } = { y ∈ Y ∣ ∃ a ∈ A , y = f ( a ) } . {\displaystyle f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}=\{y\in Y\mid \exists a\in A,y=f(a)\}.}

• On définit en particulier l'image d'une application f {\displaystyle f} définie sur X {\displaystyle X}  : I m ( f ) = f ( X ) . {\displaystyle \mathrm {Im} (f)=f(X).}
• On se gardera bien de confondre l'image directe par f {\displaystyle f} d'une partie A {\displaystyle A} de X {\displaystyle X} , avec l'image par f {\displaystyle f} d'un élément x {\displaystyle x} de X {\displaystyle X} , ou avec l'image de l'application f {\displaystyle f} ^[1].
• Considérons l'application f {\displaystyle f} de { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{1,2,3\}} dans { a , b , c , d } {\displaystyle \{a,b,c,d\}} définie par f ( 1 ) = a {\displaystyle f(1)=a} , f ( 2 ) = c {\displaystyle f(2)=c} et f ( 3 ) = d {\displaystyle f(3)=d} . L'image directe de { 2 , 3 } {\displaystyle \{2,3\}} par f {\displaystyle f} est f ( { 2 , 3 } ) = { c , d } {\displaystyle f\left(\{2,3\}\right)=\{c,d\}} tandis que l'image de f {\displaystyle f} est { a , c , d } {\displaystyle \{a,c,d\}} .

• Pour toutes parties A 1 {\displaystyle A_{1}} et A 2 {\displaystyle A_{2}} de X {\displaystyle X} , f ( A 1 ∪ A 2 ) = f ( A 1 ) ∪ f ( A 2 ) . {\displaystyle f\left(A_{1}\cup A_{2}\right)=f(A_{1})\cup f(A_{2}).} Plus généralement, pour toute famille ( A i ) i ∈ I {\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}} de parties de X {\displaystyle X} , f ( ⋃ i ∈ I A i ) = ⋃ i ∈ I f ( A i ) . {\displaystyle f\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)=\bigcup _{i\in I}f(A_{i}).}
• Pour toutes parties A 1 {\displaystyle A_{1}} et A 2 {\displaystyle A_{2}} de X {\displaystyle X} , f ( A 1 ∩ A 2 ) ⊂ f ( A 1 ) ∩ f ( A 2 ) {\displaystyle f\left(A_{1}\cap A_{2}\right)\subset f(A_{1})\cap f(A_{2})} et cette inclusion peut être stricte, sauf si f {\displaystyle f} est injective^[2].
  On peut même prouver que f {\displaystyle f} est injective si et seulement si pour toutes parties A 1 {\displaystyle A_{1}} et A 2 {\displaystyle A_{2}} de X {\displaystyle X} , on a f ( A 1 ∩ A 2 ) = f ( A 1 ) ∩ f ( A 2 ) {\displaystyle f\left(A_{1}\cap A_{2}\right)=f(A_{1})\cap f(A_{2})} .

Plus généralement, pour toute famille non vide ( A i ) i ∈ I {\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}} de parties de X {\displaystyle X} ,

f ( ⋂ i ∈ I A i ) ⊂ ⋂ i ∈ I f ( A i ) {\displaystyle f\left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)\subset \bigcap _{i\in I}f(A_{i})} .

• Toute partie B {\displaystyle B} de Y {\displaystyle Y} contient l'image directe de son image réciproque f − 1 ( B ) {\displaystyle f^{-1}(B)}  ; plus précisément^[2] : f ( f − 1 ( B ) ) = B ∩ I m ( f ) . {\displaystyle f\left(f^{-1}(B)\right)=B\cap \mathrm {Im} (f).} En particulier, si f {\displaystyle f} est surjective alors f ( f − 1 ( B ) ) = B {\displaystyle f(f^{-1}(B))=B} .

On peut même prouver que f {\displaystyle f} est surjective si et seulement si pour toute partie B {\displaystyle B} de Y {\displaystyle Y} on a f ( f − 1 ( B ) ) = B {\displaystyle f\left(f^{-1}(B)\right)=B} .

(Une démonstration est proposée dans l'article Surjection.)

• Toute partie A {\displaystyle A} de X {\displaystyle X} est contenue dans l'image réciproque de son image directe : A ⊂ f − 1 ( f ( A ) ) {\displaystyle A\subset f^{-1}\left(f(A)\right)} et cette inclusion peut être stricte, sauf si f {\displaystyle f} est injective^[2]. On peut même prouver que f {\displaystyle f} est injective si et seulement si pour toutes parties A {\displaystyle A} de X {\displaystyle X} , on a A = f − 1 ( f ( A ) ) {\displaystyle A=f^{-1}\left(f(A)\right)} .
• Si l'on considère de plus une application g : Y → Z {\displaystyle g:Y\rightarrow Z} , alors l'image directe d'une partie A {\displaystyle A} de X {\displaystyle X} par la composée g ∘ f : X → Z {\displaystyle g\circ f:X\to Z} est :

( g ∘ f ) ( A ) = g ( f ( A ) ) {\displaystyle (g\circ f)\left(A\right)=g\left(f(A)\right)}

• Théorie naïve des ensembles
• Image d'une partie par une fonction multivaluée (autrement dit : par une relation binaire)

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