Commutant
En algèbre, le commutant d'un sous-ensemble X {\displaystyle X} d'un magma A (par exemple une algèbre sur un anneau, pour la multiplication) est le sous-ensemble X ′ {\displaystyle X'} des éléments de A qui commutent avec tout élément de X {\displaystyle X} . Autrement dit, X ′ = { a ∈ A | ∀ x ∈ X , x a = a x } . {\displaystyle X'=\{a\in A~|~\forall x\in X,xa=ax\}.} En théorie des groupes, le commutant est appelé centralisateur.
En algèbre, le commutant[1] d'un sous-ensemble d'un magma A (par exemple une algèbre sur un anneau, pour la multiplication) est le sous-ensemble des éléments de A qui commutent avec tout élément de . Autrement dit,
En théorie des groupes, le commutant est appelé centralisateur.
Propriétés
[modifier | modifier le code]Les deux premières propriétés expriment, de deux façons équivalentes, que l'application permet de définir une correspondance de Galois antitone. La troisième[2] en est une conséquence[3].
- et
- Si A est un demi-groupe (par exemple un groupe, ou bien un pseudo-anneau, pour la multiplication) alors[2] le commutant d'une partie quelconque de A forme une partie stable de A.
Notes et références
[modifier | modifier le code]- ↑ N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, Chapitres 1 à 3, Springer, 2007 (ISBN 978-3-540-33849-9) p. A I.7.
- N. Bourbaki, op. cit., p. A I.8.
- ↑ Voir Propriétés des correspondances de Galois.
