Code CSS

Dans le cadre des codes correcteurs d'erreurs quantiques, les codes CSS, nommés ainsi d'après les initiales de leurs inventeurs Robert Calderbank, Peter Shor^[1] et Andrew Steane (en)^[2], sont un type particulier de code stabilisateur construit à partir de codes classiques avec quelques propriétés spéciales. Un exemple de code CSS est le code de Steane.

Soient C 1 {\displaystyle C_{1}} et C 2 {\displaystyle C_{2}} deux codes classiques, de paramètres respectivement [ n , k 1 ] {\displaystyle [n,k_{1}]} , [ n , k 2 ] {\displaystyle [n,k_{2}]} , tels que C 2 ⊂ C 1 {\displaystyle C_{2}\subset C_{1}} et C 1 , C 2 ⊥ {\displaystyle C_{1},C_{2}^{\perp }} ont tous deux une distance minimale ≥ 2 t + 1 {\displaystyle \geq 2t+1} , où C 2 ⊥ {\displaystyle C_{2}^{\perp }} est le code dual de C 2 {\displaystyle C_{2}} . On définit alors le code CSS de C 1 {\displaystyle C_{1}} sur C 2 {\displaystyle C_{2}} , noté CSS ( C 1 , C 2 ) {\displaystyle {\text{CSS}}(C_{1},C_{2})} , comme suit : c'est le code de paramètres [ n , k 1 − k 2 , d ] {\displaystyle [n,k_{1}-k_{2},d]} , avec d ≥ 2 t + 1 {\displaystyle d\geq 2t+1}  :

CSS ( C 1 , C 2 ) = { | x + C 2 ⟩ ∣ x ∈ C 1 } {\displaystyle {\text{CSS}}(C_{1},C_{2})=\{{|}x+C_{2}\rangle \mid x\in C_{1}\}} ,

où, pour x ∈ C 1 {\displaystyle x\in C_{1}} , on définit :

| x + C 2 ⟩ := {\displaystyle {|}x+C_{2}\rangle :=} 1 / | C 2 | {\displaystyle 1/{\sqrt {{|}C_{2}{|}}}} ∑ y ∈ C 2 | x + y ⟩ {\displaystyle \sum _{y\in C_{2}}{|}x+y\rangle } ,

et où + {\displaystyle +} est l'addition bit à bit modulo 2.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « CSS code » (voir la liste des auteurs).

• Michael A. Nielsen et Isaac L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge, 2010, 2^e éd. (ISBN 978-1-107-00217-3, OCLC 844974180)

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