Acutangle

En géométrie euclidienne, le terme acutangle qualifie un triangle ou un tétraèdre.

Géométrie plane

Un triangle acutangle (ou plus simplement triangle aigu) est un triangle dont tous les angles sont aigus, par opposition au triangle obtusangle comportant un angle obtus (ainsi que deux angles aigus), et au triangle rectangle dont un angle est droit et les deux autres, aigus.

En géométrie euclidienne, la somme des mesures des angles intérieurs d'un triangle étant toujours égale à 180°, un triangle ne peut avoir que zéro ou un angle obtus. Un triangle est donc toujours soit obtusangle, soit acutangle, soit droit.

Cette distinction entre les triangles est particulièrement importante car certains théorèmes ne s'appliquent qu'à un seul type de triangles, ou s'appliquent différemment selon le type concerné.

Contrairement au triangle obtusangle, pour un triangle acutangle, le centre du cercle circonscrit et l'orthocentre sont à l'intérieur du triangle.

Condition sur les côtés

Trois nombres réels $0<a\leqslant b\leqslant c$ sont les côtés d'un triangle acutangle si et seulement si $c^{2}<a^{2}+b^{2}$ .

Démonstration

Sens direct :

Si $a=BC,b=CA,c=AB$ , d'après la loi des cosinus, $2ab\cos {\widehat {C}}=a^{2}+b^{2}-c^{2}>0$ puisque l'angle ${\widehat {C}}$ est aigu.

Réciproque :

Si $c^{2}<a^{2}+b^{2}$ , $c^{2}<a^{2}+b^{2}+2ab=(a+b)^{2}$ , donc $c<a+b$ , et donc d'après l'inégalité triangulaire, il existe un triangle $ABC$ ayant pour côtés $a=BC,b=CA,c=AB$ .

Comme $2ab\cos {\widehat {C}}=a^{2}+b^{2}-c^{2}>0$ , l'angle ${\widehat {C}}$ est aigu.

Les deux autres angles sont aigus car $a^{2}\leqslant b^{2}<b^{2}+c^{2}$ et $b^{2}\leqslant a^{2}<a^{2}+c^{2}$ .

Autres conditions

Un triangle est acutangle si et seulement si la somme des mesures en degré de deux de ses angles est toujours $>90^{\circ }$ .
Un triangle est acutangle si et seulement si $\cos {\widehat {A}}\cos {\widehat {B}}\cos {\widehat {C}}>0$ (en effet un cosinus au plus peut être négatif).

Avec la formule $\cos {\widehat {A}}\cos {\widehat {B}}\cos {\widehat {C}}={\frac {p^{2}-(r+2R)^{2}}{4R^{2}}}$ , où $p$ est le demi-périmètre, $r$ le rayon du cercle inscrit et $R$ celui du circonscrit, on obtient ^[1] :

Un triangle est acutangle si et seulement si $p>2R+r$ .

Exemples

Les faces d'un tétraèdre équifacial sont toujours acutangles ; la base d'un tétraèdre trirectangle est acutangle.

Géométrie dans l'espace

Considérons un tétraèdre non aplati, et sa sphère circonscrite. Chaque face du tétraèdre est portée par un plan qui sépare la sphère en deux calottes : l'une d'elles est au moins aussi grande qu'un hémisphère. On parle de tétraèdre acutangle^[2] si :

le sommet opposé à chaque face est sur la grande calotte délimitée par le plan de la face.

Notes et références

↑ J.B. Hiriart-Urruty, P. Lassère, Jean-Pierre Laurent, « Pouvez-vous mesurer la forme d'un triangle ? », Quadrature, n^o 127,‎ janvier-février-mars 2023, p. 20 - 23
↑ M. Chrystal (trad. M. l'abbé Pautonnier), « Sur le problème de la construction du cercle minimum renfermant n points de données d'un plan », Bulletin de la S.M.F., Société mathématique de France,‎ 1885, p. 200 (lire en ligne)

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[1] J.B. Hiriart-Urruty, P. Lassère, Jean-Pierre Laurent, « Pouvez-vous mesurer la forme d'un triangle ? », Quadrature, n^o 127,‎ janvier-février-mars 2023, p. 20 - 23

[chrystal-2] M. Chrystal (trad. M. l'abbé Pautonnier), « Sur le problème de la construction du cercle minimum renfermant n points de données d'un plan », Bulletin de la S.M.F., Société mathématique de France,‎ 1885, p. 200 (lire en ligne)

[1]

[2]

v · m Triangles
Description	Sommet Apex Côté Angle Base
Types	Triangle équilatéral Triangle isocèle Triangle d'or Triangle rectangle Angle droit Cathète Hypoténuse Triangle de Kepler Triangle obtusangle Triangle acutangle Triangle isocèle rectangle Triangle pseudo-rectangle Triangle scalène Triangle de Héron
Points remarquables (Nombre de Kimberling)	Centres : Centre du cercle inscrit Centre de gravité Centre du cercle circonscrit Orthocentre Centre du cercle d'Euler Centre du cercle de Spieker Points de Brocard Points de Feuerbach Point de Fermat ou Point de Torricelli Point de Longchamps Point de Miquel Point de Gergonne Point de Nagel Point de Vecten Points isogonaux Points isodynamiques Point de Lemoine Points de Terquem Points de Napoléon Mittenpunkt
Droites remarquables	Cévienne Hauteur Médiane Bissectrice Médiatrice Droite de Brocard Droite d'Euler Droite de Lemoine Droite de Newton Droite de Simson (ou droite de Wallace) Droite de Steiner Ménélienne Symédiane Axe orthique Droite centrale
Cercles remarquables	Cercle circonscrit Cercle exinscrit Cercle inscrit Cercle d'Euler Cercle d'Apollonius Cercles de Lemoine Cercle de Longchamps Cercle de Miquel Cercle de Taylor Cercle de Tucker Cercle podaire Cercle de Brocard Cercle de Spieker Cercle de Fuhrmann Cercles de Johnson Cercle pédal
Triangles remarquables	Triangle de Bevan Triangle de Feuerbach Triangle de Gergonne Triangle de Morley Triangle de Nagel Triangle inscrit de périmètre minimal (Problème de Fagnano) Triangle médian Triangle orthique Triangle podaire Triangle tangentiel Triangle de Fuhrmann
Courbes remarquables	Deltoïde de Steiner Coniques Conique inscrite de Serret (ou de MacBeath) Conique orthique Hyperbole de Kiepert Paraboles Parabole tritangente Parabole de Kiepert Ellipses Ellipse de Mandart Ellipse de Steiner Coniques circonscrites et inscrites à un triangle Cubiques
Théorèmes	Théorème de Pythagore Théorème de Thalès Théorème de Napoléon Théorème japonais de Carnot Théorème de Ménélaüs Théorème de Morley Théorème de Nagel Théorème de Neuberg Théorème de Hamilton Théorème d'Euler Théorème de Feuerbach Théorème de Viviani Avec des céviennes Théorème de Ceva Théorème de Gergonne Théorème de Stewart Théorème de Terquem Théorème de Routh Théorème de Jacobi Avec des cercles Théorème des six cercles Théorème des trois cercles de Miquel
Relations entre triangles	Triangles isométriques Triangles semblables Inégalités dans le triangle
Résolution	Loi des cosinus Loi des sinus Loi des tangentes Loi des cotangentes Aire Formule de Héron