Surface Bundle

Surface bundle es un fibrado por superficie, es decir la fibra es una 2-variedad y sobre alguna base -en símbolos:

F ⊂ E → B {\displaystyle F\subset E\to B}

donde E el fibrado (o espacio total), F es la fibra (espacio fibra) y B la base del fibrado (espacio base del fibrado), siendo casos importantes:

1. Fibrar sobre el círculo S 1 {\displaystyle S^{1}} y es por lo tanto un tipo de 3-variedad. Una castellanización de este nombre puede ser F-fibrado sobre B, o bien fibrado por superficies sobre B.
2. Fibrar sobre otra superficie. Es este caso reciben el nombre de surface bundle over a surface y son una clase de 4-variedades.

No son importantes los fibrados-por-superficie que tengan una base que sea contraíble desde el punto de vista homotópico, pues en este caso, el fibrado es trivial, es decir, homeomorfo a F × B {\displaystyle F\times B}

Cuando la base es un círculo el espacio es un surface bundle over the circle. Estos fibrados están clasificados por clases de isotopía de auto-homeomorfismos; F → [ f ] F {\displaystyle F{\stackrel {[f]}{\to }}F} .

Sea F una superficie cerrada. Si tenemos el producto cartesiano F × I {\displaystyle \scriptstyle F\times I} , entonces vamos a utilizar un homeomorfismo ϕ : F → F {\displaystyle \scriptstyle \phi \colon F\to F} para identificar las tapas F × { 0 } {\displaystyle \scriptstyle F\times \{0\}} con F × { 1 } {\displaystyle \scriptstyle F\times \{1\}} usando la fórmula

( x , 0 ) {\displaystyle (x,0)} ∼ {\displaystyle \sim } ( ϕ ( x ) , 1 ) {\displaystyle (\phi (x),1)}

así el nuevo espacio E ϕ = F × I ∼ {\displaystyle E_{\phi }={\frac {F\times I}{\sim }}} es el F-fibrado sobre S 1 {\displaystyle S^{1}} determinado por ϕ {\displaystyle \phi }

Si ϕ {\displaystyle \phi } es el mapa identidad de F, el fibrado es F × S 1 {\displaystyle F\times S^{1}} .

Cuando ϕ {\displaystyle \phi } no está en la clase de isotopía de la identidad el fibrado E ϕ = F × ϕ S 1 {\displaystyle E_{\phi }=F\times _{\phi }S^{1}} se dice twisted surface bundle.

Para la 2-esfera hay dos S 2 × S 1 {\displaystyle S^{2}\times S^{1}} y S 2 × ∼ S 1 {\displaystyle S^{2}{\stackrel {\sim }{\times }}S^{1}} .

Se distingue entre fibrados que utilizan superficies cerradas (compactas y sin frontera) para obtener fibrados sin frontera. Además usando la clasificación de las superficies obtenemos

• O g ⊂ E → B {\displaystyle O_{g}\subset E\to B}
• N k ⊂ E → B {\displaystyle N_{k}\subset E\to B}

sobre alguna base B de dimensión uno.

Como los fibrados sobre la recta numérica R 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{1}} (o intervalos conexos) son triviales (i.e. solo obtenemos E = F × R 1 {\displaystyle E=F\times \mathbb {R} ^{1}} ), por eso hay más riqueza al estudiar fibrados sobre el círculo, S 1 {\displaystyle S^{1}} .