Operad
En matemáticas, se llama operad a una estructura construida a partir de operaciones abstractas, cada una de las cuales tiene un número finito de entradas (argumentos) y una sola salida como resultado, así como unas reglas sobre como se deben componer esas operaciones. Dado un operad O {\displaystyle O} , se define un álgebra sobre O {\displaystyle O} como un conjunto dotado de operaciones en sus elementos de forma que se comportan como las operaciones abstractas de O {\displaystyle O} . Por ejemplo, existe el llamado operad de Lie L {\displaystyle L} tal que las álgebras sobre L {\displaystyle L} son precisamente las álgebras de Lie. De esta manera, el operad L {\displaystyle L} es una forma de abstraer en un objeto matemático las operaciones que comparten entre sí todas las álgebras de Lie. El operad de relaciona con sus álgebras de manera similar a como un grupo se relaciona con las representaciones del grupo. La teoría de operads tiene su origen en la topología algebraica, donde fueron introducidas en 1969 por J. Michael Boardman y Rainer M. Vogt con el fin de caracterizar ciertos espacios de lazos. y por J. Peter Mayin 1970. May creó la palabra "operad" como un acrónimo de "operaciones" y "mónada", a lo que se une también el hecho de que su madre era cantante de ópera. El interés por la teoría de operads recobró actualidad a finales del siglo XX a partir de que, basándose en las primeras ideas de Maxim Kontsevich, Victor Ginzburg y Mikhail Kapranov descubrieron que algunos fenómenos de dualidad en la teoría de la homotopía racional podían explicarse utilizando la llamada dualidad de operads de Koszul. Desde entonces, las operaciones han encontrado muchas aplicaciones como, por ejemplo, en la cuantización por deformación de las variedades de Poisson, en la conjetura de Deligne, o la homología de grafos dentro de los trabajos de Maxim Kontsevich y Thomas Willwacher .
En matemáticas, se llama operad a una estructura construida a partir de operaciones abstractas, cada una de las cuales tiene un número finito de entradas (argumentos) y una sola salida como resultado, así como unas reglas sobre como se deben componer esas operaciones. Dado un operad , se define un álgebra sobre como un conjunto dotado de operaciones en sus elementos de forma que se comportan como las operaciones abstractas de . Por ejemplo, existe el llamado operad de Lie tal que las álgebras sobre son precisamente las álgebras de Lie. De esta manera, el operad es una forma de abstraer en un objeto matemático las operaciones que comparten entre sí todas las álgebras de Lie. El operad de relaciona con sus álgebras de manera similar a como un grupo se relaciona con las representaciones del grupo.
La teoría de operads tiene su origen en la topología algebraica, donde fueron introducidas en 1969 por J. Michael Boardman y Rainer M. Vogt con el fin de caracterizar ciertos espacios de lazos.[1] y por J. Peter Mayin 1970.[2] May creó la palabra "operad" como un acrónimo de "operaciones" y "mónada", a lo que se une también el hecho de que su madre era cantante de ópera.[3]
El interés por la teoría de operads recobró actualidad a finales del siglo XX a partir de que, basándose en las primeras ideas de Maxim Kontsevich, Victor Ginzburg y Mikhail Kapranov descubrieron que algunos fenómenos de dualidad en la teoría de la homotopía racional podían explicarse utilizando la llamada dualidad de operads de Koszul.[4][5] Desde entonces, las operaciones han encontrado muchas aplicaciones como, por ejemplo, en la cuantización por deformación de las variedades de Poisson, en la conjetura de Deligne, o la homología de grafos dentro de los trabajos de Maxim Kontsevich y Thomas Willwacher .
Referencias de ampliación
[editar]- Tom Leinster (2004). Higher Operads, Higher Categories. Cambridge University Press. Bibcode:2004hohc.book.....L. ISBN 978-0-521-53215-0.
- Martin Markl, Steve Shnider, Jim Stasheff (2002). Operads in Algebra, Topology and Physics. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4362-8.
- «Operads and PROPs». .
- Stasheff, Jim (June–July 2004). «What Is...an Operad?». Notices of the American Mathematical Society 51 (6): 630-631. Consultado el 17 de enero de 2008.
- Loday, Jean-Louis; Vallette, Bruno (2012), Algebraic Operads, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 346, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-642-30361-6, archivado desde el original el 23 de agosto de 2011, consultado el 13 de enero de 2023.
- Zinbiel, Guillaume W. (2012), «Encyclopedia of types of algebras 2010», en Bai, Chengming; Guo, Li; Loday, eds., Operads and universal algebra, Nankai Series in Pure, Applied Mathematics and Theoretical Physics 9, pp. 217-298, Bibcode:2011arXiv1101.0267Z, ISBN 9789814365116.
- Fresse, Benoit (17 de mayo de 2017), Homotopy of Operads and Grothendieck-Teichmüller Groups, Mathematical Surveys and Monographs, American Mathematical Society, ISBN 978-1-4704-3480-9.
- Miguel A. Mendéz (2015). Set Operads in Combinatorics and Computer Science. SpringerBriefs in Mathematics. ISBN 978-3-319-11712-6.
- Samuele Giraudo (2018). Nonsymmetric Operads in Combinatorics. Springer International Publishing. ISBN 978-3-030-02073-6.
Citas
[editar]Referencias
[editar]- ↑ May, J. P. (1972). The Geometry of Iterated Loop Spaces. Lecture Notes in Mathematics (en inglés británico) 271. ISBN 978-3-540-05904-2. ISSN 0075-8434. doi:10.1007/bfb0067491.
- ↑ May, J. P. (1972). Iterated loop spaces and the. Springer Berlin Heidelberg. pp. 39-49. ISBN 978-3-540-05904-2. Consultado el 13 de enero de 2023.
- ↑ May, J. Peter. «Operads, Algebras, and Modules». math.uchicago.edu. Consultado el 28 de septiembre de 2018.
- ↑ Ginzburg, Victor; Kapranov, Mikhail (1994). «Koszul duality for operads». Duke Mathematical Journal (en inglés) 76 (1): 203-272. ISSN 0012-7094. doi:10.1215/S0012-7094-94-07608-4.
- ↑ Loday, Jean-Louis (1996). «La renaissance des opérades». www.numdam.org. Séminaire Nicolas Bourbaki (en inglés). Consultado el 27 de septiembre de 2018.
