Desigualdad triangular

La desigualdad triangular es un teorema de geometría euclidiana que establece:

En todo triángulo la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera es siempre mayor a la longitud del lado restante. [1]​

Este resultado ha sido generalizado a otros contextos más sofisticados como espacios vectoriales. Definido matemáticamente, cualquier triángulo cumple la siguiente propiedad:

a < ( b + c ) , b < ( a + c ) , c < ( a + b ) {\displaystyle a<(b+c),\qquad b<(a+c),\qquad c<(a+b)}

donde a, b y c son los lados.

El teorema se pide como axioma para definir los espacios vectoriales normados (espacios vectoriales donde hay una norma ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} definida), resultando en la siguiente versión de la desigualdad triangular:

En todo espacio vectorial normado V , ∀ x → , y → ∈ V ,     ‖ x → + y → ‖ ≤ ‖ x → ‖ + ‖ y → ‖ {\displaystyle V,\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in V,\ \ \left\|{\vec {x}}+{\vec {y}}\right\|\leq \left\|{\vec {x}}\right\|+\left\|{\vec {y}}\right\|}

En particular, la recta real es un espacio vectorial normado con el valor absoluto como norma. Entre otras condiciones, se satisface la desigualdad triangular:

Para cualesquiera dos números a y b se cumple: | a + b | ≤ | a | + | b | {\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|}

cuya demostración es:

(Ámbito → ℝ). Haciendo uso de las propiedades del valor absoluto, es posible escribir:

− | a | ≤ a ≤ | a | {\displaystyle -|a|\leq a\leq |a|}

− | b | ≤ b ≤ | b | {\displaystyle -|b|\leq b\leq |b|}

Sumando ambas inecuaciones:

− ( | a | + | b | ) ≤ a + b ≤ | a | + | b | {\displaystyle -(|a|+|b|)\leq a+b\leq |a|+|b|}

A su vez, usando la propiedad de valor absoluto | c | ≤ d {\displaystyle |c|\leq d} si y solo si − d ≤ c ≤ d {\displaystyle -d\leq c\leq d} en la línea de arriba queda:

| a + b | ≤ | a | + | b | {\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|}

La desigualdad triangular puede generalizarse a un número arbitrario de sumandos:

| x 1 + x 2 + ⋯ + x n | ≤ | x 1 | + | x 2 | + ⋯ + | x n | {\displaystyle |x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}|\leq |x_{1}|+|x_{2}|+\cdots +|x_{n}|} ,

es decir:

| ∑ i = 1 n x i | ≤ ∑ i = 1 n | x i | . {\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right|\leq \sum _{i=1}^{n}|x_{i}|.}

donde n es un número natural, y los x i {\displaystyle x_{i}} son números reales.

Demostración

La demostración es un ejemplo clásico de prueba por inducción matemática. Como casos iniciales observamos que para n=1: | x 1 | ≤ | x 1 | {\displaystyle |x_{1}|\leq |x_{1}|} puesto que el símbolo ≤ {\displaystyle \leq } es una disyunción lógica (menor o igual) que contempla ya el caso de igualdad Cuando n=2, obtenemos la desigualdad triangular clásica | x 1 + x 2 | ≤ | x 1 | + | x 2 | {\displaystyle |x_{1}+x_{2}|\leq |x_{1}|+|x_{2}|} Supongamos ahora que la condición se ha verificado hasta un cierto valor k de n. Esto es, asumimos que se ha verificado | ∑ i = 1 k x i | ≤ ∑ i = 1 k | x i | . {\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{k}x_{i}\right|\leq \sum _{i=1}^{k}|x_{i}|.} Queda por demostrar que la afirmación es cierta también para el siguiente valor, k+1. Partimos de la siguiente expresión: | ∑ i = 1 k + 1 x i | = | ∑ i = 1 k x i + x k + 1 | {\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{k+1}x_{i}\right|=\left|\sum _{i=1}^{k}x_{i}+x_{k+1}\right|} y observando que ∑ i = 1 k x i {\displaystyle \sum _{i=1}^{k}x_{i}} es un número real y x k + 1 {\displaystyle x_{k+1}} es otro, podemos aplicar la desigualdad triangular para dos sumandos: | ∑ i = 1 k x i + x k + 1 | ≤ | ∑ i = 1 k x i | + | x k + 1 | {\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{k}x_{i}+x_{k+1}\right|\leq \left|\sum _{i=1}^{k}x_{i}\right|+|x_{k+1}|} Aplicamos ahora la afirmación para n=k sumandos | ∑ i = 1 k x i | ≤ ∑ i = 1 k | x i | . {\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{k}x_{i}\right|\leq \sum _{i=1}^{k}|x_{i}|.} la cual habíamos supuesto como cierta y la sustituimos para obtener | ∑ i = 1 k x i + x k + 1 | ≤ ∑ i = 1 k | x i | + | x k + 1 | . {\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{k}x_{i}+x_{k+1}\right|\leq \sum _{i=1}^{k}|x_{i}|+|x_{k+1}|.} Sin embargo, esta última expresión es precisamente ∑ i = 1 k + 1 | x i | . {\displaystyle \sum _{i=1}^{k+1}|x_{i}|.} de manera que hemos demostrado | ∑ i = 1 k + 1 x i | ≤ ∑ i = 1 k + 1 | x i | . {\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{k+1}x_{i}\right|\leq \sum _{i=1}^{k+1}|x_{i}|.} y por medio de inducción matemática, el resultado queda establecido para cualquier valor de n.

La desigualdad triangular puede generalizarse aún más para integrales (Riemann, Riemann-Stieltjes, Lebesgue-Stieltjes, etc):

| ∫ A f ( x ) d μ ( x ) | ≤ ∫ A | f ( x ) | d μ ( x ) {\displaystyle \left|\int _{A}f(x){\text{d}}\mu (x)\right|\leq \int _{A}|f(x)|{\text{d}}\mu (x)}

así como también para espacios L^p. Sea S un espacio medible, sea 1 ≤ p ≤ ∞ y sea f y g elementos de L^p(S). Entonces f + g es de L^p(S), y se tiene

‖ f + g ‖ p ≤ ‖ f ‖ p + ‖ g ‖ p {\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}}

con la igualdad para el caso1 < p < ∞ si y sólo si f y g son positivamente linealmente dependientes (que significa que f = λg o g = λf para algún λ ≥ 0).

Esta desigualdad se llama desigualdad de Minkowski y está demostrada en su propio artículo. Igual que la desigualdad de Hölder, la desigualdad de Minkowski se puede especificar para sucesiones y vectores haciendo:

( ∑ k = 1 n | x k + y k | p ) 1 / p ≤ ( ∑ k = 1 n | x k | p ) 1 / p + ( ∑ k = 1 n | y k | p ) 1 / p {\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}\right)^{1/p}}

para todos los números reales (o complejos) x₁, ..., x_n, y₁, ..., y_n y donde n es el cardinal de S (el número de elementos de S).

• Desigualdad de Cauchy-Schwarz

• Hardy, G., Littlewood J.E., Polya, G. (1999). Inequalities, Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press. ISBN 0-521-05206-8
• H. Minkowski, Geometrie der Zahlen , Chelsea, reprint (1953)
• M.I. Voitsekhovskii (2001), "Minkowski inequality", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4