Vielfaches

Ein Vielfaches ist ein Begriff aus der Arithmetik, der sich primär auf die Multiplikation ganzer Zahlen ( … , − 1 , 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle \dotsc ,-1,0,1,2,\dotsc } ) bezieht. Allerdings kann er auch auf beliebige abelsche Gruppen verallgemeinert werden. In der Bruchrechnung und der Zahlentheorie spielt das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei oder mehreren ganzen Zahlen eine Rolle.

Eine ganze Zahl a ∈ Z {\displaystyle a\in \mathbb {Z} } heißt Vielfaches einer Zahl b ∈ Z {\displaystyle b\in \mathbb {Z} } , wenn es eine ganze Zahl k ∈ Z {\displaystyle k\in \mathbb {Z} } gibt, so dass a = k ⋅ b {\displaystyle a=k\cdot b} ist. In diesem Fall ist b {\displaystyle b} ein Teiler von a {\displaystyle a} . Von einem echten Vielfachen wird gesprochen, wenn | k | > 1 {\displaystyle |k|>1} ist.

Analog wird das Vielfache auch für rationale oder reelle Zahlen a {\displaystyle a} und b {\displaystyle b} definiert.^[1]

• 6, 9 und −15 sind echte Vielfache von 3.
• 6 ist auch ein echtes Vielfaches von 2.
• 0 ist ein Vielfaches von jeder Zahl.

Sei ( A , + ) {\displaystyle (A,+)} eine abelsche Gruppe, so gibt es zu jedem a ∈ A {\displaystyle a\in A} einen durch μ a ( 1 ) = a {\displaystyle \mu _{a}(1)=a} eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus μ a : Z → A {\displaystyle \mu _{a}\colon \mathbb {Z} \to A} . Für diesen gilt

μ a ( 0 ) = 0 , μ a ( 2 ) = μ a ( 1 ) + μ a ( 1 ) = a + a , μ a ( − n ) = − μ a ( n )   für alle   n ∈ N . {\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{a}(0)&=0,\\\mu _{a}(2)&=\mu _{a}(1)+\mu _{a}(1)=a+a,\\\mu _{a}(-n)&=-\mu _{a}(n)\ {\mbox{für alle}}\ n\in \mathbb {N} \,.\end{aligned}}}

Nun wird

n ⋅ a := μ a ( n ) {\displaystyle n\cdot a:=\mu _{a}(n)}

für n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } und a ∈ A {\displaystyle a\in A} gesetzt. Dann nennt man n ⋅ a {\displaystyle n\cdot a} ein Vielfaches oder genauer das n {\displaystyle n} -Fache von a {\displaystyle a} in der abelschen Gruppe A {\displaystyle A} .^[2]

Wiktionary: Vielfaches – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Multiple. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). 

1. ↑ Eric W. Weisstein: Multiple. In: MathWorld (englisch).
2. ↑ Vielfaches. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.