Verma-Modul

In der Mathematik ist der Verma-Modul (benannt nach dem indischen Mathematiker Daya-Nand Verma) ein unendlich-dimensionaler Modul über der universellen einhüllenden Algebra einer Lie-Algebra, aus dem sich die endlich-dimensionalen Darstellungen eines gegebenen höchsten Gewichts gewinnen lassen.

Sei g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} eine komplexe halbeinfache Lie-Algebra, h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} eine Cartan-Unteralgebra, R {\displaystyle R} das Wurzelsystem mit R + {\displaystyle R^{+}} als Menge der positiven Wurzeln. Für jedes α ∈ R + {\displaystyle \alpha \in R^{+}} wählen wir ein X α ∈ g α {\displaystyle X_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{\alpha }} und Y α ∈ g − α {\displaystyle Y_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{-\alpha }} .

Zu einem Gewicht λ : h → C {\displaystyle \lambda \colon {\mathfrak {h}}\to \mathbb {C} } konstruiert man den Verma-Modul W λ {\displaystyle W_{\lambda }} als Quotient

W λ := U ( g ) / I λ {\displaystyle W_{\lambda }:=U({\mathfrak {g}})/I_{\lambda }}

der universellen einhüllenden Algebra U ( g ) {\displaystyle U({\mathfrak {g}})} nach dem Linksideal I λ {\displaystyle I_{\lambda }} erzeugt von allen Elementen der Form

X α , α ∈ R + {\displaystyle X_{\alpha },\alpha \in R^{+}}

und

H − λ ( H ) 1 , H ∈ h {\displaystyle H-\lambda (H)1,H\in {\mathfrak {h}}} .

Für einen Vektor höchsten Gewichts v ∈ W λ {\displaystyle v\in W_{\lambda }} ist die durch

Φ ( x ) = x ⋅ v {\displaystyle \Phi (x)=x\cdot v}

definierte Abbildung Φ : U ( g ) → W λ {\displaystyle \Phi \colon U({\mathfrak {g}})\to W_{\lambda }} ein surjektiver Homomorphismus.

Wir betrachten das Beispiel g = s l ( 2 , C ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )} . Für h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} wählen wir den Aufspann von H = ( 1 0 0 − 1 ) {\displaystyle H=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}}\right)} .

Für ein beliebiges m ∈ C {\displaystyle m\in \mathbb {C} } definieren wir λ : h → C {\displaystyle \lambda \colon {\mathfrak {h}}\to \mathbb {C} } durch λ ( H ) = m {\displaystyle \lambda (H)=m} . Wir wählen X = ( 0 1 0 0 ) {\displaystyle X=\left({\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}}\right)} und Y = ( 0 0 1 0 ) {\displaystyle Y=\left({\begin{array}{cc}0&0\\1&0\end{array}}\right)} .

Dann wird der Verma-Modul W λ {\displaystyle W_{\lambda }} von linear unabhängigen Vektoren v 0 , v 1 , v 2 , … {\displaystyle v_{0},v_{1},v_{2},\ldots } erzeugt und U ( g ) {\displaystyle U({\mathfrak {g}})} wirkt durch

X ⋅ v j = j ( m − ( j − 1 ) ) v j − 1 , Y ⋅ v j = v j + 1 , H ⋅ v j = ( m − 2 j ) v j {\displaystyle X\cdot v_{j}=j(m-(j-1))v_{j-1},Y\cdot v_{j}=v_{j+1},H\cdot v_{j}=(m-2j)v_{j}} .

Wegen X ⋅ v m + 1 = 0 {\displaystyle X\cdot v_{m+1}=0} ist der von v m + 1 , v m + 2 , … {\displaystyle v_{m+1},v_{m+2},\ldots } aufgespannte Untervektorraum ein invarianter Unterraum. Der Quotient von W λ {\displaystyle W_{\lambda }} nach diesem Unterraum gibt die endlich-dimensionale Darstellung von g = s l ( 2 , C ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )} mit höchstem Gewicht λ {\displaystyle \lambda } .

Zu jeder Darstellung V {\displaystyle V} von g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} , deren höchstes Gewicht λ {\displaystyle \lambda } ist, gibt es einen surjektiven Lie-Algebren-Homomorphismus W λ → V {\displaystyle W_{\lambda }\to V} .

• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3-319-13466-6
• Humphreys, J. (1980), Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer Verlag, ISBN 978-3-540-90052-8.