Transitive Menge

In der Mengenlehre nennt man eine Menge A {\displaystyle A} transitiv, falls

• aus x ∈ A {\displaystyle x\in A} und y ∈ x {\displaystyle y\in x} immer folgt, dass y ∈ A {\displaystyle y\in A} , in Zeichen:

∀ x , y : x ∈ A ∧ y ∈ x ⇒ y ∈ A {\displaystyle \forall x,y:\,x\in A\land y\in x\Rightarrow y\in A} ,

oder äquivalent falls

• jedes Element von A {\displaystyle A} , das eine Menge ist, eine Teilmenge von A {\displaystyle A} ist.

Auf ‚echte‘ (d. h. von der Leermenge verschiedene) Urelemente kommt es dabei nicht an.
Analog dazu nennt man eine Klasse A {\displaystyle A} transitiv, falls jedes Element von A {\displaystyle A} eine Teilmenge von A {\displaystyle A} ist.

• Eine Ordinalzahl nach der Definition von John von Neumann ist eine transitive Menge mit der Eigenschaft, dass jedes Element wieder transitiv ist.
• Ein Grothendieck-Universum ist per definitionem eine transitive Menge.
• Transitive Klassen werden als Modelle für die Mengenlehre selbst verwendet.

• Eine Menge A {\displaystyle A} ist genau dann transitiv, wenn ⋃ A ⊆ A {\displaystyle \bigcup A\subseteq A} , wobei ⋃ A = ⋃ x ∈ A x = { y | ( ∃ x ∈ A ) y ∈ x } = { y | y ∈ 2 A } {\displaystyle \bigcup A=\bigcup _{x\in A}x=\{y|(\exists x\in A)y\in x\}=\{y|y\in ^{2}A\}} die Vereinigung aller Elemente von A {\displaystyle A} ist.^[1]
• Falls A {\displaystyle A} transitiv ist, dann ist auch ⋃ A {\displaystyle \bigcup A} transitiv.
• Falls A {\displaystyle A} und B {\displaystyle B} transitive Mengen sind, dann ist auch A ∪ B ∪ { A , B } {\displaystyle A\cup B\cup \{A,B\}} transitiv.
• Allgemein, falls A {\displaystyle A} eine Klasse ist, deren Elemente alle transitive Mengen sind, dann ist A ∪ ⋃ A {\displaystyle A\cup \bigcup A} eine transitive Klasse.
• Eine Menge A {\displaystyle A} ist genau dann transitiv, wenn A {\displaystyle A} eine Teilmenge der Potenzmenge von A {\displaystyle A} ist.
• Die Potenzmenge einer transitiven Menge ist wieder transitiv. Diese Eigenschaft wird bei der Von-Neumann-Hierarchie verwendet, um einzusehen, dass alle Stufen dieser Hierarchie transitiv sind.

Sei gegeben eine Menge (oder Klasse) A {\displaystyle A} und eine Relation R {\displaystyle R} darauf. A {\displaystyle A} heißt R {\displaystyle R} -transitiv, wenn gilt:

∀ x , y : x ∈ A ∧ y R x ⇒ y ∈ A {\displaystyle \forall x,y:\,x\in A\land y\,R\,x\Rightarrow y\in A} .^[2]

Im Fall R = ∈ {\displaystyle R={\in }} ergibt sich die obige Definition als Spezialfall.

1. ↑ In diese Vereinigung gehen nur Elemente ein, die Mengen sind, also keine (‚echten‘) Urelemente.
2. ↑ Wolfram Pohlers: Mengenlehre (PDF), Universität Münster, Institut für mathematische Logik und Grundlagenforschung, Vorlesungsskript, SS 1994, Seite 31

• Transitive Relation
• Transitive Hülle (Menge)

• Thomas Jech: The Axiom of Choice. Dover Publications, 2008, ISBN 0-486-46624-8 (englisch, [originally published in 1973]).