Thomson-Problem

Beim Thomson-Problem sollen n Elektronen so auf der Oberfläche einer Einheitskugel verteilt werden, dass das gesamte elektrostatische Potential, das sich durch die Coulombkraft einstellt, sein Minimum annimmt. Der Physiker Joseph John Thomson formulierte dieses Problem 1904^[1], nachdem er sein Atommodell entwickelte.

Mathematisch ist es eines der Smale-Probleme.

Das elektrostatische Potential U ( N ) {\displaystyle U(N)} , das zwischen zwei Elektronen entsteht, kann mit dem coulombschen Gesetz beschrieben werden.

U i j ( N ) = k e e i e j r i j {\displaystyle U_{ij}(N)=k_{e}{e_{i}e_{j} \over r_{ij}}} .

Dabei sind e i {\displaystyle e_{i}} und e j {\displaystyle e_{j}} die Ladungen der Elektronen, k e {\displaystyle k_{e}} ist die Coulombkonstante (gegeben durch 1 4 π ε 0 {\displaystyle {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}} ; ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} ist die elektrische Feldkonstante) und r i j = | r i − r j | {\displaystyle r_{ij}=|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|} ist der Abstand der beiden Elektronen zueinander. Zur Vereinfachung des Problems können e i = e j = 1 {\displaystyle e_{i}=e_{j}=1} und k e = 1 {\displaystyle k_{e}=1} gesetzt werden.

Bei einer Konfiguration von N {\displaystyle N} Elektronen stellt sich dann das Potential

U ( N ) = ∑ i < j 1 r i j {\displaystyle U(N)=\sum _{i<j}{\frac {1}{r_{ij}}}} .

ein. Ziel ist es nun, diejenige Form zu finden, bei der dieses Gesamtpotential ein Minimum annimmt. Das Finden einer Lösung geschieht meist durch numerische Verfahren.

• N = 1 {\displaystyle N=1} : Für nur ein einziges Elektron ist die Lösung trivial, da sich, egal wo sich das Elektron auf der Kugeloberfläche befindet, immer dasselbe Potential einstellt.

• N = 2 {\displaystyle N=2} : Bei zwei Elektronen ist das Potentialminimum dann vorhanden, wenn sie sich diametral gegenüber befinden (z. B. Nord- und Südpol).

• N = 3 {\displaystyle N=3} : Bei drei Elektronen bildet die Konfiguration ein gleichseitiges Dreieck auf einem Großkreis der Kugel.^[2]

• N = 4 {\displaystyle N=4} : Die vier Elektronen bilden ein Tetraeder.

• N = 5 {\displaystyle N=5} : Für fünf Elektronen wurde 2010 ein computergestützter Beweis erbracht, wonach diese eine dreieckige Bipyramide bilden.^[3]

• N = 6 {\displaystyle N=6} : Die sechs Elektronen bilden ein Oktaeder.^[4]

• N = 12 {\displaystyle N=12} : Diese Konfiguration bildet ein regelmäßiges Ikosaeder.^[5]

Das Problem von Thomson spielt eine Rolle in anderen physikalischen Modellen wie zum Beispiel Elektronenblasen oder die Oberflächenbeschaffenheit von flüssigen Metalltropfen in Paul-Fallen.

• Carlos Beltrán: The State of the Art in Smale's 7th Problem. In: Felipe Cucker, Teresa Krick, Allan Pinkus, Agnes Szanto (Hrsg.): Foundations of Computational Mathematics. Budapest 2011 (= London Mathematical Society. Lecture Note Series. 403). Cambridge University Press, Cambridge u. a. 2013, ISBN 978-1-107-60407-0, S. 1–15.
• L. L. Whyte: Unique arrangements of points on a sphere. In: American Mathematical Monthly. Bd. 59, Nr. 9, 1952, S. 606–611, JSTOR:2306764.
• Edward B. Saff, Arno B. J. Kuijlaars: Distributing many points on a sphere. In: The Mathematical Intelligencer. Bd. 19, Nr. 1, 1997, S. 5–11, doi:10.1007/BF03024331

• Interaktives Java-Applet zum Thomson-Problem

1. ↑ Joseph J. Thomson: On the structure of the atom: an investigation of the stability and periods of oscillation of a number of corpuscles arranged at equal intervals around the circumference of a circle; with application of the results to the theory of atomic structure. In: The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. Series 6, Bd. 7, Nr. 39, 1904, ZDB-ID 5450-1, S. 237–265, doi:10.1080/14786440409463107.
2. ↑ Ludwig Föppl: Stabile Anordnungen von Elektronen im Atom. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Bd. 141, 1912, S. 251–302, (Digitalisat).
3. ↑ Richard Evan Schwartz: The 5 Electron Case of Thomson’s Problem. In: Mathematical Physics. 21. Januar 2010, arxiv:1001.3702. 
4. ↑ V. A. Yudin: The minimum of potential energy of a System of point charges. In: Discrete Mathematics and Applications. Band 3, Nr. 1, 2009, S. 75–82, doi:10.1515/dma.1993.3.1.75. 
5. ↑ Nikolay N. Andreev: An extremal property of the icosahedron. In: East Journal on Approximations. Bd. 2, Nr. 4, 1996, ISSN 1310-6236, S. 459–462, MR 97m:52022, Zbl 0877.51021.