Diskussion:Tensor

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Archiv

2005 bis 2012 ab 2013

Wie wird ein Archiv angelegt?

Die Einleitung besteht aus thematischer Einordnung, Begriffshistorie, Stellenwert, Oberbegriff, Beispiele - da steht einfach nicht, was es ist (auszeichnet) oder zumindest was es kann. Da die Definition natürlich zu komplex für die Einleitung ist, sollte wenigstens die Existenz des Konzepts "Tensor" durch den Zweck motiviert werden. Für die Didaktik wäre dieser Stelle ein "wozu" ohnehin geschickter als ein "was genau". Ich denke an etwas in der Richtung "Tensoren dienen dazu, Beziehungen zwischen geometrischen Objekten wie ... zu beschreiben." Ich vermisse auch das Wort "Transformationsverhalten" - es kommt recht spät. Man könnte es nutzen zu erklären, warum das Matrixbild unpräzise ist. --Blutfink 18:39, 3. Sep. 2011 (CEST)Beantworten

Auch der Satz "Auch heute noch ist die Tensoranalysis ein wichtiges Werkzeug in den physikalischen Disziplinen" so nicht so sonderlich toll, denn nach EoM ist die Tensoranalysis die Verallgemeinerung zur Vektoranalysis, was allerdings nirgendwo im Artikel gesagt wird. Möglicherweise wäre ein kurzer Artikel Tensoranalysis ganz sinnvoll? --Christian1985 (Diskussion) 20:30, 3. Sep. 2011 (CEST)Beantworten

Bis auf den ersten Satz "Ein Tensor ist eine mathematische Funktion, die eine bestimmte Anzahl von Vektoren auf einen Zahlenwert abbildet." finde ich die Einleitung ebenfalls wenig aussagekräftig. Was ist ein Tensor denn nun? --Gunnar (Diskussion) 14:18, 1. Mai 2020 (CEST)Beantworten

Die Einleitung/Definition im deutschen Artikel scheint schlichtweg falsch zu sein. Schau mal den englischen Artikel an. Da ergibt die Definition/Einleitung mehr Sinn und steht z.B. auch im Einlang mit der relative kurzen und einfachen Erklärung hier: https://entwickler.de/online/machine-learning/neuronale-netzwerke-pytorch-579898880.html. Ich bin in dem Thema leider nicht besonders tief drin und traue mich daher nicht am Artikel etwas zu verändern. --2A02:810A:163F:F8C4:9CC0:286D:A5E3:C00E 10:59, 6. Jul. 2020 (CEST)Beantworten

Hallo, nein, die Einleitung ist schlichtweg leider nicht falsch. Da das Wort "Tensor" im Falle von NNs genutzt, wird ist eher unglücklich. Was Sinn macht und nicht, ist auch eine Standpunktfrage. Beide Artikel, Englisch und Deutsch sind sehr lang für eine Enzyklopädie. Gruß --17387349L8764 (Diskussion) 16:00, 24. Mär. 2022 (CET)Beantworten

Hi, der Satz "Ein Tensor..." steht so nicht mehr im Artikel und das ist eher gut so. Nimm zum Verständnis die physikalische Interpretation, z. B. Vierervektor. Gruß --17387349L8764 (Diskussion) 15:53, 24. Mär. 2022 (CET)Beantworten

Jetzt fängt die Einleitung an mit: "Ein Tensor ist eine multilineare Abbildung, die eine bestimmte Anzahl von Vektoren auf einen Vektor abbildet und eine universelle Eigenschaft erfüllt." Ok, aber wäre es nicht nett, wenn man diese universelle Eigenschaft mit einem Halbsatz beschreibt - oder kann es jede beliebige Eigenschaft sein? --Gunnar (Diskussion) 09:38, 22. Mai 2025 (CEST)Beantworten

Als erstes ist mir aufgefallen, dass der Artikel keine eigene Definition des Begriffes Tensor enthält. Im Definitionsabschnitt wird lediglich der (r,s)-Tensorraum definiert. Es müsste einen eigenen Abschnitt "Definition Tensor" geben, wo man schnell nachschlagen könnte, was ein Tensor ist.

Wieso wird eigentlich die Definition von Tensorräumen auf (r,s)-Tensorraum verengt? Wenn ich es recht verstehe, dann ist der R-S-Tensor eine spezielle Multilinearform: : T s r ( E , K ) = L r + s ( E ∗ , … , E ∗ , E , … , E ; K ) {\displaystyle T_{s}^{r}(E,K)=L^{r+s}(E^{*},\ldots ,E^{*},E,\ldots ,E;K)} . Wieso definiert man nicht den Tensor schlicht als eine bestimmte Multilinearform und erklärt danach, dass die Menge der Multilinearformen Ihrerseits einen Vektorraum bilden, den man Tensorprodukt nennt? So wäre es für mich verständlich. Was ist denn die allgemeine Definition für Tensor, oder ist der R-S-Tensor die allgemeine Definition? R-S-Tensor scheint doch eher eine bestimmte Art von Tensor darzustellen.--Pilava (Diskussion) 14:07, 14. Mär. 2013 (CET)Beantworten

Ja es stimmt, der Artikel liefert keine keine allgemeine Definition. Der r-s-Tensor ist ein Spezial des allgemeinen Tensorbegriffs. Allerdings ist es ein wichtiger Spezialfall, der einige wichtige Tensoren aus der Physik umfasst. Wie wäres es, wenn wir zusammen den Artikel weiterentwickeln? Da das Thema des Tensorkalküls für Einsteiger doch sehr schwer ist, schlage ich vor, dass der Artikel erst die Definition des r-s-Tensors und Beipsiele liefert. Dannach dann eine allgemeine Definition liefert. Beim Umbau muss allerdings imemr darauf geacht werden, dass nicht zu viele Redundanzen zum Artikel Tensorprodukt entstehen. Dieser befasst sich ja nämlich mit der hier fehlenden allgemeinen Definition.--Christian1985 (Disk) 14:21, 14. Mär. 2013 (CET)Beantworten

Ich helfe gerne so weit ich kann. Ich habe jetzt allerdings keine Literatur, die eine allgemeine Definition des Begriffes Tensor enthält. Dann habe ich mir den Artikel Tensorprodukt genauer angeschaut. Der enthält auch eine Definition von Tensor. Dort werden Tensoren als Elemente eines Tensorproduktes definiert, wobei zwischen elementaren Tensoren und allgemeinen Tensoren unterschieden wird. Eine gewisse Überschneidung zwischen beiden Artikeln scheint mir unumgänglich zu sein. Es ist aber nicht nur die Einschränkung auf r-s-Vektorräume fallengelassen worden, sondern - sofern ich es richtig verstehe - die Einschränkung auf Vektorräume an sich fällt weg. Statt eines Vektorraums über einem Körper K werden Rechts- und Links-Moduln über einem Ring R betrachtet. Diese Definition ist mir bislang gänzlich unbekannt, deswegen fühle ich mich da noch etwas unsicher. Ich kann mehrere Verallgemeinerungen erkennen. Zum einen die Verallgemeinerung von Bilinearformen zu Multilinearformen; die Verallgemeinerung von Bilinearformen zu bilinearen Abbildungen; und die Verallgemeinerung von Vektorräumen zu Moduln und von Körper zu Ring. Man müsste sich also zunächst überlegen, wie man da am besten vorgeht. --Pilava (Diskussion) 16:18, 14. Mär. 2013 (CET)Beantworten

Übrigens enthält der Artikel "Multilineare Abbildung" auch einen kurzen Abschnitt über Tensor und Tensorprodukt. Gibt es überhaupt einen Unterschied zwischen multilinearer Abbildungen und Tensoren oder ist der Tensor nicht mehr und nicht weniger als eine multilineare Abbildung? Tut mir leid, wenn ich so doof frage, aber das ist der Eindruck, den ich nach der Lektüre all der Artikel gewinne! --Pilava (Diskussion) 17:01, 14. Mär. 2013 (CET)Beantworten

Zumindest für endlichdimensionale Vektorräume sind die Konstruktionen äquivalent. Wobei bei Tensor eher der Aufmerksamkeitsschwerpunkt auf den Vektoreigenschaften liegt, bei Multilinearform eher auf den funktionalen Eigenschaften.--LutzL (Diskussion) 20:41, 14. Mär. 2013 (CET)Beantworten

Wie wärs, wenn wir uns im nächsten Schritt erstmal auf Tensorprodukte endlichdimensionaler Vektorräume beschränkten?--Christian1985 (Disk) 10:23, 15. Mär. 2013 (CET)Beantworten

Hört sich vernünfig an. Nach der allgemeinen Definition möchte ich vorschlagen die einfachsten Beispiele von Tensoren zu diskutieren, nämlich Tensor 0-ter, 1-ter und 2-ter Stufe. Damit greifen wir die Einleitung des Artikels auf. Danach könnte man den Zusammenhang zu der Index-Notation abstrakt herstellen und wiederum anhand der drei einfachen Beispiel erläutern. Schließlich könnte man erläutern, welche indizierten Größen Tensoren sind und welche nicht. Hier versteht dann der Leser, weshalb die Identifizierung jeglicher indizierter Größe mit einem Tensor zu kurz greift. So in etwa würde ich mir das vorstellen. Wir müssen davon ausgehen, dass viele Leser mit einem gewissen Vorverständnis den Artikel lesen. Wir müssen sie also dort abholen, damit sie den Zusammenhang zwischen der abstrakten Definition und den Ihnen zumeist bekannten Beispielen herstellen können. --Pilava (Diskussion) 16:47, 15. Mär. 2013 (CET)Beantworten

Ich habe mir den englischen Wikipedia-Artikel zum Tensor angeschaut. Dort wird der Tensor auch als Multineare Abbildung definiert. Außerdem wird der Zusammenhang zwischen den Indexgrößen des Tensors und der Abbildung kurz aber prägnant erläutert. Ich möchte daher vorschlagen, diesen Abschnitt zu übernehmen:

Ein Nachteil der Definition eines Tensoer als mutlidimensionale Matrix ist, dass aus der Definition nicht ersichtlich ist, dass das definierte Obekt unabhängig von der Basis ist, wie man es auch von einem geometrischen Objekt erwartet. Obwohl es möglich ist zu zeigen, dass die Transformationsgesetze die Basisunabhängigkeit garantieren, wird eine basisunabhängige Definition häufig vorgezogen. Eine Vorgehensweise ist es, den Tensor als multilineare Abbildung zu definieren. Danach ist ein (n,m) tensor T als Abbildung definiert,

T : V ∗ × ⋯ × V ∗ ⏟ n  copies × V × ⋯ × V ⏟ m  copies → R , {\displaystyle T:\underbrace {V^{*}\times \dots \times V^{*}} _{n{\text{ copies}}}\times \underbrace {V\times \dots \times V} _{m{\text{ copies}}}\rightarrow \mathbf {R} ,}

wobei V ein Vektorraum and V* de entsprechende duale Raum der Kovektoren ist.

Durch Anwendung der Multilinearen Abbildung T vom Typ (n,m) auf eine Basis {e_j} für V und eine kanonische Kobasis {εⁱ} für V*,

T j 1 … j m i 1 … i n ≡ T ( ε i 1 , … , ε i n , e j 1 , … , e j m ) , {\displaystyle T_{j_{1}\dots j_{m}}^{i_{1}\dots i_{n}}\equiv T(\mathbf {\varepsilon } ^{i_{1}},\ldots ,\mathbf {\varepsilon } ^{i_{n}},\mathbf {e} _{j_{1}},\ldots ,\mathbf {e} _{j_{m}}),} erhält man eine n+m dimensionale Matrix von Komponenten. Die Wahl einer anderen Basis führt zu anderen Komponenten. Weil aber T linear in all seinen Argumenten ist, erfüllen die Komponenten das Basistransformationsgesetz.--Ginkontar (Diskussion) 21:15, 23. Mär. 2013 (CET)Beantworten

Letztes Beispiel: „Ist die Metrik eine lineare Abbildung in beiden Argumenten, so handelt es sich bei der Metrik g um einen Tensor...“ Eine Metrik ist, außer sie ist konstant null, nie bilinear. Sonst hätte man ja d(u,u) > 0 => -d(u,u) = d(-u, u) < 0, aber d(u,v) >= für alle u, v. Ich schlage vor, das Beispiel zu löschen. Bei genauerer Betrachtung, sollte man nur Metrik gegen Skalarprodukt ersetzen, bzw. darauf hinweisen, dass d nicht die Metrik aus dem Artikel „Metrischer Raum“ ist, der verlinkt wird. -- K6 (Diskussion) 16:53, 5. Dez. 2013 (CET)Beantworten

Das scheint in vielerlei Hinsicht falsch zu sein. Metrik wird in diesem Zusammenhang ausschließlich in der Differentialgeometrie für die (pseudo-)Riemannsche Metrik verwendet, d.h., das Skalarprodukt auf dem Tangentialbündel. Der Grenzfall ist natürlich, wenn die Mannigfaltigkeit selbst ein Vektorraum ist, so dass die Grenzen zwischen Ortsraum und Tangentialraum verschwimmen. Daher dann auch der Gebrauch in der Physik in SRT. Für einen einzelnen "nackten" Vektorraum wäre der Verweis auf Hilbertraum bzw. euklidischer Vektorraum angebracht. Aber ich möchte die Meinung von Physikern über deren Bewertung des Sprachgebrauches abwarten.--LutzL (Diskussion) 18:44, 5. Dez. 2013 (CET)Beantworten

Sehe ich ähnlich. Im Zusammenhang mit der Speziellen Relativitätstheorie werden nicht-ausgeartete symmetrische Linearformen als Metrischer Tensor bezeichnet. In der Differentialgeometrie heißen Skalarprodukte, die auf den Tangentialräumen einer Mannigfaltigkeit definiert sind und vom Punkt in differenzierbare Weise abhängen Riemannsche Metrik, bzw. "Pseudo-Riemannsche Metrik" oder Semiriemannsche Metrik wenn diese nicht positiv definit, sondern nur nicht-ausgeartet sind. "Metrik" heißen diese, weil man damit die Länge von Vektoren und damit auch die Länge von Kurven (und letztlich auch Abstände) messen lassen. Der Begriff "Metrik" in metrischen Räumen ist ein völlig anderes mathematisches Objekt. Der Link von "metrischer Vektorraum" auf metrischer Raum ist auf jeden Fall falsch. --Digamma (Diskussion) 20:53, 5. Dez. 2013 (CET)Beantworten

Summasummarum finde ich nach wie vor, dass in dem Artikel eine verständliche Definition eines Tensors fehlt und ein didaktischer Nachholbedarf bei der Artikelkonzeption festzustellen ist. --Gunnar (Diskussion) 14:24, 1. Mai 2020 (CEST)Beantworten

Meines Erachtens liegt das Wesen des Begriffs Tensor (und Tensorprodukt) in der universellen Eigenschaft. Das hat alles zunächst gar nichts mit den in diesem Artikel in den Vordergrund stehenden ( r , s ) {\displaystyle (r,s)} -Tensoren der Stufe r + s {\displaystyle r+s} zu tun: Diese sind ein Sonderfall. Diese Schwäche wird ja daran erkennbar, dass in der Definition Dinge (Isomorphien) behauptet wurden, die ohne die universelle Eigenschaft gar nicht einsichtig sind. (Ich habe daher versucht, die fehlenden Argumentationslinien zu benennen.) Deswegen verstehe ich den hier geäußerte Kritik an diesem Artikel. Allerdings erhebt sich dann die Frage, wie sich dieser Artikel genau gegen den Artikel über das Tensorprodukt abgrenzen ließe und ob eine Abgrenzung überhaupt sinnvoll ist. Wie wurde das bei „Vektor“ und „Vektorraum“ gehandhabt? Könnte das eine Hilfe sein? --Filomusa (Diskussion) 20:13, 30. Nov. 2020 (CET)Beantworten

In der Einleitung wird schön klassifiziert, welche Tensor-Stufen es gibt, allerdings verstehe ich nicht alle Definitionen.

• Spricht man bei einem Tensor wirklich von einer "Stufe" oder von einer "Dimension"?

• Der Satz "Eine Matrix ist ein Tensor zweiter Stufe" scheint mir doch recht allgemein. Kann ich Matrix dann mit einer beliebigen Matrix ersetzen (von 2x2 bis nxn) und bleibe dabei immer in der zweiten Stufe? Wenn ja wie komme ich dann in die n-te Stufe?

• "Das Levi-Civita-Symbol ist ein Symbol das in der Physik bei der Vektor- und Tensorrechnung nützlich ist." So steht es im Artikel zu dem besagten Symbol. Damit steht das für mich im Widerspruch zu der Aussage "Das Levi-Civita-Symbol" ist ein Beispiel für einen Tensor n-ter Stufe. Wenn die Aussage der Bildunterschrift stimmt, wird ein Tensor n-ter Stufe zunächst einmal durch eine nxn-Matrix definiert, die wiederum mit dem Levi-Civita-Symbol gekennzeichnet wird.

Über einige Antworten wäre ich sehr dankbar!

--Tfr.didi (Diskussion) 10:05, 24. Jun. 2013 (CEST)Beantworten

Ja man spricht bei Tensoren von Stufen und dabei handelt es sich um ein ganz anderes Konzept als bei dem der Dimension von Matrizen. Egal wie viele Spalten und Reihen deine Matrix hat, sie ist ein Tensor zweiter Stufe. Hier kommt es viel mehr darauf an, dass Du deine Matrix als Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung oder als Darstellungsmatrix einer bilinearen Abbildung auffasst.

Ein Tensor zweiter Stufe ist nämlich eine lineare Abbildung, in die Du einen Vektor reinsteckst und dann einen Vektor zurückbekommst, oder es ist eine (bi)lineare Abbildung, in die Du zwei Vektoren reinsteckst und ein Element des Körpers zurückbekommst. Entsprechend ist (nicht ganz präzise) ein Tensor dritter Stufe eine lineare Abbildung, die einem Vektor eine Bilinearform, zwei Vektoren einen dritten Vektor oder drei Vektoren eine Element des Körpers zuordnet. Dies wird versuchst im Abschnitt Definition und dort insbesondere im Abschnitt zu den Beispielen zu erklären und zu veranschaulichen.

Das Levi-Civita-Symbol ist ein Tensor n. Stufe. In dem Bild hier im Artikel ist es für den Spezialfall n=3 angegeben und wird dort als 3x3x3-Matrix gezeigt. Mittels der Determinante kann man das Levi-Civita-Symbol darstellen durch

ϵ i 1 , i 2 , i 3 = det ( e i 1 , e i 2 , e i 3 ) {\displaystyle \epsilon _{i_{1},i_{2},i_{3}}=\det(e_{i_{1}},e_{i_{2}},e_{i_{3}})} .

Das heißt das Levi-Civita-Symbol ist in diesem Fall eine lineare Abbildung, die drei Vektoren ein Element des Körpers zuordnet und damit ein Tensor dritter Stufe.--Christian1985 (Disk) 10:34, 24. Jun. 2013 (CEST)Beantworten

--Christian1985 (Disk) 10:34, 24. Jun. 2013 (CEST)Beantworten

Ist es nicht so, dass beispielsweise ein Vektor lediglich Repräsentant eines Tensors 1. Stufe ist, jedoch erst wenn es Bezug auf eine Basis nimmt? Ansonsten kann man im Falle eines Vektors nicht von einem Tensor sprechen.

Für eine Matrix A müsste demnach gelten: Bezugnehmend z.B. auf die Basis {(0,1),(1,0)} repräsentiert die Matrix A einen Tensor 2. Stufe.

--Varga_E (Diskussion) 23:06, 5. Dez. 2013 (CEST)Beantworten

Das würde gelten, wenn man unter einem Vektor einen Spalten- oder Zeilenvektor versteht, also ein n-Tupel von reellen Zahlen (bzw. eine einspaltige oder einzeilige Matrix). Diese Bezeichnung ist durchaus verbreitet, vor allem dann, wenn von vornherein der geometrische oder physikalische Raum mit dem R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} bzw. einem R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} identifiziert wird, oder wenn die Vektoren gar keine geometrische Bedeutung besitzen. Üblicherweise versteht man unter einem Vektor aber selbst schon ein geometrisches Objekt, bzw. abstrakter einfach ein Element eines Vektorraums, ohne jeglichen Bezug auf Koordinaten oder eine Basis. So gesehen ist ein Vektor dann ein Tensor 1. Stufe. --Digamma (Diskussion) 12:48, 6. Dez. 2013 (CET)Beantworten

Die Frage ist schon berechtigt, schließlich ist ein Tensorprodukt von Vektorräumen wieder selbst ein Vektorraum. "Stufe" ist also nur sinnvoll in Bezug auf die Struktur des Tensorprodukts, die Anzahl der eingehenden Faktoren. Das hat erstmal primär nichts mit Basiswahl zu tun, aber man kann "Stufe" auch mit der Anzahl der Indizes in der Koordinatendarstellung identifizieren.--LutzL (Diskussion) 10:47, 7. Dez. 2013 (CET)Beantworten

Matrizen und Levi-Civita-Symbol sind keine Tensoren. Ich denke, die Einleitung und das Beispiel zum "Epsilontensor" sollten überarbeitet werden. Wenn niemand widerspricht, werde ich mich demnächst darum kümmern. --Theowoll (Diskussion) 18:51, 24. Apr. 2014 (CEST)Beantworten

Warum sind Matrizen und das Levi-Civita-Symbol keine Tensoren?--Christian1985 (Disk) 19:25, 24. Apr. 2014 (CEST)Beantworten

Wie in dieser Diskussion schon angedeutet und im Abschnitt Ko- und Kontravarianz ausgeführt, beschreiben Matrizen und Levi-Civita-Symbol lediglich Koordinaten von Tensoren bezüglich einer Basis. Man muss schon ein gewisses Transformationsverhalten bei Basiswechsel fordern, damit sich z.B. eine Matrix als Repräsentant eines Tensors qualifiziert. Das sollte bereits in der Einleitung deutlich gemacht werden. Das Levi-Civita-Symbol stellt die Koordinaten des Tensors det {\displaystyle \det } nur bezüglich der positiv orientierten Orthonormalsysteme dar. Das sollte auch klar gemacht werden. --Theowoll (Diskussion) 20:06, 24. Apr. 2014 (CEST)Beantworten

Okey das stimmt. Gleiches gilt aber auch für den Spaltenvektor. Aber überfordert diese Tatsache den Leser nicht in der Einleitung? Vielleicht hast Du ja auch eine Idee wie das recht leicht verdaulich in die Einleitung aufzunehmen ist. Dann nur zu! :) --Christian1985 (Disk) 20:24, 24. Apr. 2014 (CEST)Beantworten

Unter Arten von Tensoren findet sich der Satz "Ausgehend von einem endlichdimensionalen Vektorraum bezeichnet man Skalare als Tensoren vom Typ (0,0), Spaltenvektoren als Tensoren vom Typ (1,0) und Kovektoren (bzw. Zeilenvektoren) als Tensoren vom Typ (0,1)." Das scheint sich auf das Schema (r,s) zu beziehen, d.h. die Klammer hat immer nur zwei Elemente. Im Gegensatz zum Absatz Definition, der sich an Leser mit mathematischer Vorbildung richtet, wäre hier noch eine Erläuterung in Prosa im Folgesatz hilfreich, z.B. wie "Dabei bezeichnet das erste Element der Klammer die Anzahl von ?! und das zweite Element die Anzahl von !?. --Gunnar (Diskussion) 09:55, 22. Mai 2025 (CEST)Beantworten

Die Formel für die Determinante scheint falsch zu sein. Gegenbeispiel: Die 2x2 Einheitsmatrx liefert I1=I2=I4=2, womit sich für die Determinante 0 anstatt 1 ergäbe. Außerdem ist mir nicht klar, wieso es nur sechs Invarianten geben sollte. Wenn das richtig ist wäre eine Quellenangabe sinnvoll. --78.53.210.105 02:57, 20. Dez. 2013 (CET)Beantworten

Der ganze Abschnitt ist Bogus, allgemein falsch und unklar, was er im Definitions-/Motivationsbereich zu suchen hat. Es sollte wenigstens erwähnt werden, dass das nur für Tensoren über einem dreidimensionalen Vektorraum richtig ist. Die Determinantenformel gehört zum Algorithmus von Faddejew-Leverrier.--LutzL (Diskussion) 09:23, 20. Dez. 2013 (CET)Beantworten

@LutzL: Zustimmung, das gilt so nur für 3x3-Matrizen. Wobei sich solch eine det-Formel auch für 2x2-Matrizen konstruieren lässt.

Der Abschnitt steht dort, weil ich keinen besseren Platz gefunden habe. It's a wiki. Bitte Verbessern. Wobei aber bedacht werden sollte, dass das Lemma "Tensor" nicht einzig allein die Spielwiese von Mathematikern sein sollte. Der Abschnitt richtet sich insbesondere an Ingenieure und Physiker die tatsächlich Tensoren mit Zahlen füllen und was ausrechnen müssen. Und nicht nur Buchstaben rumschubsen ;)

Quellen sind 2 angegeben. Wobei das Analysis I Buch leider bei Scribd nicht mehr einsehbar ist, so dass man wohl in die Bib gehen muss...--Svebert (Diskussion) 10:11, 20. Dez. 2013 (CET)Beantworten

Die Spuren von Potenzen, die Potenzsummen der Eigenwerte, sind Invarianten von linearen Abbildungen, nicht von allgemeinen Tensoren zweiter Stufe. Für das Transponieren braucht es ein Skalarprodukt, auch wenn allgemein das triviale euklidische Skalarprodukt implizit gemeint und verwendet wird. Also wieder keine allgemeine Invariante eines Tensors zweiter Stufe, gilt nur für spezielle Tensoren, die gerade die Darstellungen linearer Abbildungen sind, und braucht einen zusätzlichen Tensor als Referenz, den Metriktensor.--LutzL (Diskussion) 17:46, 20. Dez. 2013 (CET)Beantworten

Mit anderen Worten: Die Invarianten sind nur invariant unter Koordinatentransformationen, die die Metrik invariant lassen. Das gilt auch für die angegebene Invariante eines Tensors 1. Stufe. --Digamma (Diskussion) 20:16, 20. Dez. 2013 (CET)Beantworten

Während ein Tensor zweiter Stufe im Allgemeinen 6 unabhängige Invarianten hat, so ist laut 'H.Schade, K.Neemann - Tensoranalysis' die Zahl der irreduziblen Invarianten gerade 7. Zusätzlich wird hier:

I 7 = A i j A j k A l k A l m A n m A i n = S p u r ( A 2 A T A ( A T ) 2 ) {\displaystyle I_{7}=A_{ij}A_{jk}A_{lk}A_{lm}A_{nm}A_{in}=\mathrm {Spur} \left(A^{2}A^{T}A\left(A^{T}\right)^{2}\right)}

aufgeührt. Gibt es Quellen, die etwas anderes wiedergeben? --134.91.161.105 11:20, 21. Mär. 2014 (CET)Beantworten

Die Formel kann etwas geordneter als

S p u r ( ( ( A 2 ) T ( A 2 ) ) ( A T A ) ) {\displaystyle \mathrm {Spur} \left(\left((A^{2})^{T}(A^{2})\right)(A^{T}A)\right)}

angegeben werden. Und wieder gilt nur Invarianz unter orthogonalen Abbildungen. Für Matrizen, die größer als 3x3 sind, gibt es weitere Invarianten des angegebenen Musters, für eine nxn-Matrix sind z.B. die Spuren der Potenzen bis Grad n-1 unabhängig.--LutzL (Diskussion) 11:43, 21. Mär. 2014 (CET)Beantworten

Irreduzibel ist nicht gleich unabhängig (falls es da nicht doch andere Meinungen gibt). Irreduzibele Invarianten bezieht sich auf polynomische Invarianten, diese lassen sich als Polynome von Tensorkoordinaten in einem beliebigen kartesischen Koordinatensystem darstellen. Wenn eine polynomische Invariante als Polynom anderer polynomischer Invarianten darstellbar ist, nennt man sie reduzibel bezüglich dieser Invarianten, andernfalls irreduzibel. Defakto stimmt der Text hier nicht mit der 3. Auflage überein. Vergleiche: Schade & Neumann, 3. Auflage: S. 280. Ansosten habe ich noch in die 1. Auflage geschaut, da werden tatsächlich nur 6 Invarianten als Integritätsbasis aufgeführt. --77.181.2.181 19:20, 21. Mär. 2014 (CET)Beantworten

Ist die Definition des symmetrischen Anteils eines Tensors nicht inkonsistent definiert? Denn für den symmetrischen Anteil wird in diesem Kapitel auch das Symbol ⊗ {\displaystyle \otimes } verwendet. Vielleicht sollte man stattdessen wenigstens ⊗ s {\displaystyle \otimes _{s}} schreiben? Leider kenne ich mich in den Tensorschreibweisen nicht so aus. --Wotan.Odin (Diskussion) (13:39, 31. Mär. 2014 (CEST), Datum/Uhrzeit nachträglich eingefügt, siehe Hilfe:Signatur)Beantworten

Der englische Artikel en:Symmetric Tensor verwendet ⊙ {\displaystyle \odot } . Ich weiß allerdings auch nicht wie verbreitet das ist, bilde mir aber ein, dass ich das schon mal gesehen habe. -- HilberTraum (Diskussion) 14:08, 31. Mär. 2014 (CEST)Beantworten

Es erscheint mir so, als ob das symmetrische Tensorprodukt nur einmal im Lemma benutzt wird und dort auch nur, um es zu definieren. Dort eine andere Schreibweise als ⊗ {\displaystyle \otimes } zu nutzen, erscheint mir sehr sinnvoll. Ich wäre mit beiden Schreibweisen glücklich. Aus Konsistenzgründen würde ich aber auch für das Symbol ⊙ {\displaystyle \odot } des englischen Lemmas plädieren. Ich habe es einmal entsprechend geändert. --V4len (Diskussion) 14:19, 31. Mär. 2014 (CEST)Beantworten

Falls für die Schreibweise noch ein Einzelnachweis benötigt wird: Herbert Federer: Geometric Measure Theory. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg/New York 1996, ISBN 3-540-60656-4, S. 41. Der Raum der symmetrischen Tensoren wird dort allerdings als Quotient des Tensorraums definiert. Ist das äquivalent? --Digamma (Diskussion) 18:58, 31. Mär. 2014 (CEST)Beantworten

Ich habe das Buch jetzt nicht vorliegen, aber intuitiv sollte gelten X ⊙ Y = ( X ⊗ Y ) / L {\displaystyle X\odot Y=(X\otimes Y)/L} , wobei L {\displaystyle L} die lineare Hülle von Vektoren der Form a ⊗ b − b ⊗ a {\displaystyle a\otimes b-b\otimes a} ist. Ist das in etwa die Definition bei Federer? --V4len (Diskussion) 19:43, 31. Mär. 2014 (CEST)Beantworten

In etwa. Er arbeitet aber mit der gesamten Tensoralgebra und betrachtet das erzeugte Ideal. Die äußere Algebra definiert er ganz analog. Frage: Muss nicht X = Y gelten, damit man das symmetrische Produkt definieren kann? --Digamma (Diskussion) 19:54, 31. Mär. 2014 (CEST)Beantworten

Ja, du hast Recht. X = Y {\displaystyle X=Y} ist notwendig, sonst würde a ⊗ b − b ⊗ a {\displaystyle a\otimes b-b\otimes a} auch keinen Sinn machen. Danke fürs Nachsehen. Ich denke, dass die Notation somit geklärt ist.--V4len (Diskussion) 20:05, 31. Mär. 2014 (CEST)Beantworten

Im Abschnitt (r,s)-Tensorraum setzt man für die Vektorräume E i {\displaystyle E_{i}} einen festen Vektorraum E und dessen Dualraum ein, bevor man die Elemente des Tensorprodukts als Tensoren eines bestimmten Typs bezeichnet. In einem Beispiel dagegen zählen auch Elemente von E ∗ ⊗ F {\displaystyle E^{*}\otimes F} als (1,1)-Tensor. Auch im Abschnitt Tensor als Element des Tensorproduktes sind Tensoren Elemente aus einem allgemeinen Tensorprodukt. Die Einschränkung auf einen einzigen Vektorraum ist auch inkompatibel mit dem Beispiel zum Spannungstensor aus der Einleitung: Flächenvektor und Kraftvektor sind nicht aus demselben Vektorraum, da man sie nicht addieren kann. Bei der Betrachtung dieses Beispiels fällt außerdem auf, dass man Skalare als Elemente beliebiger eindimensionaler Vektorräume zulassen muss, z.B. Arbeit als physikalische Größe lebt in einem eindimensionalen R {\displaystyle \mathbb {R} } -Vektorraum, nicht im Grundkörper R {\displaystyle \mathbb {R} } . Vorschlag: Wir schreiben in der Einleitung "Ausgehend von endlichdimensionalen Vektorräumen über einem gemeinsamen Grundkörper bezeichnet man Elemente aus eindimensionalen Vektorräumen als Skalare oder Tensoren vom Typ (0,0), ..." Wenn es tatsächlich keinen guten Grund für die Einschränkung auf einen einzigen Vektorraum gibt, dann sollte der Abschnitt (r,s)-Tensorraum entsprechend ergänzt werden. --Theowoll (Diskussion) 23:04, 25. Apr. 2014 (CEST)Beantworten

Die Vektorräume, die zu verschiedenen vektoriellen Größen gehören, sind nicht unabhängig voneinander. Ich kann zwar einen Kraftvektor und einen Geschwindigkeitsvektor nicht addieren, aber ich kann davon sprechen, dass sie dieselbe Richtung haben (kollinear sind). Die Richtungen der Vektoren sind ja immer Richtungen im zu Grunde liegenden physikalischen Raum. In gewisser Weise kann man sagen, dass es sich jeweils um Tensorprodukte aus immer demselben dreidimensionalen geometrischen Vektorraum (dessen Vektoren dimensionslose Größen sind) und einem eindimensionalen Vektorraum der entsprechenden Größenart handelt. Der zu Grunde liegende geometrische Vektorraum ist z.B. für Geschwindigkeit und Beschleunigung derselbe.

Wenn es nicht so wäre, dann könnte man gar nicht zwischen Vektoren und Kovektoren unterscheiden, wenn es um ganz verschiedene Vektorräume geht, das heißt, die Unterscheidung zwischen (1,1)-, (2,0)- und (0,2) Tensoren ergäbe keinen Sinn, sondern man müsste jedesmal sagen: Tensor aus E ⊗ F {\displaystyle E\otimes F} , usw. Konkreter: Wenn ich setze G := E ∗ {\displaystyle G:=E^{*}} , dann erhalte ich G ∗ = E {\displaystyle G*=E} und E ∗ ⊗ F = G ⊗ F {\displaystyle E^{*}\otimes F=G\otimes F} . Aus dem (1,1)-Tensor wird so nur durch Umbenennen ein (2,0)-Tensor.

Formal wird das aber zu abstrakt, gerade auch für die Zwecke der Physik. Deshalb sollte man die physikalische Größenart draußen lassen, bzw. nicht beachten. Geschwindigkeit und Beschleunigung sind dann einfach Elemente des geometrischen Vektorraums. Eine wichtige Anwendung finden Tensoren in der Differentialgeometrie, und da gibt es an jedem Punkt des Raums nur einen Vektorraum, den Tangentialraum der Mannigfaltigkeit, und dazu dessen Dualraum, den Kotangentialraum.

Wenn man allgemeiner von Tensorprodukten beliebiger Vektorräume spricht, dann ist das zunächst nur Algebra und hat mit Physik recht wenig zu tun. --Digamma (Diskussion) 23:55, 25. Apr. 2014 (CEST)Beantworten

Findet man diese Geometrische-Vektorraum-Beschreibung irgendwo in der Literatur? (Ich denke, es ist eher üblich, als Ausgangsvektorraum den vertrauten Raum der räumlichen Translationen zu nehmen. Die Räume anderer Vektorgrößen können dann bis auf eine Einheit mit diesem Raum identifiziert werden.) In der aktuellen Bearbeitung habe ich den Begriff "Grundkörper" in der Einleitung weggelassen, weil in der Physik Skalare wie z.B. die Energie eine Maßeinheit haben. --Theowoll (Diskussion) 21:40, 27. Apr. 2014 (CEST)Beantworten

Das ist genau das, was ich mit "geometrischen Vektoren" gemeint habe. Das entspricht dem Tangentialraum in der Differentialgeometrie. --Digamma (Diskussion) 22:11, 27. Apr. 2014 (CEST)Beantworten

Bei dir war der geometrische Vektorraumraum dimensionslos. Ich wollte darauf hinweisen, dass es wohl üblicher ist auf diese Abstraktion zu verzichten und mit dem Raum der räumlichen Translationen zu arbeiten, dessen Vektoren die Maßeinheit Länge haben. Ich habe nach Literatur zu deiner Version gefragt, weil eine Bemerkung zu den Maßeinheiten eine interessante Ergänzung im Artikel sein könnte. --Theowoll (Diskussion) 23:29, 29. Apr. 2014 (CEST)Beantworten

Ich bin mir da nicht so sicher. Sind Einheitsvektoren nicht dimensionslos? Stecken nicht üblicherweise die Maßeinheiten in den Koeffizienten der Vektoren? Ich bilde mir ein, hier etwas in diese Richtung gelesen zu haben. Vom Standpunkt der Differentialgeometrie haben Tangentialvektoren natürlich die Dimension einer Länge (abgesehen davon, dass man solche Dimensionen in der Regel nicht betrachtet), aber ich denke für die Physik ist das eher unpraktisch, wenn man ganz andere vektorielle Größen, wie z.B. Kraft oder Impuls betrachtet. --Digamma (Diskussion) 23:53, 29. Apr. 2014 (CEST)Beantworten

Folgt man dem Artikel, dann sind Koordinaten reelle Zahlen. Bei praktischen Computerberechnungen in der Physik nimmt man normalerweise auch Zahlen ohne Einheiten. (Die Einheit werden dazu fixiert.) Diese Vorgehensweise ist ganz im Sinne der linearen Algebra, wie man sie in der Mathematik lehrt. Für normierte Basisvektoren und einheitenbehaftete Koordinaten braucht man auf den Vektorräumen zusätzlich eine Norm, von der im Artikel keine Rede ist. (Der metrische Tensor kommt nur als Beispiel für einen zweistufigen Tensor vor.) Wenn man das physikalische Beispiel aus der Einleitung erläutern wollte, dann wäre es vielleicht am einfachsten, wenn man die entsprechenden Beziehungen σ ( A ) = F {\displaystyle \sigma (A)=F} bzw. σ ( A , r ) = W {\displaystyle \sigma (A,r)=W} als Gleichungen zwischen dimensionsbehafteten physikalischen Größen ließt und darauf hinweist, dass die Definition für Tensoren auch funktioniert, wenn man die beteiligten Vektorräume miteinander identifizieren kann und als Menge von Skalaren auch eindimensionale Vektorräume zulässt. --Theowoll (Diskussion) 18:40, 12. Mai 2014 (CEST)Beantworten

Ich verstehe den Isomorphiebeweis in der Rückrichtung nicht:

• Ist μ : V 1 × ⋯ × V s → K {\displaystyle \mu \colon V_{1}\times \cdots \times V_{s}\to K} eine s {\displaystyle s} -Multilinearform, so ist die entsprechende Linearform auf V 1 ⊗ ⋯ ⊗ V s {\displaystyle V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{s}} definiert durch

∑ j = 1 k v 1 ( j ) ⊗ ⋯ ⊗ v s ( j ) ↦ ∑ j = 1 k μ ( v 1 ( j ) , … , v s ( j ) ) . {\displaystyle \sum _{j=1}^{k}v_{1}^{(j)}\otimes \cdots \otimes v_{s}^{(j)}\mapsto \sum _{j=1}^{k}\mu (v_{1}^{(j)},\ldots ,v_{s}^{(j)}).}

Warum eine Summation über die Indizes ( j ) {\displaystyle _{(j)}} ? Und was sollen die Indizes überhaupt bedeuten? Die v i ≤ s {\displaystyle v_{i\leq s}} sind doch keine Koordinatenvektoren. Und wenn sie Kovektoren sind, mit v i ( j ) ( v ) = v i ( j ) {\displaystyle v_{i}^{(j)}(v)=v_{i}^{(j)}} (unter Missbrauch der Notation!) müssen die v i ( j ) {\displaystyle v_{i}^{(j)}} auf der rechten Seite Koordinaten sein. Aber Multilinearformen nehmen nicht Koordinaten, sondern Vektoren als Argumente. Und die Basisvektoren des Vektorraums V i {\displaystyle V_{i}} sollen die v i ( j ) {\displaystyle v_{i}^{(j)}} ja wohl auch nicht sein. Die wären ja alle gleich.

Fazit: Dieser Abschnitt muss überarbeitet werden. Die richtige Definition steht im Artikel über Tensorprodukträume. Sie ist trivial genug. Überhaupt scheint mir der Artikel über Tensorprodukte klarer geschrieben zu sein.

(nicht signierter Beitrag von 24.134.72.9 (Diskussion) 16:35, 18. Jun. 2014 (CEST))Beantworten

So ganz sehe ich das Problem noch nicht: Jedes Element von V 1 ⊗ ⋯ ⊗ V s {\displaystyle V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{s}} kann als ∑ j = 1 k v 1 ( j ) ⊗ ⋯ ⊗ v s ( j ) {\displaystyle \sum _{j=1}^{k}v_{1}^{(j)}\otimes \cdots \otimes v_{s}^{(j)}} geschrieben werden. Die v i ( j ) {\displaystyle v_{i}^{(j)}} sind dabei Vektoren aus V i {\displaystyle V_{i}} . Es gibt vielleicht bessere Wege, um das übersichtlich aufzuschreiben, aber was da jetzt direkt falsch sein sollte, ist mir noch nicht klar.

-- HilberTraum (Diskussion) 18:07, 18. Jun. 2014 (CEST)Beantworten

Erstens verstehe ich nicht, warum für den Beweis eine Darstellung der Tensoren als Linearprodukt nötig ist. Im Artikel über Tensorprodukte wird die Isomorphie so gezeigt:

Es sei B : V × W → X {\displaystyle B\colon V\times W\to X} eine bilineare Abbildung. Dann kann man zeigen, dass durch

V ⊗ W → X , v ⊗ w ↦ B ( v , w ) {\displaystyle V\otimes W\to X,\qquad v\otimes w\mapsto B(v,w)}

eine lineare Abbildung definiert wird.

Ist umgekehrt

λ : V ⊗ W → X {\displaystyle \lambda \colon V\otimes W\to X}

eine lineare Abbildung, so ist die Abbildung

V × W → X , ( v , w ) ↦ λ ( v ⊗ w ) {\displaystyle V\times W\to X,\qquad (v,w)\mapsto \lambda (v\otimes w)}

bilinear.

Ersetzt man "bilinear" durch "multilinear", hat man schon alles, was man braucht.

Zweitens müsste die Darstellung eines Tensors als Linearprodukt von Basistensoren doch so aussehen:

v 1 ⊗ ⋯ ⊗ v n = ∑ j ∈ | V 1 | × ⋯ × | V n | a j 1 … j n ( e 1 j 1 ⊗ ⋯ ⊗ e n j n ) {\displaystyle v_{1}\otimes \dots \otimes v_{n}=\sum _{j\in |V_{1}|\times \dots \times |V_{n}|}a_{j_{1}\dots j_{n}}(e_{1}^{j_{1}}\otimes \dots \otimes e_{n}^{j_{n}})}

Wobei d i {\displaystyle d_{i}} die Dimension des Vektorraums V i {\displaystyle V_{i}} ist und | V i | = { 1 , … , d i } {\displaystyle |V_{i}|=\{1,\dots ,d_{i}\}} . Es ergeben sich d 1 ⋅ ⋯ ⋅ d n {\displaystyle d_{1}\cdot \dots \cdot d_{n}} Summanden, weil über den Multiindex j {\displaystyle j} summiert wird. e i j k {\displaystyle e_{i}^{j_{k}}} ist der j k {\displaystyle j_{k}} -te Basisvektor des i {\displaystyle i} -ten Vektorraums.

Nicht jede Matrix hat Rang 1, nicht jeder Tensor kann als einfaches Tensorprodukt dargestellt werden. Eine Matrix vom Rang k kann als Summe von k dyadischen Produkten geschrieben werden, aber nur selten als Summe von k Vielfachen von dyadischen Produkten der Basisvektoren, da dies bedeuten würde, dass nur k Einträge von Null verschieden wären. Das gleiche gilt für Tensoren. Man kann sich nun streiten, ob man die lineare Abbildung nur auf den Erzeugern oder einem allgemeinen Element des Tensorproduktraumes diskutiert, korrekt ist beides.--LutzL (Diskussion) 16:24, 19. Jun. 2014 (CEST)Beantworten

Man muss nicht mit Linearkombinationen von Basisvektoren arbeiten. Im Abschnitt Tensor als Element des Tensorproduktes wird darauf hingewiesen, dass jeder Tensor sich als Summe von elementaren Tensoren schreiben lässt.--Theowoll (Diskussion) 22:09, 20. Jun. 2014 (CEST)Beantworten

Danke. Ihr habt Recht und ich hatte unrecht. Ich schätze, die Verwechslung von Tensor und Tensorprodukt ist ein typischer Anfängerfehler. (nicht signierter Beitrag von 24.134.72.9 (Diskussion) 22:53, 23. Jun. 2014 (CEST))Beantworten

Ich habe versucht, die Darstellung in diesem Abschnitt (und auch im ersten Abschnitt zur Definition) etwas klarer zu machen. Dabei habe ich die wichtige universelle Eigenschaft erneut in den Vordergrund gerückt. Die Diskussion, ob man die jeweiligen Abbildungen auf „allgemeinen“ Tensoren definieren muss oder ob es genügt, sie auf elementaren Tensoren zu definieren, ist tatsächlich müßig: Beides kann man tun. Die Angelegenheit wird aber m.E. transparenter, wenn man deutlich macht, dass es ausreicht, sie auf elementaren Tensoren zu definieren: Zwar sind nicht alle Tensoren elementar, aber jeder Tensor ist (per Konstruktion) eine (wenn auch nicht eindeutige) Linearkombinationen elementarer Tensoren. Also muss man die Abbildung dann lediglich linear fortsetzen und fertig ist die Laube, äh, die „gesamte“ lineare Abbildung. Diesen Weg habe ich jetzt beschritten bzw. vorgeschlagen. (Hinweis: Dass die nicht eindeutige Linearkombination hier kein Bein stellt, liegt daran, dass die lineare Fortsetzung gerade verträglich ist mit den Gleichheiten verschiedener Linearkombinationen.) Noch ein Hinweis zu der obigen, einleitenden Äußerung „ich verstehe den Isomorphiebeweis nicht“: Man kann dies zurzeit noch nicht vollständig verstehen, denn die universelle Eigenschaft ist zwar eine coole Sache, aber solange gar nicht der Beweis erbracht wird, dass es ein solches Objekt (das Tensorprodukt von Vektorräumen) auch wirklich gibt, bleibt die universelle Eigenschaft ein frommer Wunsch. Will sagen: Man muss eigentlich erst den Beweis der Existenz des Tensorprodukts geben, indem man das Ding (oder wenigstens eine Instanz) konstruiert. Das ist in diesem Artikel noch nirgendwo geschehen – und soll wohl auch nicht geschehen? Es wird nur vorausgesetzt, dass es das Tierchen gibt. [Es könnte aber auch ein Einhorn sein, solange man es nicht gesehen hat. ;-)] Wenn es aber die Existenz (durch Konstruktion) gesichert ist, dann ist die universelle Eigenschaft kein Wunschtraum mehr, sondern Realität (in dieser Konstruktion) geworden und liefert dann die fragliche Isomorphie mit den Argumenten, die ich bei den Abschnitten zur universellen Eigenschaft skizziert habe. Das hängt dann (wie eben erwähnt) auch nicht an der Frage, ob man sich bei der Definition der linearen Abbildung auf elementare Tensoren beschränkt (und linear fortsetzt) oder gleich auf allgemeine Tensoren geht (und dadurch die definierende Formel etwas unübersichtlicher macht). Ja, der Artikel Tensorprodukt ist klarer geschrieben, weil er (nach flüchtiger Betrachtung) keine impliziten Voraussetzungen macht. Das ist hier beim Artikel [[Tensor] nicht ganz der Fall, denn im Abschnitt zur #Definition stehen bereits einige Dinge, die erst später (durch die universelle Eigenschaft) klar werden. Darin sehe ich bei diesem Artikel ein Grundproblem. Aber vielleicht ist es so gewollt? --Filomusa (Diskussion) 19:55, 30. Nov. 2020 (CET)Beantworten

Basisstransformationen werden im Artikel an drei verschiedenen Stellen abgehandelt. Jeweils mit leicht unterschiedlicher Notation bzw. Stoßrichtung. Irritierend ist die erste Abhandlung, ziemlich zu Anfang des Artikels. Dort wird im Text von Basisvektoren (abgezählt mit tief gestelltem Index) geredet, während in den folgenden Formeln Basisvektoren mit hoch gestellten Indices erscheinen (duale Basis? metrisches Dual? algebraisches Dual?). Außerdem wird dort ein "geomentrischer Tensor" eingeführt, zu dem aber wohl noch kein Artikel vorliegt. Und schließlich geht in den besagten Formeln die Indexkonvention den Bach runter. Sofern der entsprechende Unterabschnitt nicht von aller höchster Bedeutung ist schlage ich ersatzlose Streichung vor. --QuPhys (Diskussion) 04:47, 30. Sep. 2014 (CEST)Beantworten

Ehrlich gesagt verwirren mich diese Indexschlachten immer noch. Die Einsteinsche Summenkonvention wird nicht immer so streng gehandhabt, wie es in hier eingeführt wird. Häufig unterscheidet man gar nicht zwischen ko- und kontravariant und stellt alle Indizes tief (so auch in den meisten anderen Artikeln hier bei Wikipedia, aber auch in der Literatur). Was die Verwirrung auf die Spitze treibt, ist, dass in der Kategorientheorie Ko- und Kontravarianz genau umgekehrt verwendet werden. Ich fasse da lieber nichts an, bei dem ich mir nicht ganz sicher bin. An einer Stelle hatte ich in dem Abschnitt einen offensichtlich falschen Index korrigiert. Von einem „geometrischen Tensor“ habe ich auch noch nie gehört, nur vom „metrischen Tensor“. Aber das passt hier auch nicht. Beim nochmal drüber lesen fällt mir auch auf, dass auch der nachfolgende Abschnitt Tensor#Darstellung des Tensors mit Hilfe der Komponenten, insbesondere das Beispiel mit der Rotationsenergie, nicht stimmen kann. Die Winkelgeschwindigkeit sollte nicht einmal ko- und einmal kontravariant sein. Ich werde versuchen, das Beispiel zu retten. (Oje: Pseudovektor#Zusammenhang_mit_antisymmetrischen_Tensoren.) An den Rest des Abschnitts traue ich mich erstmal nicht heran. --DufterKunde (Diskussion) 14:39, 11. Apr. 2015 (CEST)Beantworten

Ich traue mich hier doch nicht ran. Spätestens der Artikel Kovarianz (Physik) hat mich restlos verwirrt. Kann das jemand nachvollziehen? --DufterKunde (Diskussion) 13:14, 16. Apr. 2015 (CEST)Beantworten

Yip! Da tut sich eine kleine größere Baustelle auf:

(1) In Kovarianz (Physik) wird gesagt, dass Kovektoren kovariant transformieren, Vektoren kontravariant. Das passt zu Tensor, wenn man in Kovarianz (Physik) unter "Vektor" das (basisabhängige) Zahlentupel seiner Koordianten versteht (Index oben), und unter "Kovektor" das entsprechend Zahlentupel (mit Index unten). Die "Kovarianz"-Sprache wurde meiner Erinnerung nach von Einstein eingeführt (in seinen Auslassungen zur allgemeinen Relativitätstheorie). Ever since haben sich die Begriffe verselbstständigt, und treiben jetzt ein munteres Eigenleben in der Lehr- und Fachliteratur. Die überwältigende Mehrheit der Physiklehrbücher zur Relativitätstheorie numeriert die Einträge eines Vektor-Koordinatentupels mit Index oben und nennt das Tupel (bzw schlampig "den Vektor") "kontravariant", die Kovektorkoordianten mit Index unten "kovariant". In "Relativitätstheoriefreien" Lehrbüchern hat man es mit einem Euklidischen Vektorraum zu tun. In neunundneuzig Prozent aller Fälle wird eine Orthonormalbasis im Vektorraum zugrunde gelegt (ohne dass das ausdrücklich thematisiert würde), und es werden nur Transformationen betrachtet, die Orthonormalbasen auf Orthonormalbasen abbilden (Vulgo: Drehung). In diesem Fall gibt es numerisch keinen Unterschied zwischen ko- und kontravariant, und man lässt alle Indices unten (wie man es aus der "Matrizenrechnung" gewohnt ist).

(2) Ich vermute "Winkelgeschwindigkeit" = (Pseudo)-Vektor, also Koordinaten mit Index oben, also kontravariant.

(3) Dieser "geometrische Tensor" scheint Eigenschöpfung eines früheren Autors zu sein. Ich lese das als "Basistransformation". Ich bin dafür, den betreffenden Abschnitt im Artikel ersatzlos zu streichen.

--QuPhys (Diskussion) 02:28, 17. Apr. 2015 (CEST)Beantworten

Zu (3): Ja. Der Abschnitt wurde auch erst vor relativ kurzer Zeit eingefügt, vgl. Diff. --Digamma (Diskussion) 12:12, 17. Apr. 2015 (CEST)Beantworten

Wenn man im Archiv der Diskussionsseite des Autors stöbert, bekommt man den Eindruck, dass er recht viel schreibt, wenn der Tag lang ist. --DufterKunde (Diskussion) 12:26, 17. Apr. 2015 (CEST)Beantworten

...und hat einiges durcheinandergebracht. Der als Einleitung gedachte Text steht jetzt unter der Überschrift Arten von Tensoren, so dass diese allgemeineren Ausführungen erst nach den konkreteren/spezielleren Ausführungen des neuen Abschnittes stehen, welcher zudem den Artikel redundant gemacht hat und abweichende/undefinierte Notation verwendet. --Theowoll (Diskussion) 10:08, 18. Apr. 2015 (CEST)Beantworten

Ich habe unter Tensor#Beispiele einige offensichtliche Fehler in den jetzt letzten beiden Punkten (zuvor: der letzte Punkt) korrigiert. Hierzu gab es schon früher ein paar Anmerkungen (Diskussion:Tensor#Beispiele), aber es hat sich anscheinend niemand getraut, das anzufassen. Da ich selbst nur wenig Ahnung von (Pseudo-)Riemannschen Mannigfaltigkeiten und Relativitätstheorie habe, würde ich mich freuen, wenn nochmal jemand drüber liest. Ich bin mir dessen bewusst, dass ich unter anderem verschwiegen habe, dass der Tangentialraum selbst in jedem Punkt ein anderer ist (Tangentialbündel). Aber so ist dieses Beispiel wenigstens weniger falsch als zuvor. --DufterKunde (Diskussion) 14:45, 9. Apr. 2015 (CEST)Beantworten

Wahrlich eine Verbesserung! Ich hab' im letzten Beispiel noch den Tensortyp der Metrik auf (0,2) gesetzt (mir ist rätselhaft, wie diese (4,0) in den Artikel gekommen ist). Bauchschmerzen bereitet mir Tensor#Basistransformation. Dir auch? --QuPhys (Diskussion) 01:49, 11. Apr. 2015 (CEST)Beantworten

Danke! Genau dieses „vom Typ (4,0)“ hatte mich auch ziemlich stutzig gemacht, aber ich war mir nicht sicher genug. Jetzt hat es jemand ganz gelöscht. Ich muss nochmal drüber schauen. (Zu den Basistransformationen schreibe ich Dir oben.) --DufterKunde (Diskussion) 13:59, 11. Apr. 2015 (CEST)Beantworten

Vielleicht hatte der Autor metrischen Tensor und Riemannschen Krümmungstensor verwechselt. --Theowoll (Diskussion) 14:02, 11. Apr. 2015 (CEST)Beantworten

Ich glaube an einer Stelle wurde der Apostroph falsch gesetzt. Müsste man statt

e i l ′ = ∑ j l a j l , i l e j l {\displaystyle e'_{i_{l}}=\sum _{j_{l}}a_{j_{l},i_{l}}e_{j_{l}}}

nicht eigentlich

e i l = ∑ j l a j l , i l e j l ′ {\displaystyle e_{i_{l}}=\sum _{j_{l}}a_{j_{l},i_{l}}e'_{j_{l}}}

schreiben, damit man auf die Darstellung

T i 1 , … , i n ′ = ∑ j 1 … ∑ j n a j 1 , i 1 … a j n , i n T j 1 , … , j n {\displaystyle T'_{{i_{1}},\dots ,{i_{n}}}=\sum _{j_{1}}\dots \sum _{j_{n}}a_{j_{1},i_{1}}\dots a_{j_{n},i_{n}}T_{{j_{1}},\dots ,{j_{n}}}}

kommt? (nicht signierter Beitrag von 84.133.43.70 (Diskussion) 01:12, 2. Jan. 2017 (CET))Beantworten

Ich habe die Änderung mal eingefügt. Der Text darunter ist völlig unverständlich. Die Komponenten von T und die Transformationsmatrix sind 2 komplett verschiedene Objekte. In welchem Fall sollte man nicht zwischen beiden unterscheiden? Der Satz über euklidischen Raum und Minkowskiraum bedarf auch einer Ergänzung. Bisher waren es beliebige Vektorräume und Basen, jetzt ist plötzlich zusätzlich eine (pseudo-)riemannsche Metrik nötig und es wird auf orthonormale Basen eingeschränkt.

Die "Basistransformation" unter "Einleitung" habe ich entfernt, ein Kommentar zum Inhalt erübrigt sich wohl. (nicht signierter Beitrag von 91.7.78.146 (Diskussion) 11:56, 28. Jan. 2017 (CET))Beantworten

Geht ja schon im ersten Satz los.

Deutsch: "Ein Tensor ist eine mathematische Funktion, die eine bestimmte Anzahl von Vektoren auf einen Zahlenwert abbildet"

Englisch verkürzt: "[...] a tensor is an algebraic object [...] that can take several different forms, for example, [...] a multi-linear map between vector spaces."

Englisch voll: In mathematics, a tensor is an algebraic object related to a vector space and its dual space that can take several different forms, for example, a scalar, a tangent vector at a point, a cotangent vector (dual vector) at a point, or a multi-linear map between vector spaces.

Also eine Abbildung zwischen Vektorräumen und eine Abbildung nach/zu Zahlen (gemeint ist wohl Körper?!) ist ja schon dezent was anderes?!

Meiner bescheidenen Meinung nach beschreibt der erste Satz im deutschen wiki in Wahrheit den Vorgang des Darstellens eines Tensors und nicht den Tensor selbst.

Könnte mich jemand aufklären? --37.162.199.67 15:24, 28. Aug. 2019 (CEST)Beantworten

Ich habe den Artikel heute durchgearbeitet, weil ich den Begriff des Tensors in Physikbüchern einfach nicht verstanden habe, nur Kenntnisse über Matrizen, Vektoren und Lineare Algebra habe, aber Tensoren gar nicht kenne. Genau der erste Satz ist es, der mir sofort erklärt, was ein Tensor ist. Das verstehe ich. Auch die Beispiele finde ich gelungen. Selbst später kann ich noch gut folgen. Die englische Variante hätte ich nicht verstanden, einfach zu schwammig. Insgesamt finde ich den Artikel doch in einer erstaunlichen Präzision geschrieben, die es einem Anfänger mit ansonsten guten mathematischen Grundkenntnissen durchaus gestattet, verdammt weit damit zu kommen. Verbesserungsvorschläge kann ich noch nicht machen, denn um die kleinen Fehler zu entdecken, die hier diskutiert werden, fehlt mir als Anfänger einfach noch die Sicherheit. Musste das Lob heute einfach loswerden und bitte darum um vorsichtige Änderungen. Die Ungenauigkeiten, wie in der Physik teilweise mit Indices oben und unten umgegangen wird, regen mich tierisch auf. Hier ist es klar. Und die deutsche Definition darf ich verwenden, weil sie immer geht, wenn ich es richtig verstehe. Siehe das Beispiel mit dem Spannungstensor. Abbildung von Normalenvektor auf Kraftvektor oder Abbildung von Normalenvektor und Verschiebungsvektor auf Verschiebungsarbeit? Es ist egal, aber die zweite (d. h. die deutsche) Definition ist formal einfach leichter zu handhaben, wenn man verstehen will, was einen Tensor ausmacht. Beispiel Tensorprodukt. Mit der deutschen Definition ist es ein Produkt zweier Zahlen, und das ist kommutativ. Reihenfolge der Multiplikation egal (man muss nur bei den Argumenten aufpassen, da dann in anderer Reihenfolge reinzustecken). Aha. Mit der englischen Definition? Keine Ahnung. --Elektrony (Diskussion) 19:41, 9. Feb. 2020 (CET)Beantworten

Hallo,

ich finde es gut, dass versucht wurde die Einleitung zu entrümpeln. Jedoch halte ich diesen neuen Abschnitt "Rang eines Tensors" nicht für hilfreich. Der Rang eines Tensors wird im Abschnitt Definition definiert. Der Teil in der Eileitung sollte nur ein Vorgriff darauf sein. Es macht auch gar keinen Sinn den Rang eines Tensors zu definieren bevor der Tensor selbst definiert wurde. Wegen mir kann auch der ganze Abschnitt ersatzlos weg. --Christian1985 (Disk) 02:22, 2. Mai 2020 (CEST)Beantworten

Prinzipiell stimme ich dir zu. Ich finde sowieso, dass da zuviel vor dem Abschnitt "Definition" steht. --Digamma (Diskussion) 10:02, 2. Mai 2020 (CEST)Beantworten

Ich habe schonmal zwei Abschnitte aus dem Abschnitt Definition entfernt. Geht das für Dich in die richtige Richtung?--Christian1985 (Disk) 14:18, 2. Mai 2020 (CEST)Beantworten

Wahrscheinlich schon. Mir ging es aber um die vielen Abschnitte, die vor dem Abschnitt "Definition" stehen. Das ist kein guter Aufbau für einen Mathe-Artikel. --Digamma (Diskussion) 18:34, 2. Mai 2020 (CEST)Beantworten

Wer lesen kann ist klar im Vorteil... Sorry! Ich lösche jetzt den Abschnitt Rang eines Tensors. Viele Grüße --Christian1985 (Disk) 21:27, 2. Mai 2020 (CEST)Beantworten

In dem Abschnitt geht es gemäß dem ersten Satz um einen Tensor aus V 1 ⊗ … ⊗ V n {\displaystyle V_{1}\otimes \dotsc \otimes V_{n}} . Dann müsste doch e i 1 {\displaystyle e_{i_{1}}} abkürzend für eine Basis in V 1 {\displaystyle V_{1}} stehen usw. bis e i n {\displaystyle e_{i_{n}}} abkürzend für eine Basis in V n {\displaystyle V_{n}} . Analog die gestrichenen Basen.
M.E. müsste es daher heißen "die Komponenten des Tensors T {\displaystyle T} bezüglich der Basen e i 1 , … , e i n {\displaystyle e_{i_{1}},\dotsc ,e_{i_{n}}} " statt "bezüglich der Basis".--2003:EE:E71C:F344:F889:F6A7:1769:6A35 19:52, 18. Mai 2020 (CEST)Beantworten

Bei der Definition der kontravarianten Größe sollte man explizit darauf hinweisen, dass es sich um eine Indizierung handelt und die Indizes oben geschrieben werden; und nicht etwa um einen Exponenten. Insbesondere auch zur Abgrenzung zur kovarianten Größe, welche unten indiziert werden. Formal ist das im Artikel korrekt, aber eine Klarstellung für den Leser finde ich hier geboten. ∎ Viele Grüße, Alabasterstein (Diskussion) 15:45, 26. Nov. 2024 (CET)Beantworten

Im ersten Absatz unter "Die universelle Eigenschaft für das Tensorprodukt zweier Faktoren" stimmen die Funktionsnamen nicht mit denen in der nebenstehenden Abbildung überein. Vorschlag: Funktionsnamen konsistent verwenden. Sonst rätselt man ewig. Das Thema ist ja sowieso schon ein Enigma. Bitte ein Experte dies umzusetzen. --ds --2001:9E8:4772:900:EE6:F597:6B0F:4A5C 13:33, 24. Apr. 2025 (CEST)Beantworten

Eine bekannte Anwendung in Form von Tensor-Feldern, scheint die allgemeine Relativitätstheorie zu sein, so dass Einstein hocherfreut war, dass er ein bekanntes mathematisches Konstrukt nutzen konnte, in das er sich noch einfuxen musste, um seine Ideen zu formalisieren. Davor hatten sich Mechaniker den Spannungstensor ausgedacht.

Ich habe als Nicht-Physiker und Nicht-Mathematiker das erste mal von Tensoren im Zusammenhang von TensorFlow gehört, also speziellen Algorithmen die insbesondere bei Neuronalen Netzen hilfreich sind. Mir ist bis heute nicht klar, warum Tensoren sich dafür besonders gut eignen.

Daher will ich anregen, einen Absatz zu den wichtigsten Anwendungen (wofür ist das heute gut) zu ergänzen. --Gunnar (Diskussion) 10:26, 22. Mai 2025 (CEST)Beantworten