Spline

Ein Spline n-ten Grades (auch Polynomzug) ist eine Funktion, die stückweise aus Polynomen höchstens n-ten Grades zusammengesetzt ist. Dabei werden an den Stellen, an denen zwei Polynomstücke zusammenstoßen (man spricht auch von Knoten), bestimmte Bedingungen gestellt, etwa dass der Spline (n-1)-mal stetig differenzierbar ist.

Handelt es sich bei dem Spline in all seinen Abschnitten um jeweils eine lineare Funktion, so nennt man den Spline linear (es handelt sich dann um einen Polygonzug), analog gibt es quadratische, kubische usw. Splines.

Zu den Pionieren der Spline-Erforschung gehören Isaac Jacob Schoenberg (ab den 1940er Jahren), Paul de Faget de Casteljau, Pierre Bézier und Carl de Boor.

Der Begriff Spline wurde zuerst in einer englischen Veröffentlichung von Isaac Jacob Schoenberg im Jahr 1946 für glatte, harmonische, zusammengesetzte mathematische Kurven dritten Grades benutzt.

Splines werden vor allem zur Interpolation und Approximation benutzt. Durch die stückweise Definition sind Splines flexibler als Polynome und dennoch relativ einfach und glatt. Dadurch ergeben sich bei der Spline-Interpolation nicht die Nachteile, die durch die starke Oszillation von Polynomen höheren Grades und deren Unbeschränktheit bei der Polynominterpolation entstehen (Runges Phänomen). Splines lassen sich auch gut benutzen, um Kurven darzustellen. Hier finden sie Einsatz im CAD. Mathematisch analog lassen sich auf beide Weisen nicht nur Kurven, sondern auch Flächen beschreiben.

Wortherkunft: Der Begriff stammt aus dem Schiffbau: eine lange, dünne Latte (Straklatte, englisch spline), die an einzelnen Punkten durch Molche fixiert wird, biegt sich genau wie ein kubischer Spline mit natürlicher Randbedingung. Dabei wird die Spannungsenergie minimal.

Funktionen p : [ τ 0 , τ n − 1 [ → R {\displaystyle p\colon {[\tau _{0},\tau _{n-1}[}\rightarrow \mathbb {R} } , die sich in jedem der Teilintervalle [ τ i , τ i + 1 [ {\displaystyle [\tau _{i},\tau _{i+1}[} einer streng wachsenden Knotenfolge τ := ( τ i ) i = 0 , . … , n − 1 ∈ R n {\displaystyle \tau :=(\tau _{i})_{i=0,.\ldots ,n-1}\in \mathbb {R} ^{n}} als Polynome mit Maximalgrad d ∈ Z ≥ 0 {\displaystyle d\in \mathbb {Z} _{\geq 0}} darstellen lassen, heißen stückweise Polynomfunktionen auf τ {\displaystyle \tau } (mit Maximalgrad d {\displaystyle d} ). Außer diesem einfachen Aufbau aus Polynomabschnitten verlangt man bei Splines auch noch maximale Glattheit.

Der Spline-Raum S d , τ {\displaystyle S_{d,\tau }} ist der Vektorraum aller ( d − 1 ) {\displaystyle (d-1)} -mal stetig differenzierbaren stückweisen Polynomfunktionen auf τ {\displaystyle \tau } mit Maximalgrad d {\displaystyle d} .

Bei der Konstruktion von Splines erweisen sich die abgeschnittenen Potenzfunktionen

( u ) + d := { 0  für u < 0 u d  für u ≥ 0 {\displaystyle (u)_{+}^{d}:={\begin{cases}0&{\text{ für}}\quad u<0\\u^{d}&{\text{ für}}\quad u\geq 0\end{cases}}}

mit d = 0 , 1 , … {\displaystyle d=0,1,\ldots } als nützlich. ( u ) + d {\displaystyle (u)_{+}^{d}} ist für d = 0 {\displaystyle d=0} die Sprungfunktion, für d = 1 {\displaystyle d=1} die Rampenfunktion, und für d ≥ 1 {\displaystyle d\geq 1} ist diese Funktion ( d − 1 ) {\displaystyle (d-1)} -mal stetig differenzierbar.

Jede stückweise Polynomfunktion auf τ {\displaystyle \tau } mit Maximalgrad d {\displaystyle d} ist mit eindeutig bestimmten Koeffizienten c i , j ∈ R {\displaystyle c_{i,j}\in \mathbb {R} } , ( i = 0 , … , d ;   j = 0 , … , n − 2 ) {\displaystyle (i=0,\ldots ,d;\ j=0,\ldots ,n-2)} in der Form

p ( u ) = ∑ j = 0 n − 2 ∑ i = 0 d c i , j ( u − τ j ) + i {\displaystyle p(u)=\sum _{j=0}^{n-2}\sum _{i=0}^{d}c_{i,j}(u-\tau _{j})_{+}^{i}}

darstellbar. Da Splines ( d − 1 ) {\displaystyle (d-1)} -mal stetig differenzierbar sein sollen, müssen bei ihnen die Koeffizienten c i , j {\displaystyle c_{i,j}} für die niedrigeren Potenzen i = 0 , … , d − 1 {\displaystyle i=0,\ldots ,d-1} , die die Differenzierbarkeitsforderung nicht erfüllen, an den inneren Knoten j = 1 , … , n − 2 {\displaystyle j=1,\ldots ,n-2} verschwinden. Splines p ∈ S d , τ {\displaystyle p\in S_{d,\tau }} haben also die Darstellung

p ( u ) = ∑ i = 0 d c i , 0 ( u − τ 0 ) + i + ∑ j = 1 n − 2 c d , j ( u − τ j ) + d . {\displaystyle p(u)=\sum _{i=0}^{d}c_{i,0}(u-\tau _{0})_{+}^{i}+\sum _{j=1}^{n-2}c_{d,j}(u-\tau _{j})_{+}^{d}.}

Die (auf [ τ 0 , τ n − 1 ] {\displaystyle [\tau _{0},\tau _{n-1}]} eingeschränkten) Funktionen ( u − τ 0 ) + i {\displaystyle (u-\tau _{0})_{+}^{i}} für i = 0 , … , d {\displaystyle i=0,\ldots ,d} und ( u − τ j ) + d {\displaystyle (u-\tau _{j})_{+}^{d}} für j = 1 , … , n − 2 {\displaystyle j=1,\ldots ,n-2} stellen also zusammen eine Basis für den Splineraum S d , τ {\displaystyle S_{d,\tau }} dar. Damit ist der Splineraum ( n + d − 1 ) {\displaystyle (n+d-1)} -dimensional.

Die ( d − 1 ) {\displaystyle (d-1)} -malige Differenzierbarkeit der Splines kann man gezielt an vorgegebenen Knotenpunkten wieder abschwächen. In obiger Darstellung erreicht man das durch Wiederhinzunehmen ausgewählter Basisfunktionen niedrigeren Grades an inneren Knoten. Beim Algorithmus von De-Boor zur Darstellung von Splines ergibt sich das automatisch, wenn man mehrfache Knoten in der Knotensequenz zulässt, genauer die Forderung τ i < τ i + 1 {\displaystyle \tau _{i}<\tau _{i+1}} für i = 0 , … , n − 2 {\displaystyle i=0,\ldots ,n-2} abschwächt zu τ i ≤ τ i + 1 {\displaystyle \tau _{i}\leq \tau _{i+1}} für i = 0 , … , n − 2 {\displaystyle i=0,\ldots ,n-2} und τ i < τ i + d + 1 {\displaystyle \tau _{i}<\tau _{i+d+1}} für i = 0 , … , n − d − 2 {\displaystyle i=0,\ldots ,n-d-2} .

Die in Mathematik und Technik genutzten Varianten der Splines, wie B-Splines oder kubische Splines, unterscheiden sich im Wesentlichen durch die für den Spline-Raum eingesetzte Basis.

Spline-Kurven werden in der Regel entweder, wie oben beschrieben, über den Grad der stückweise zusammengesetzten Polynome definiert oder über deren Ordnung. Hierbei werden für den Grad meist die Buchstaben d {\displaystyle d} oder p {\displaystyle p} verwendet, während es üblich ist, für die Ordnung den Buchstaben k {\displaystyle k} zu verwenden. Hierbei gilt der Zusammenhang:

k = d + 1 {\displaystyle k=d+1}

Kubische Splines werden unter anderem zur Berechnung des Bahnverlaufs bei Achterbahnen verwendet, um ruckartige Beschleunigungswechsel für die Fahrgäste zu vermeiden. Kubische Splines finden weitere Anwendung bei der exakten Verlegung der Schienen bei Hochgeschwindigkeitsstrecken der Eisenbahn. Auch beim Entwurf von Kurven und Oberflächen (sogenannte „Freiformkurven und -flächen“), wie sie häufig im Schiff-, Flugzeug- und Automobilbau vorkommen, sind Splines von Bedeutung.

Splines eignen sich für solche Anwendungen, weil für jeden Polynomabschnitt Randbedingungen sowohl in Form von Punkten als auch in Form von Werten für die erste und zweite Ableitung (und abhängig davon Steigung und Krümmung bzw. Kurvenradius) vorgegeben werden können. Dadurch kann eine über den gesamten Kurvenverlauf stetige Krümmung erreicht werden. So werden Querbeschleunigungen beim Abfahren der Kurve immer allmählich aufgebaut bzw. an den Knotenpunkten vorgegebene Werte eingehalten.

Burmester-Schablonen stellen kubische Splines dar. Diese Schablonen werden genutzt, um Ausgleichskurven von Wertescharen zu zeichnen.

B-Spline ist die Kurzform von Basis-Spline. Im Kontext numerischer Verfahren, wo Splines häufig eingesetzt werden, entscheidet die Wahl der Basis für den Spline-Raum über eventuelle Rundungsfehler und damit über die praktische Einsetzbarkeit. Eine bestimmte Basis hat sich hier als am besten geeignet herausgestellt: Sie ist numerisch stabil und erlaubt die Berechnung von Werten der Spline-Funktion mittels einer Drei-Term-Rekursion. Diese sogenannten B-Spline-Basisfunktionen haben einen kompakten Träger, sie sind nur auf einem kleinen Intervall von Null verschieden. Änderungen der Koeffizienten wirken sich also nur lokal aus.

Carl de Boor weist in seinem Artikel^[1] B(asic) Spline Basics darauf hin, dass der Begriff B-Spline ursprünglich für bestimmte Splines mit minimalem Träger eingeführt wurde, dass sich jedoch im Bereich von Computer Aided Geometric Design die etwas unglückliche Verwendung des Begriffs B-Spline für Splines eingebürgert hat, die in der B-Spline-Basis dargestellt werden.

Die als Basis-Splines (B-Splines) bezeichneten Basisfunktionen N i , p , τ   ( i = 0 , … , n − p − 2 ) {\displaystyle N_{i,p,\tau }\ (i=0,\ldots ,n-p-2)} des Grads p {\displaystyle p} mit Knotenvektor τ = ( τ 0 , … , τ n − 1 ) ( n ≥ 2 p ) {\displaystyle \tau =(\tau _{0},\ldots ,\tau _{n-1})\quad (n\geq 2\,p)} sind von Curry und Schoenberg 1947 bis auf die Normierung in folgender Form eingeführt worden:^[2]

N i , p , τ ( u ) = ( τ i + p + 1 − τ i ) [ τ i , … , τ i + p + 1 ] u ¯ ( u ¯ − u ) + p {\displaystyle N_{i,p,\tau }(u)=(\tau _{i+p+1}-\tau _{i})[\tau _{i},\ldots ,\tau _{i+p+1}]_{\overline {u}}({\bar {u}}-u)_{+}^{p}}

Dabei steht [ τ i , … , τ i + p + 1 ] u ¯ ( u ¯ − u ) + p {\displaystyle [\tau _{i},\ldots ,\tau _{i+p+1}]_{\overline {u}}({\bar {u}}-u)_{+}^{p}} für die ( p + 1 ) {\displaystyle (p+1)} -ste dividierte Differenz der abgeschnittenen Potenzfunktion ( τ − u ) + p {\displaystyle (\tau -u)_{+}^{p}} bzgl. τ {\displaystyle \tau } . Die dividierte Differenz [ x 0 , … , x d ] x f ( x ) {\displaystyle [x_{0},\ldots ,x_{d}]_{x}f(x)} ist der zu x d {\displaystyle x^{d}} gehörige Koeffizient im (eindeutig gegebenen) Polynom c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + … + c d x d {\displaystyle c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\ldots +c_{d}x^{d}} , das die Funktion f {\displaystyle f} an den Stellen x 0 , … , x d {\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{d}} interpoliert. Stimmen die Werte von k {\displaystyle k} der Variablen x i {\displaystyle x_{i}} überein, so interpoliert das Polynom die Funktion f {\displaystyle f} an dieser Stelle bis zur ( k − 1 ) {\displaystyle (k-1)} -ten Ableitung (oskulierende Interpolation, engl. ‘osculating interpolation’).

In obiger Definition von N i , p , τ ( u ) {\displaystyle N_{i,p,\tau }(u)} gilt ( u ¯ − u ) + p = ( u ¯ − u ) p {\displaystyle ({\bar {u}}-u)_{+}^{p}=({\bar {u}}-u)^{p}} für u ¯ = τ i , … , τ i + p + 1 {\displaystyle {\bar {u}}=\tau _{i},\ldots ,\tau _{i+p+1}} , solange u {\displaystyle u} kleiner τ i {\displaystyle \tau _{i}} bleibt. In diesem Bereich für u {\displaystyle u} ergibt sich also eine dividierte Differenz vom Grad p + 1 {\displaystyle p+1} für ein Polynom p {\displaystyle p} -ten Grades, die trivialerweise null ist. Auf der anderen Seite ist für u > τ i + p + 1 {\displaystyle u>\tau _{i+p+1}} die Funktion ( u ¯ − u ) + p {\displaystyle ({\bar {u}}-u)_{+}^{p}} an allen für die dividierte Differenz auszuwertenden Stellen bei N i , p , τ ( u ) {\displaystyle N_{i,p,\tau }(u)} gleich null, womit dort ebenfalls N i , p , τ ( u ) = 0 {\displaystyle N_{i,p,\tau }(u)=0} gilt.

Der Träger von N i , p , τ ( u ) {\displaystyle N_{i,p,\tau }(u)} liegt also innerhalb des Intervalls [ τ i , τ i + p + 1 ] {\displaystyle [\tau _{i},\tau _{i+p+1}]} .

Unterscheiden sich die Stellen τ i {\displaystyle \tau _{i}} alle voneinander, so ist die dividierte Differenz in N i , p , τ {\displaystyle N_{i,p,\tau }} eine endliche Linearkombination von Funktionen u ↦ ( u ¯ − u ) + p {\displaystyle u\mapsto ({\bar {u}}-u)_{+}^{p}} mit unterschiedlichen Werten für u ¯ {\displaystyle {\bar {u}}} und als solche ( p − 1 ) {\displaystyle (p-1)} -mal stetig differenzierbar.

Die folgenden Eigenschaften zeichnen die B-Splines N i , p , τ {\displaystyle N_{i,p,\tau }} mit i = 0 , … , n − p − 2 {\displaystyle i=0,\ldots ,n-p-2} im Raum der Splines S p , τ {\displaystyle S_{p,\tau }} mit Knotenvektor τ = ( τ i ) i = 0 n − 1 {\displaystyle \tau =(\tau _{i})_{i=0}^{n-1}} und Maximalgrad p {\displaystyle p} aus:

• Nichtnegativität: N i , p , τ ( u ) ≥ 0 {\displaystyle N_{i,p,\tau }(u)\geq 0}
• Lokaler Träger: N i , p , τ ( u ) > 0 {\displaystyle N_{i,p,\tau }(u)>0} , falls u ∈ ] τ i , τ i + p + 1 [ {\displaystyle u\in {]\tau _{i},\tau _{i+p+1}[}} , und N i , p , τ ( u ) = 0 {\displaystyle N_{i,p,\tau }(u)=0} , falls u ∉ [ τ i , τ i + p + 1 [ {\displaystyle u\not \in [\tau _{i},\tau _{i+p+1}[}
• Zerlegung der Eins: ∑ i = 0 n − p − 2 N i , p , τ ( u ) = 1 {\displaystyle \sum _{i=0}^{n-p-2}N_{i,p,\tau }(u)=1} für u ∈ [ τ p , τ n − p − 1 [ {\displaystyle u\in [\tau _{p},\tau _{n-p-1}[}

Die Basis-Splines können effektiv mit der Rekursionsformel von de Boor/Cox/Mansfield berechnet werden:^[3]

N i , 0 , τ ( u ) = { 1 , u ∈ [ τ i , τ i + 1 [ 0 , sonst {\displaystyle N_{i,0,\tau }(u)={\begin{cases}1,&u\in \left[\tau _{i},\tau _{i+1}\right[\\0,&{\text{sonst}}\end{cases}}}

und

N i , p , τ ( u ) = u − τ i τ i + p − τ i N i , p − 1 , τ ( u ) + τ i + p + 1 − u τ i + p + 1 − τ i + 1 N i + 1 , p − 1 , τ ( u ) {\displaystyle N_{i,p,\tau }(u)={\frac {u-\tau _{i}}{\tau _{i+p}-\tau _{i}}}\,N_{i,p-1,\tau }(u)\;+\;{\frac {\tau _{i+p+1}-u}{\tau _{i+p+1}-\tau _{i+1}}}\,N_{i+1,p-1,\tau }(u)} für p > 0 {\displaystyle p>0} .

Die Elemente des Knotenvektors heißen auch Knotenpunkte (engl. knots) und müssen die Bedingungen τ i ≤ τ i + 1 {\displaystyle \tau _{i}\leq \tau _{i+1}} und τ i < τ i + p {\displaystyle \tau _{i}<\tau _{i+p}} erfüllen.

Zur Berechnung der Ableitung^[4] eines B-Splines kann man obige Rekursionsformel mit der folgenden Vorschrift kombinieren:

d d u N i , p , τ ( u ) = N i , p , τ ′ ( u ) = p τ i + p − τ i N i , p − 1 , τ ( u ) − p τ i + p + 1 − τ i + 1 N i + 1 , p − 1 , τ ( u ) {\displaystyle {\frac {d}{du}}N_{i,p,\tau }(u)=N'_{i,p,\tau }(u)={\frac {p}{\tau _{i+p}-\tau _{i}}}N_{i,p-1,\tau }(u)-{\frac {p}{\tau _{i+p+1}-\tau _{i+1}}}N_{i+1,p-1,\tau }(u)} für p ≥ 1 {\displaystyle p\geq 1} .

Bemerkung:
Die Bedingungen an die Knotenpunkte τ i {\displaystyle \tau _{i}} erlauben es, dass in der Rekursionsformel unter Umständen Null als Nenner auftritt (nämlich wenn τ i + p = τ i {\displaystyle \tau _{i+p}=\tau _{i}} bzw. τ i + p + 1 = τ i + 1 {\displaystyle \tau _{i+p+1}=\tau _{i+1}} gilt). Allerdings ist dann die Funktion N i , p , τ {\displaystyle N_{i,p,\tau }} bzw. N i + 1 , p , τ {\displaystyle N_{i+1,p,\tau }} automatisch die Nullfunktion. Auf die entsprechende Fallunterscheidung wird hier verzichtet, man ignoriere die entsprechenden Summanden in diesen Fällen (ersetze sie durch Null). Dies entspricht auch dem Grenzverhalten für z. B. τ i + p → τ i . {\displaystyle \tau _{i+p}\to \tau _{i}.}

Eine Spline-Kurve, deren Darstellung auf B-Splines beruht, nennt man B-Spline-Kurve. Bestimmt wird die Kurve durch sogenannte De-Boor-Punkte, mit denen sich das Aussehen der Kurve leicht steuern lässt: Die Kurve liegt immer in der konvexen Hülle der De-Boor-Punkte, wird also von ihnen eingeschlossen.

Eine B-Spline-Kurve C ( u ) {\displaystyle C(u)} , u ∈ [ τ p , τ n − p − 1 [ {\displaystyle u\in [\tau _{p},\tau _{n-p-1}[} , des Maximalgrads p {\displaystyle p} mit Knotenvektor τ {\displaystyle \tau } (s. o.) und Kontrollpunkten P i   ( i = 0 , … , n − p − 2 ) {\displaystyle P_{i}\ (i=0,\ldots ,n-p-2)} (auch De-Boor-Punkte genannt) wird definiert durch

C ( u ) = ∑ i = 0 n − p − 2 P i N i , p , τ ( u ) {\displaystyle C(u)=\sum _{i=0}^{n-p-2}\;P_{i}\,N_{i,p,\tau }(u)} .

Für Kurven in der Ebene sind die Kontrollpunkte zweidimensional, für Kurven im Raum dreidimensional.

Eigenschaften:

• Lokalität: Der Kontrollpunkt P i {\displaystyle P_{i}} beeinflusst die Kurve nur im Intervall [ τ i , τ i + p + 1 [ {\displaystyle [\tau _{i},\tau _{i+p+1}[} .
• Endpunkt-Interpolation: Es ist P 0 = C ( τ p ) {\displaystyle P_{0}=C(\tau _{p})} , falls die ersten p + 1 {\displaystyle p+1} Knotenpunkte τ 0 , … , τ p {\displaystyle \tau _{0},\ldots ,\tau _{p}} gleich sind, und P n − p − 2 = C ( τ n − 1 − p ) {\displaystyle P_{n-p-2}=C(\tau _{n-1-p})} , falls die letzten p + 1 {\displaystyle p+1} Knotenpunkte τ n − 1 − p , … , τ n − 1 {\displaystyle \tau _{n-1-p},\ldots ,\tau _{n-1}} gleich sind.

Eine ähnliche Darstellung haben Bézierkurven. Diese basieren nicht auf der oben genannten Basis, sondern auf den Bernsteinpolynomen. Genau wie bei B-Spline-Kurven die De-Boor-Punkte gibt es hier die Bézier-Punkte, die das sogenannte Kontrollpolygon bilden und mit denen man die Kurve leicht graphisch darstellen kann.

Einen einfachen Zusammenhang von Bézierkurven und B-Spline-Kurven in Verbindung mit einer einfachen Berechnung stellt das Blossoming dar, welches von Paul de Faget de Casteljau Anfang der 1980er-Jahre entdeckt und von Lyle Ramshaw verbreitet wurde.

Statt der Gleichung in obiger Definition für C ( u ) {\displaystyle C(u)} wird zur effizienten Berechnung von B-Spline-Kurven C ( u ) {\displaystyle C(u)} mit u {\displaystyle u} im Intervall [ τ p , τ n − p − 1 [ {\displaystyle [\tau _{p},\tau _{n-p-1}[} meist der im Folgenden beschriebene Algorithmus von De Boor verwendet.

1. Suche 
  
    
      
        i
        ∈
        {
        0
        ,
        …
        ,
        n
        −
        p
        −
        2
        }
      
    
    {\displaystyle i\in \{0,\ldots ,n-p-2\}}
  
, so dass 
  
    
      
        u
        ∈
        [
        
          τ
          
            i
          
        
        ,
        
          τ
          
            i
            +
            1
          
        
        [
      
    
    {\displaystyle u\in [\tau _{i},\tau _{i+1}[}
  
 gilt.
   Gibt es keinen solchen Index 
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
, so liegt 
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
  
 außerhalb des Definitionsbereiches der Splinekurve 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
,
   und es muss extrapoliert oder eine Fehlermeldung ausgegeben werden.
2. Initialisiere Hilfsgrößen 
  
    
      
        
          q
          
            0
            ,
            j
          
        
        :=
        
          P
          
            i
            +
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{0,j}:=P_{i+j}}
  
 für 
  
    
      
        j
        =
        0
        ,
        …
        ,
        d
      
    
    {\displaystyle j=0,\ldots ,d}
  

3. Führe für 
  
    
      
        l
        =
        1
        ,
        …
        ,
        d
      
    
    {\displaystyle l=1,\ldots ,d}
  
 und 
  
    
      
        j
        =
        0
        ,
        …
        ,
        d
        −
        l
      
    
    {\displaystyle j=0,\ldots ,d-l}
  
 folgende Teilschritte 3.1 bis 3.3 iterativ aus:
3.1. Im Ausnahmefall gleicher Knoten 
  
    
      
        
          τ
          
            i
            +
            j
          
        
        =
        
          τ
          
            i
            +
            j
            +
            l
          
        
      
    
    {\displaystyle \tau _{i+j}=\tau _{i+j+l}}
  
 setze 
  
    
      
        
          q
          
            l
            ,
            j
          
        
        :=
        
          q
          
            l
            −
            1
            ,
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{l,j}:=q_{l-1,j}}
  
 und fahre mit dem nächsten Iterationsschritt 
  
    
      
        j
        :=
        j
        +
        1
      
    
    {\displaystyle j:=j+1}
  
 bei 3.1. fort.
3.2. Gilt dagegen 
  
    
      
        
          τ
          
            i
            +
            j
          
        
        <
        
          τ
          
            i
            +
            j
            +
            l
          
        
      
    
    {\displaystyle \tau _{i+j}<\tau _{i+j+l}}
  
, so berechne 
  
    
      
        
          α
          
            l
            ,
            j
          
        
        :=
        
          
            
              u
              −
              
                τ
                
                  i
                  +
                  j
                
              
            
            
              
                τ
                
                  i
                  +
                  j
                  +
                  l
                
              
              −
              
                τ
                
                  i
                  +
                  j
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \alpha _{l,j}:={\frac {u-\tau _{i+j}}{\tau _{i+j+l}-\tau _{i+j}}}}
  
.
3.3. Berechne damit 
  
    
      
        
          q
          
            l
            ,
            j
          
        
        :=
        
          q
          
            l
            −
            1
            ,
            j
          
        
        ⋅
        (
        1
        −
        
          α
          
            l
            ,
            j
          
        
        )
        +
        
          q
          
            l
            −
            1
            ,
            j
            +
            1
          
        
        ⋅
        
          α
          
            l
            ,
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{l,j}:=q_{l-1,j}\cdot (1-\alpha _{l,j})+q_{l-1,j+1}\cdot \alpha _{l,j}}
  
.
4. Als Endergebnis der Iteration erhält man 
  
    
      
        C
        (
        u
        )
        :=
        
          q
          
            d
            ,
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle C(u):=q_{d,0}}
  
.

Sind mehrere Splines, die sich nur durch die Koeffizienten P i {\displaystyle P_{i}} unterscheiden, an derselben Stelle u {\displaystyle u} auszuwerten, so kann die in der Definition der B-Spline-Kurve aufgeführte Berechnungsvorschrift C ( u ) = ∑ i = 0 n − p − 2 P i N i , p , τ ( u ) {\displaystyle C(u)=\sum _{i=0}^{n-p-2}P_{i}N_{i,p,\tau }(u)} effizienter als der Algorithmus von de Boor sein.

Eine B-Spline-Fläche der Maximalgrade p {\displaystyle p} und q {\displaystyle q} in der ersten beziehungsweise zweiten Variablen mit Knotenvektoren τ = ( τ 0 , … , τ n − 1 )   ( n ≥ 2 p + 1 ) {\displaystyle \tau =(\tau _{0},\ldots ,\tau _{n-1})\ (n\geq 2p+1)} und μ = ( μ 0 , … , μ m − 1 )   ( m ≥ 2 q + 1 ) {\displaystyle \mu =(\mu _{0},\ldots ,\mu _{m-1})\ (m\geq 2q+1)} und Kontrollpunkten (bzw. De Boor Punkten) P i j {\displaystyle P_{ij}} wird definiert durch

C ( u , v ) = ∑ i = 0   n − p − 2   ∑ j = 0   m − q − 2   P i j N i , p , τ ( u ) N j , q , μ ( v ) {\displaystyle C(u,v)=\sum _{i=0}^{\ n-p-2\ }\sum _{j=0}^{\ m-q-2\ }\;P_{ij}\,N_{i,p,\tau }(u)\,N_{j,q,\mu }(v)}

Die Fläche ist definiert über dem Rechteck [ τ p , τ n − 1 − p ] × [ μ q , μ m − 1 − q ] {\displaystyle [\tau _{p},\tau _{n-1-p}]\times [\mu _{q},\mu _{m-1-q}]} .

Eigenschaften:

• Lokalität: Der Kontrollpunkt P i j {\displaystyle P_{ij}} beeinflusst die Fläche nur im Rechteck [ τ i , τ i + p ] × [ μ j , μ j + q ] {\displaystyle [\tau _{i},\tau _{i+p}]\times [\mu _{j},\mu _{j+q}]}
• Endpunktinterpolation: Werden die ersten p + 1 {\displaystyle p+1} Knotenpunkte in τ {\displaystyle \tau } auf den gleichen Wert gesetzt, die letzten p + 1 {\displaystyle p+1} Knotenpunkte in τ {\displaystyle \tau } auf den gleichen Wert gesetzt, die ersten q + 1 {\displaystyle q+1} Knotenpunkte in μ {\displaystyle \mu } auf den gleichen Wert gesetzt und die letzten q + 1 {\displaystyle q+1} Knotenpunkte in μ {\displaystyle \mu } auf den gleichen Wert gesetzt, dann gilt die Endpunktinterpolation, d. h. P 0 , 0 = C ( τ p , μ q ) {\displaystyle P_{0,0}=C(\tau _{p},\mu _{q})} , P 0 , m − q − 2 = C ( τ p , μ m − 1 − q ) {\displaystyle P_{0,m-q-2}=C(\tau _{p},\mu _{m-1-q})} , P n − p − 2 , 0 = C ( τ n − 1 − p , μ q ) {\displaystyle P_{n-p-2,0}=C(\tau _{n-1-p},\mu _{q})} und P n − p − 2 , m − q − 2 = C ( τ n − 1 − p , μ m − 1 − q ) {\displaystyle P_{n-p-2,m-q-2}=C(\tau _{n-1-p},\mu _{m-1-q})}

Neben den B-Splines gibt es weitere Varianten von Splines, beispielsweise den kubisch hermiteschen Spline. Eine Verallgemeinerung von Splines sind NURBS, die durch stückweise rationale Funktionen anstelle von Polynomen beschrieben werden. Mit NURBS-Kurven sind Kreise exakt darstellbar.

• Andrew Blake and Michael Isard: "Active Contours". Springer Verlag, 1998, ISBN 978-1-4471-1555-7
• Carl de Boor: A Practical Guide to Splines. Springer Verlag, New York 1978, ISBN 0-387-90356-9 und ISBN 3-540-90356-9 (Rev. Auf.. 2001 ISBN 0-387-95366-3)
• Paul de Faget de Casteljau: Formes à Pôles. Hermès, Paris 1985, ISBN 2-86601-044-2
• Gerald Farin: Curves and Surfaces for CAGD. A practical guide. 5. Aufl. Academic Press, San Diego 2002, ISBN 1-55860-737-4
• Günther Nürnberger: Approximation by Spline Functions. Springer Verlag, 1989, ISBN 3-540-51618-2 und ISBN 0-387-51618-2
• Hartmut Prautzsch, Wolfgang Böhm, Marco Paluszny: Bezier and B-Spline Techniques. Springer Verlag, Berlin 2001, ISBN 3-540-43761-4
• David Salomon: Curves and Surfaces for Computer Graphics. 2006 Springer Science+Business Media, Inc.; ISBN 0-387-24196-5
• Isaac Jacob Schoenberg: Contributions to the problem of approximation of equidistant data by analytic functions. Quart. Appl. Math., vol. 4, S. 45–99 und 112–141, 1946.
• Martin Hermann: Numerische Mathematik, Band 2: Analytische Probleme. 4., überarbeitete und erweiterte Auflage. Walter de Gruyter Verlag, Berlin und Boston 2020, ISBN 978-3-11-065765-4.

• LP – Räume von Spline-Funktionen
• Java-Applet zum Berechnen von B-Spline-Kurven
• Website mit Erklärungen und Tool zur Berechnung von kubischen Splines
• TinySpline: Open Source C-Programmbibliothek für NURBS, B-Splines und Bezier Splines mit Bindings für verschiedene Sprachen

1. ↑ De Boor C. (1993): B(asic)–spline basics. In: Piegl L. (ed.): Fundamental Developments of Computer-Aided Geometric Modelling. Academic Press, San Diego, 27–49.
2. ↑ Carl de Boor: A Practical Guide to Splines. Springer Verlag Berlin, 2001
3. ↑ B-spline Basis Functions: Definition. In: Michigan Technological University. Abgerufen am 6. Februar 2023 (englisch). 
4. ↑ Derivatives of a B-spline Curve. In: Michigan Technological University. Abgerufen am 6. Februar 2023 (englisch).