Resolvente

In der Mathematik und der theoretischen Physik ist die Resolvente (manchmal auch Greenscher Operator genannt) die Inverse eines mit einer komplexen Zahl z {\displaystyle z} verschobenen linearen Operators oder einer Matrix. Die Menge der Werte z {\displaystyle z} , für die diese Inverse wohldefiniert ist, ist die Resolventenmenge des Operators; das Komplement dieser Menge ist sein Spektrum. Anwendungen betreffen alle Aspekte der Operatortheorie in der Funktionalanalysis, insbesondere die Störungsrechnung.

Für einen linearen Operator A {\displaystyle A} (oder auch eine Matrix A ∈ C n × n {\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}} ) definiert man die Resolventenmenge ρ ( A ) {\displaystyle \rho (A)} als das Komplement des Spektrums von A {\displaystyle A} , d. h. als die Menge aller komplexen Zahlen z {\displaystyle z} , für die der Operator z I − A {\displaystyle zI-A} beschränkt invertierbar ist. Die Resolventenmenge ist als Komplement des Spektrums offen. Auf der Resolventenmenge definiert man die Resolvente durch

R ( A , z ) = ( z I − A ) − 1   . {\displaystyle R\left(A,z\right)=(zI-A)^{-1}\ .}

Viele Autoren verwenden als Definition der Resolvente R ( A , z ) = ( A − z I ) − 1 {\displaystyle R\left(A,z\right)=(A-zI)^{-1}} , was lediglich das Vorzeichen invertiert.

Die Resolvente ist eine operatorwertige analytische Funktion und kann auf { z ∈ C : | z | > r } {\displaystyle \{z\in \mathbb {C} :|z|>r\}} , wobei r {\displaystyle r} der Spektralradius ist, durch die Neumannsche Reihe dargestellt werden:

R ( A , z ) = ∑ n = 0 ∞ A n z n + 1 {\displaystyle R\left(A,z\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A^{n}}{z^{n+1}}}} .

Die Resolvente wird u. a. verwendet, um Eigenwertentwicklungen von gestörten Operatoren zu beschreiben, zum Beispiel die Entwicklungen von Rellich-Kato und Strutt-Schrödinger.

Hilfreich bei Berechnungen sind die erste und zweite Resolventenidentität. Aus ( z 1 − z 2 ) I = z 1 I − A − ( z 2 I − A ) {\displaystyle \left(z_{1}-z_{2}\right)I=z_{1}I-A-(z_{2}I-A)} folgt mittels Inversion die erste Resolventenidentität

R ( A , z 2 ) − R ( A , z 1 ) = ( z 1 − z 2 ) R ( A , z 1 ) R ( A , z 2 ) = ( z 1 − z 2 ) R ( A , z 2 ) R ( A , z 1 ) , {\displaystyle R\left(A,z_{2}\right)-R(A,z_{1})=(z_{1}-z_{2})R(A,z_{1})R(A,z_{2})=(z_{1}-z_{2})R(A,z_{2})R(A,z_{1}),}

und aus A 1 − A 2 = z I − A 2 − ( z I − A 1 ) {\displaystyle A_{1}-A_{2}=zI-A_{2}-\left(zI-A_{1}\right)} folgt mittels Inversion die zweite Resolventenidentität

R ( A 1 , z ) − R ( A 2 , z ) = R ( A 1 , z ) ( A 1 − A 2 ) R ( A 2 , z ) . {\displaystyle R\left(A_{1},z\right)-R(A_{2},z)=R(A_{1},z)(A_{1}-A_{2})R(A_{2},z).}

• Dirk Werner: Funktionalanalysis, Springer-Verlag, Berlin, 2007, ISBN 978-3-540-72533-6.