Radon-Transformation

Die Radon-Transformation ist eine Integraltransformation einer Funktion in zwei Variablen. Es wird das Linienintegral der Funktion f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} längs aller Geraden der x {\displaystyle x} - y {\displaystyle y} -Ebene bestimmt. Für jede dieser Geraden kann man sich die Radon-Transformierte R f {\displaystyle Rf} als eine Projektion der Funktion f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} auf eine dazu senkrechte Gerade vorstellen. Die Radon-Transformation ist mit der Fourier-Transformation verwandt und stellt in zwei Dimensionen eine Verallgemeinerung der Abel-Transformation und einen Spezialfall der Hough-Transformation dar. Die auf komplexe Zahlen erweiterte Variante wird als Penrose-Transformation bezeichnet.

Die Radon-Transformation ist nach dem österreichischen Mathematiker Johann Radon benannt. Er führte sie 1917 in der Veröffentlichung Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten ein.^[1] Eine wichtige praktische Anwendung dieser Transformation, genauer der Rücktransformation, liegt in der Computertomographie zur Bildgewinnung.

Sei f : R 2 → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} } stetig und außerhalb eines Kreises von endlichem Radius identisch Null und sei γ {\displaystyle \gamma } eine Gerade, die durch den Winkel α {\displaystyle \alpha } zur x-Achse und ihren Abstand r {\displaystyle r} zum Ursprung definiert ist. Dann ist die Radon-Transformation gegeben durch das Linienintegral von f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} entlang γ {\displaystyle \gamma } .

R { f ( γ ) } = ∫ γ f ( x , y ) d s {\displaystyle R\left\lbrace f(\gamma )\right\rbrace =\int _{\gamma }f(x,y)\,\mathrm {d} s}

Die Gerade γ {\displaystyle \gamma } lässt sich parametrisieren als ( x ( t ) , y ( t ) ) = ( r cos ⁡ α + t sin ⁡ α , r sin ⁡ α − t cos ⁡ α ) {\displaystyle (x(t),y(t))=(r\cos \alpha +t\sin \alpha ,r\sin \alpha -t\cos \alpha )} . Damit lässt sich das Linienintegral auch schreiben als

R { f ( x , y ) } ( r , α ) = ∫ − ∞ ∞ f ( r cos ⁡ α + t sin ⁡ α , r sin ⁡ α − t cos ⁡ α ) d t . {\displaystyle R\left\lbrace f(x,y)\right\rbrace (r,\alpha )=\int _{-\infty }^{\infty }f(r\cos \alpha +t\sin \alpha ,r\sin \alpha -t\cos \alpha )\,\mathrm {d} t.}

Die Rücktransformation kann mit Hilfe der gefilterten Rückprojektion oder über den Umweg der Fourier-Transformation unter Berücksichtigung des Zentralschnitt-Theorems erfolgen.

Das Problem der Rücktransformation ist ein schlecht gestelltes Problem,^[2] weil die Lösung keine stetige Funktion der Eingangsdaten ist. Um das Problem dennoch hinreichend genau zu lösen, können Regularisierungstechniken oder iterative Verfahren angewandt werden.

Die Radon-Transformation steht in enger Beziehung zur Fourier-Transformation. Mit der Radon-Transformation kann man eine Beziehung zwischen der eindimensionalen und der zweidimensionalen (bzw. mehrdimensionalen) Fourier-Transformation herstellen.

Um das zu sehen, sei F u 1 → z ( 1 ) { g ( u 1 , u 2 ) } {\textstyle {\mathcal {F}}_{u_{1}\rightarrow z}^{(1)}\left\lbrace g(u_{1},u_{2})\right\rbrace } definiert als die eindimensionale Fourier-Transformation über dem ersten Parameter ( u 1 {\textstyle u_{1}} ) einer Funktion g : R 2 → R {\textstyle g:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} } . g ^ ( z , u 2 ) = F u 1 → z ( 1 ) { g ( u 1 , u 2 ) } = ∫ − ∞ ∞ g ( u 1 , u 2 ) e − ı 2 π z u 1 d u 1 {\displaystyle {\hat {g}}(z,u_{2})={\mathcal {F}}_{u_{1}\rightarrow z}^{(1)}\left\lbrace g(u_{1},u_{2})\right\rbrace =\int _{-\infty }^{\infty }g(u_{1},u_{2})\mathrm {e} ^{-\imath 2\pi zu_{1}}\mathrm {d} u_{1}} Analog sei F u 1 → z 1 , u 2 → z 2 ( 2 ) { g ( u 1 , u 2 ) } {\textstyle {\mathcal {F}}_{u_{1}\rightarrow z_{1},u_{2}\rightarrow z_{2}}^{(2)}\left\lbrace g(u_{1},u_{2})\right\rbrace } die zweidimensionale Fourier-Transformation über beide Parameter ( u 1 {\textstyle u_{1}} und u 2 {\textstyle u_{2}} ). g ^ ^ ( f 1 , f 2 ) = F u 1 → z 1 , u 2 → z 2 ( 2 ) { g ( u 1 , u 2 ) } = F u 1 → z 1 ( 1 ) { F u 2 → z 2 ( 1 ) { g ( u 1 , u 2 ) } } = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ g ( u 1 , u 2 ) e − ı 2 π ( z 1 u 1 + z 2 u 2 ) d u 1 d u 2 {\displaystyle {\hat {\hat {g}}}(f_{1},f_{2})={\mathcal {F}}_{u_{1}\rightarrow z_{1},u_{2}\rightarrow z_{2}}^{(2)}\left\lbrace g(u_{1},u_{2})\right\rbrace ={\mathcal {F}}_{u_{1}\rightarrow z_{1}}^{(1)}\left\lbrace {\mathcal {F}}_{u_{2}\rightarrow z_{2}}^{(1)}\left\lbrace g(u_{1},u_{2})\right\rbrace \right\rbrace =\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }g(u_{1},u_{2})\mathrm {e} ^{-\imath 2\pi (z_{1}u_{1}+z_{2}u_{2})}\mathrm {d} u_{1}\mathrm {d} u_{2}}

In den folgenden Ausführungen wird für eine bessere Lesbarkeit R { f ( x , y ) } ( r , α ) {\textstyle R\left\lbrace f(x,y)\right\rbrace (r,\alpha )} durch R { f } ( r , α ) {\textstyle R\left\lbrace f\right\rbrace (r,\alpha )} abgekürzt.

Zunächst betrachtet man die eindimensionale Fourier-Transformierte F r → σ ( 1 ) { R { f } ( r , α ) } ( σ , α ) {\textstyle {\mathcal {F}}_{r\rightarrow \sigma }^{(1)}\left\lbrace R\left\lbrace f\right\rbrace (r,\alpha )\right\rbrace (\sigma ,\alpha )} der Radon-Transformation R { f } ( r , α ) {\textstyle R\left\lbrace f\right\rbrace (r,\alpha )} einer Funktion f ( x , y ) {\textstyle f(x,y)} . Die Fourier-Transformation wird hier über den Parameter r {\textstyle r} der Radon-Transformierten berechnet. F r → σ ( 1 ) { R { f } ( r , α ) } ( σ , α ) = ∫ − ∞ ∞ R { f } ( r , α ) e − ı 2 π σ r d r = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( r cos ⁡ α + t sin ⁡ α , r sin ⁡ α − t cos ⁡ α ) e − ı 2 π σ r d t d r {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}_{r\rightarrow \sigma }^{(1)}\left\lbrace R\left\lbrace f\right\rbrace (r,\alpha )\right\rbrace (\sigma ,\alpha )&=\int _{-\infty }^{\infty }R\left\lbrace f\right\rbrace (r,\alpha )\mathrm {e} ^{-\imath 2\pi \sigma r}\,\mathrm {d} r\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(r\cos \alpha +t\sin \alpha ,r\sin \alpha -t\cos \alpha )\mathrm {e} ^{-\imath 2\pi \sigma r}\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} r\end{aligned}}} Im Folgenden wird zur besseren Lesbarkeit F r → σ ( 1 ) { R { f } ( r , α ) } ( σ , α ) {\textstyle {\mathcal {F}}_{r\rightarrow \sigma }^{(1)}\left\lbrace R\left\lbrace f\right\rbrace (r,\alpha )\right\rbrace (\sigma ,\alpha )} mit F r → σ ( 1 ) { R { f } } ( σ , α ) {\textstyle {\mathcal {F}}_{r\rightarrow \sigma }^{(1)}\left\lbrace R\left\lbrace f\right\rbrace \right\rbrace (\sigma ,\alpha )} abgekürzt.

Als Nächstes betrachtet man die zweidimensionale Fourier-Transformation F x → s x , y → s y ( 2 ) { f ( x , y ) } ( s x , s y ) {\textstyle {\mathcal {F}}_{x\rightarrow s_{\mathrm {x} },y\rightarrow s_{\mathrm {y} }}^{(2)}\left\lbrace f(x,y)\right\rbrace (s_{\mathrm {x} },s_{\mathrm {y} })} von f ( x , y ) {\textstyle f(x,y)} über die Parameter x {\textstyle x} und y {\textstyle y} . F x → s x , y → s y ( 2 ) { f ( x , y ) } ( s x , s y ) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) e − ı 2 π ( s x x + s y y ) d x d y {\displaystyle {\mathcal {F}}_{x\rightarrow s_{\mathrm {x} },y\rightarrow s_{\mathrm {y} }}^{(2)}\left\lbrace f(x,y)\right\rbrace (s_{\mathrm {x} },s_{\mathrm {y} })=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\mathrm {e} ^{-\imath 2\pi (s_{\mathrm {x} }x+s_{\mathrm {y} }y)}\mathrm {d} x\mathrm {d} y}

Im Folgenden wird zur besseren Lesbarkeit F x → s x , y → s y ( 2 ) { f ( x , y ) } ( s x , s y ) {\textstyle {\mathcal {F}}_{x\rightarrow s_{\mathrm {x} },y\rightarrow s_{\mathrm {y} }}^{(2)}\left\lbrace f(x,y)\right\rbrace (s_{\mathrm {x} },s_{\mathrm {y} })} durch F x → s x , y → s y ( 2 ) { f } ( s x , s y ) {\textstyle {\mathcal {F}}_{x\rightarrow s_{\mathrm {x} },y\rightarrow s_{\mathrm {y} }}^{(2)}\left\lbrace f\right\rbrace (s_{\mathrm {x} },s_{\mathrm {y} })} abgekürzt.

Das Fourier-Schnitt-Theorem sagt nun, dass F x → s x , y → s y ( 2 ) { f } ( s x , s y ) {\textstyle {\mathcal {F}}_{x\rightarrow s_{\mathrm {x} },y\rightarrow s_{\mathrm {y} }}^{(2)}\left\lbrace f\right\rbrace (s_{\mathrm {x} },s_{\mathrm {y} })} für s x = σ cos ⁡ α {\textstyle s_{\mathrm {x} }=\sigma \cos \alpha } und für s y = σ sin ⁡ α {\textstyle s_{\mathrm {y} }=\sigma \sin \alpha } gleich F r → σ ( 1 ) { R { f } ( r , α ) } ( σ , α ) {\textstyle {\mathcal {F}}_{r\rightarrow \sigma }^{(1)}\left\lbrace R\left\lbrace f\right\rbrace (r,\alpha )\right\rbrace (\sigma ,\alpha )} ist: ⁣ F r → σ ( 1 ) { R { f } } ( σ , α ) = F x → f x , y → f y ( 2 ) { f } ( σ cos ⁡ α , σ sin ⁡ α ) . {\displaystyle {\mathcal {F}}_{r\rightarrow \sigma }^{(1)}\left\lbrace R\left\lbrace f\right\rbrace \right\rbrace (\sigma ,\alpha )={\mathcal {F}}_{x\rightarrow f_{\mathrm {x} },y\rightarrow f_{\mathrm {y} }}^{(2)}\left\lbrace f\right\rbrace (\sigma \cos \alpha ,\sigma \sin \alpha ).} Das Theorem sagt also, dass man die Fourier-Transformation (über dem Parameters r {\textstyle r} ) einer Radon-Transformation mittels einer zweidimensionalen Fourier-Transformation berechnen kann. Und umgekehrt betrachtet, kann man die zweidimensionale Fourier-Transformation durch eine Radon-Transformation gefolgt von einer eindimensionalen Fourier-Transformation berechnen.

Der "Haken" an der letztgenannten Aussagen ist allerdings, dass man die Fourier-Transformierte F x → s x , y → s y ( 2 ) { f } ( s x , s y ) {\textstyle {\mathcal {F}}_{x\rightarrow s_{\mathrm {x} },y\rightarrow s_{\mathrm {y} }}^{(2)}\left\lbrace f\right\rbrace (s_{\mathrm {x} },s_{\mathrm {y} })} nicht in den Frequenz-Parametern s x {\textstyle s_{\mathrm {x} }} und s y {\textstyle s_{\mathrm {y} }} erhält, sondern in Polarkoordinaten ( σ , α ) {\textstyle (\sigma ,\alpha )} . Die Schar an Geraden ℓ α ( σ ) = ( s x , s y ) = ( σ cos ⁡ α , σ sin ⁡ α ) {\textstyle \ell _{\alpha }(\sigma )=(s_{\mathrm {x} },s_{\mathrm {y} })=(\sigma \cos \alpha ,\sigma \sin \alpha )} , mit α ∈ [ 0 , π ) {\textstyle \alpha \in [0,\pi )} , sind die "Schnitte" des Fourier-Schnitt-Theorems.

In der Tomographie werden die Integrale einer Funktion über Geraden bestimmt und mittels inverser Radon-Projektion daraus Bilder berechnet. Beispielsweise wird in der Computertomographie mit Röntgenstrahlung die Absorption der Strahlung längs einer Geraden von der Röntgenquelle zu einem Detektor, also das Integral über die Absorption, bestimmt. Statt Röntgenstrahlen können auch andere Strahlen wie Gammastrahlung wie bei der Positronen-Emissions-Tomographie zur Anwendung kommen. Die Messung erfolgt in all diesen Varianten für sehr viele solche Geraden in einer Ebene, in welcher viele Detektoren und viele Positionen der Strahlenquelle um das zu durchleuchtende Objekt bewegt werden. Es wird dabei die Radon-Transformation der Strahlenabsorption bestimmt, wenngleich auch nur für endlich viele Werte der beiden Parameter. Aus diesen Werten lässt sich mit Hilfe der Rücktransformation das zweidimensionale Bild gewinnen. Das Aneinanderreihen mehrerer solcher zweidimensionaler „Schnittbilder“ ergibt ein dreidimensionales Bild.

Zur Bewertung der bildgebenden Algorithmen werden Testbilder eingesetzt, wie nachfolgend an dem Shepp-Logan-Testbild dargestellt. Das Shepp-Logan-Testbild stellt eine Grafik dar, wie sie in ähnlicher Form in der medizinischen Diagnostik vorkommt, eine vereinfachte Schnittdarstellung durch den menschlichen Kopf:

• Shepp-Logan-Bildsequenz
• 
  Originalbild (Shepp-Logan-Testbild)
• 
  Radon-Transformierte des Originalbildes.
  Berechnet über 180° in 2°-Schritten.
• 
  Das rücktransformierte Bild mit durch die endliche Auflösung bedingten Artefakten

• Anwendung der Radon-Transformation für CT-Aufnahmen (PDF-Datei; 4,07 MB)
• MathWorld-Seite
• Weiterführende Erklärungen

1. ↑ Johann Radon: Über die Bestimmung von Funktionen längs gewisser Mannigfaltigkeiten. In: Berichte über die Verhandlungen der Königlich-Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Mathematisch-Physische Klasse. Band 69, 1917, S. 262–277. 
2. ↑ A. K. Louis: Inverse und schlecht gestellte Probleme. Teubner, 1989 (Kap. 6.1 und 6.2)