Proximum

Das Proximum (oder auch Bestapproximation) ist ein vor allem in der numerischen Mathematik verwendeter Begriff aus der Theorie der metrischen Räume. Das Proximum zu einem Punkt x {\displaystyle x} innerhalb einer x {\displaystyle x} nicht enthaltenden Menge Y {\displaystyle Y} ist derjenige Punkt aus Y {\displaystyle Y} , der zu x {\displaystyle x} den geringsten Abstand hat.

Sei ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} ein metrischer Raum, Y ⊂ X {\displaystyle Y\subset X} eine Teilmenge und x ∈ X {\displaystyle x\in X} beliebig. Der Abstand des Elements x {\displaystyle x} zur Teilmenge Y {\displaystyle Y} wird mittels der Distanzfunktion dist {\displaystyle \operatorname {dist} } definiert durch

dist ⁡ ( x , Y ) := inf y ∈ Y d ( x , y ) . {\displaystyle \operatorname {dist} (x,Y):=\inf _{y\in Y}d(x,y)\,.}

Existiert nun ein p ∈ Y {\displaystyle p\in Y} mit:

d ( x , p ) = dist ⁡ ( x , Y ) {\displaystyle d(x,p)=\operatorname {dist} (x,Y)\,}

so nennt man p {\displaystyle p} Proximum oder Bestapproximation zu x {\displaystyle x} in Y {\displaystyle Y} .

Wenn ein Proximum existiert, so muss es nicht eindeutig sein.

Üblicherweise hat man es in der Approximationstheorie mit einem normierten Raum ( X , ‖ ⋅ ‖ ) {\displaystyle (X,\lVert \cdot \rVert )} zu tun. Ein Proximum p {\displaystyle p} zu x ∈ X {\displaystyle x\in X} in Y ⊂ X {\displaystyle Y\subset X} ist dann – falls existent – charakterisiert durch die Gleichung

‖ x − p ‖ = inf y ∈ Y ‖ x − y ‖ {\displaystyle \lVert x-p\rVert =\inf _{y\in Y}\lVert x-y\rVert }

• Sei ( X , d ) {\displaystyle (X,d)\,} ein metrischer Raum. A ⊂ X {\displaystyle A\subset X} sei eine kompakte Teilmenge. Dann hat jedes x ∈ X {\displaystyle x\in X} ein Proximum in A {\displaystyle A} .

• Sei ( X , ‖ ⋅ ‖ ) {\displaystyle (X,\lVert \cdot \rVert )} ein normierter Raum. V ⊂ X {\displaystyle V\subset X} sei ein endlichdimensionaler Teilraum und Y ⊂ V {\displaystyle Y\subset V} eine abgeschlossene Teilmenge. Dann hat jedes x ∈ X {\displaystyle x\in X} ein Proximum in Y {\displaystyle Y} .

Sei f ∈ C [ a , b ] , U ⊂ C [ a , b ] {\displaystyle f\in C[a,b],U\subset C[a,b]} ein Tschebyschow-System. Dann ist das Proximum für f {\displaystyle f} aus U {\displaystyle U} eindeutig bestimmt.

Sei U {\displaystyle U} ein endlichdimensionaler Unterraum von C [ a , b ] {\displaystyle C[a,b]} . Ist für jedes f ∈ C [ a , b ] {\displaystyle f\in C[a,b]} das Proximum aus U {\displaystyle U} eindeutig bestimmt, dann ist U {\displaystyle U} ein Tschebyschow-System.

Sei f ∈ C [ a , b ] , U ⊂ C [ a , b ] {\displaystyle f\in C[a,b],U\subset C[a,b]} ein n {\displaystyle n} -dimensionales Tschebyschow-System. u 0 ∈ U {\displaystyle u_{0}\in U} ist genau dann ein Proximum für f {\displaystyle f} aus U {\displaystyle U} , wenn es n + 1 {\displaystyle n+1} Stellen x i {\displaystyle x_{i}} mit a ≤ x 0 < x 1 < ⋯ < x n ≤ b {\displaystyle a\leq x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}\leq b} gibt, so dass

• | f ( x i ) − u 0 ( x i ) | = max x ∈ [ a , b ] | f ( x ) − u 0 ( x ) | {\displaystyle |f(x_{i})-u_{0}(x_{i})|=\max _{x\in [a,\,b]}|f(x)-u_{0}(x)|} , i = 0 , … , n {\displaystyle i=0,\ldots ,n} (Extremalpunkt)
• sign ⁡ ( f ( x i − 1 ) − u 0 ( x i − 1 ) ) = − sign ⁡ ( f ( x i ) − u 0 ( x i ) ) {\displaystyle \operatorname {sign} \left(f(x_{i-1})-u_{0}(x_{i-1})\right)=-\operatorname {sign} (f(x_{i})-u_{0}(x_{i}))} , i = 1 , … , n {\displaystyle i=1,\ldots ,n} (alternierend)

Dies folgt aus dem Kolmogorow-Kriterium aus der Approximationstheorie. Auf diesem Kriterium basiert der Remez-Algorithmus zur numerischen Bestimmung des Proximums in Tschebyschow-Systemen.

Ist X {\displaystyle X} ein Hilbertraum und Y ⊂ X {\displaystyle Y\subset X} eine abgeschlossene konvexe nichtleere Teilmenge, dann ist das Proximum eindeutig, das heißt, es existiert zu jedem x ∈ X {\displaystyle x\in X} genau ein p ∈ Y {\displaystyle p\in Y} mit

‖ x − p ‖ ≤ ‖ x − y ‖ ∀ y ∈ Y {\displaystyle \lVert x-p\rVert \leq \lVert x-y\rVert \,\,\forall \,y\in Y} .

Ist Y {\displaystyle Y} ein abgeschlossener Untervektorraum, so erhält man das Proximum p {\displaystyle p} als Orthogonalprojektion von x {\displaystyle x} auf Y {\displaystyle Y} .

• Alternantensatz
• Minimallösung

• Arnold Schönhage: Approximationstheorie. de Gruyter, Berlin 1971, ISBN 3-11-001982-5 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).