Ortsoperator

Der Ortsoperator gehört in der Quantenmechanik zur Ortsmessung von Teilchen.

Der physikalische Zustand Ψ {\displaystyle \Psi } eines Teilchens ist in der Quantenmechanik mathematisch gegeben durch den zugehörigen Vektor eines Hilbertraumes H. Dieser Zustand wird folglich in der Bra-Ket-Notation durch den Vektor | Ψ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle } beschrieben. Die Observablen werden durch selbstadjungierte Operatoren auf H dargestellt.

Speziell ist der Ortsoperator die Zusammenfassung der drei Observablen x ^ = ( x ^ 1 , x ^ 2 , x ^ 3 ) {\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}=({\hat {x}}_{1},{\hat {x}}_{2},{\hat {x}}_{3})} , so dass

E ( x ^ j ) = ⟨ x ^ j Ψ , Ψ ⟩ H   , j = 1 , 2 , 3 {\displaystyle E({\hat {x}}_{j})={\langle {\hat {x}}_{j}\,\Psi ,\Psi \rangle }_{\mathrm {H} }\ ,\quad j=1,2,3}

der Mittelwert (Erwartungswert) der Messergebnisse der j-ten Ortskoordinate des Teilchens im Zustand Ψ {\displaystyle \Psi } ist.

• Die drei Ortsoperatoren sind selbstadjungierte Operatoren x ^ j {\displaystyle {\hat {x}}_{j}} , die mit den ebenfalls selbstadjungierten Impulsoperatoren p ^ k {\displaystyle {\hat {p}}_{k}} die folgenden kanonischen Vertauschungsrelationen erfüllen:

[ x ^ j , p ^ k ] = i ℏ δ j k   , [ x ^ j , x ^ k ] = 0 = [ p ^ j , p ^ k ]   , j , k ∈ { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle [{\hat {x}}_{j},{\hat {p}}_{k}]=\mathrm {i} \,\hbar \,\delta _{jk}\ ,\quad [{\hat {x}}_{j},{\hat {x}}_{k}]=0=[{\hat {p}}_{j},{\hat {p}}_{k}]\ ,\quad j,k\in \{1,2,3\}}

• Daraus folgt, dass die drei Ortskoordinaten gemeinsam messbar sind und dass ihr Spektrum (Bereich der möglichen Messwerte) aus dem gesamten Raum R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} besteht. Die möglichen Orte sind also nicht quantisiert, sondern kontinuierlich.

Die Ortsdarstellung ist durch die Spektraldarstellung des Ortsoperators definiert. Der Hilbertraum H = L 2 ( R 3 ; C ) {\displaystyle H=L^{2}(\mathbb {R} ^{3};\mathbb {C} )} ist der Raum der quadratintegrierbaren komplexen Funktionen des Ortsraums R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} , jeder Zustand Ψ {\displaystyle \Psi } ist durch eine Ortswellenfunktion ψ ( x ) {\displaystyle \psi (\mathbf {x} )} gegeben.

Die Ortsoperatoren x ^ = ( x ^ 1 , x ^ 2 , x ^ 3 ) {\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}=({\hat {x}}_{1},{\hat {x}}_{2},{\hat {x}}_{3})} sind die Multiplikationsoperatoren mit den Koordinatenfunktionen, d. h. der Ortsoperator x ^ j {\displaystyle {\hat {x}}_{j}} wirkt auf Ortswellenfunktionen ψ ( x ) {\displaystyle \psi (\mathbf {x} )} durch die Multiplikation der Wellenfunktion mit der Koordinatenfunktion x j {\displaystyle x_{j}}

( x ^ j ψ ) ( x ) = x j ⋅ ψ ( x ) {\displaystyle ({\hat {x}}_{j}\,\psi )(\mathbf {x} )=x_{j}\cdot \psi (\mathbf {x} )}

Dieser Operator x ^ j {\displaystyle {\hat {x}}_{j}} ist als Multiplikationsoperator ein dicht definierter Operator und abgeschlossen. Er ist auf dem Unterraum D = { ψ ∈ H | x ⋅ ψ ∈ H } {\displaystyle D=\{\psi \in H\,|\,x\cdot \psi \in H\}} definiert, der in H dicht liegt.

Der Erwartungswert ist

E ( x ^ j ) = ⟨ x ^ j Ψ , Ψ ⟩ L 2 = ∫ R 3 x j ψ ( x ) ψ ( x ) ¯ d x = ∫ R 3 x j | ψ ( x ) | 2 d x {\displaystyle E({\hat {x}}_{j})={\langle {\hat {x}}_{j}\,\Psi ,\Psi \rangle }_{L^{2}}=\int _{\mathbb {R} ^{3}}x_{j}\,\psi (\mathbf {x} )\,{\overline {\psi (\mathbf {x} )}}\,\mathrm {d} x=\int _{\mathbb {R} ^{3}}x_{j}\,|\psi (\mathbf {x} )|^{2}\mathrm {d} x}

Der Impulsoperator wirkt auf Ortswellenfunktionen (bei geeigneter Wahl der Phasen) als Differentialoperator:

( p ^ k ψ ) ( x ) = − i ℏ ∂ ∂ x k ψ ( x ) {\displaystyle {\bigl (}{\hat {p}}_{k}\psi {\bigr )}(\mathbf {x} )=-\mathrm {i} \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\psi (\mathbf {x} )}

Die Eigenfunktionen des Ortsoperators müssen die Eigenwertgleichung

( x ^ ψ x 0 ) ( x ) = x 0 ⋅ ψ x 0 ( x ) {\displaystyle ({\hat {x}}\,\psi _{\mathbf {x_{0}} })(\mathbf {x} )=\mathbf {x_{0}} \cdot \psi _{\mathbf {x_{0}} }(\mathbf {x} )}

erfüllen, wobei ψ x 0 ( x ) {\displaystyle \psi _{\mathbf {x_{0}} }(\mathbf {x} )} die Eigenfunktion des Ortsoperators zum Eigenwert x 0 {\displaystyle \mathbf {x_{0}} } darstellt.

Die Eigenfunktionen ψ ( x 0 ) {\displaystyle \psi (\mathbf {x_{0}} )} zum Ortsoperator entsprechen Delta-Distributionen: x ^ δ ( x − x 0 ) = x 0 δ ( x − x 0 ) {\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x_{0}} )=\mathbf {x_{0}} \delta (\mathbf {x} -\mathbf {x_{0}} )}

mit der Identität: f ( x ) δ ( x − x 0 ) = f ( x 0 ) δ ( x − x 0 ) {\displaystyle f(x)\delta (x-x_{0})=f(x_{0})\delta (x-x_{0})}

In der Impulsdarstellung wirkt der Impulsoperator multiplikativ auf Impulswellenfunktionen ψ ~ ( p ) {\displaystyle {\tilde {\psi }}(\mathbf {p} )}

( p ^ k ψ ~ ) ( p ) = p k ⋅ ψ ~ ( p ) {\displaystyle ({\hat {p}}_{k}\,{\tilde {\psi }})(\mathbf {p} )=p_{k}\cdot {\tilde {\psi }}(\mathbf {p} )}

und der Ortsoperator als Differentialoperator:

( x ^ j ψ ~ ) ( p ) = i ℏ ∂ ∂ p j ψ ~ ( p ) {\displaystyle ({\hat {x}}_{j}\,{\tilde {\psi }})(\mathbf {p} )=\mathrm {i} \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial p_{j}}}{\tilde {\psi }}(\mathbf {p} )}

• Jochen Pade: Quantenmechanik zu Fuß 1. Springer, Berlin, Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-25226-6, doi:10.1007/978-3-642-25227-3.