Orthant

Ein Orthant bezeichnet in der Geometrie die Teilmenge des d {\displaystyle d} -dimensionalen Raumes R d {\displaystyle \mathbb {R} ^{d}} , die auf jeweils genau einer Seite der durch den Ursprung verlaufenden achsenparallelen Hyperebenen liegt. Ein Orthant ist damit eine Menge der Form

{ x = ( x 1 , … , x d ) ∈ R d ∣ x i ⋅ d i ≥ 0 } {\displaystyle \{x=(x_{1},\ldots ,x_{d})\in \mathbb {R} ^{d}\mid x_{i}\cdot d_{i}\geq 0\}} ,

wobei die d i ∈ { − 1 , 1 } {\displaystyle d_{i}\in \{-1,1\}} für i ∈ { 1 , … , d } {\displaystyle i\in \{1,\ldots ,d\}} fest gewählt sind.^[1][2]

Daraus folgt, dass es genau 2 d {\displaystyle 2^{d}} Orthanten gibt. Genauer spricht man von abgeschlossenen Orthanten, denn es handelt sich um abgeschlossene Mengen. Die offenen Orthanten erhält man, wenn man in obiger Definition das ≥ {\displaystyle \geq } durch die strikte Ungleichung > {\displaystyle >} ersetzt.

Manche Autoren betrachten auch um einen festen Vektor verschobene Orthanten. So wird in^[3] die Menge { x ∈ R d ∣ x ≤ a } {\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{d}\mid x\leq a\}} als der untere Orthant an den Vektor a ∈ R d {\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{d}} bezeichnet.

• Im R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} sind die Orthanten die vier Quadranten des kartesischen Koordinatensystems.

• Im R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} nennt man die acht Orthanten entsprechend Oktanten.

1. ↑ Oliver Aberth: Introduction to Precise Numerical Methods, Elsevier 2007, ISBN 0-12-373859-8, Seite 142
2. ↑ Branko Grünbaum: Convex Polytopes, 2-te Auflage, Springer 2003, Graduate Texts in Mathematics, ISBN 978-0-387-40409-7, Seite 305
3. ↑ Rainer Dycherhoff, Karl Mosler: Orthant orderings of discrete random vectors, Journal of Statistical Planning and Inference 62 (1997), Seiten 193–205