Ophiuride

Die Ophiuride (von altgriechisch ὀφίουρος ophíouros [gesprochen ophíuros] „schlangenschwänzig“^[1.1] und εἶδος eidos „Gestalt“)^[1.2] – auch Schlangenschwanzlinie genannt – ist eine kubische Kurve. In impliziter Form lässt sie sich durch folgende Gleichung beschreiben:

y 3 + ( x − a ) x y − b x 2 = 0 {\displaystyle y^{3}+\left(x-a\right)xy-bx^{2}=0} .

Darin sind a {\displaystyle a} und b {\displaystyle b} die zueinander rechtwinklig stehenden Seiten des sogenannten Rechtwinkelhakens (blau), der die Form und Lage der Ophiuride bestimmt.

Die Kurve wurde 1809 von Diedrich Uhlhorn veröffentlicht. Für ihre zeichnerische Darstellung existieren spezielle Konstruktionsmethoden. Auffällig ist ihre enge Verwandtschaft zu den Rollkurven, insbesondere zu zwei Rollkurven im weiteren Sinne: der Fußpunktkurve einer Parabel sowie der Zissoide des Diokles (siehe Abschnitt Erzeugung).

Die Ophiuride ermöglicht das geometrische Lösen zweier zentraler klassischer Probleme der Antike: Zum einen die Würfelverdoppelung, also die Konstruktion eines Würfels mit doppeltem Volumen eines gegebenen Würfels und zum anderen die Dreiteilung eines Winkels, bei der ein beliebiger Winkel in drei gleiche Teile zerlegt wird. Aufgrund dieser Eigenschaften ist gewährleistet, dass sich mit Hilfe der Ophiuride alle kubischen Gleichungen geometrisch lösen lassen (siehe Abschnitt Lösen kubischer Gleichungen). Hierzu genügen jeweils eine Gerade und ihre Schnittpunkte mit der Kurvenschleife.^[2]

Urheber der Kurve ist der Autodidakt Diedrich Uhlhorn (1764–1837). Als Mathematiker ist er nie hervorgetreten. Im weiteren Leben wurde er allerdings als Pionier des Maschinenbaus berühmt. Der Bau seiner Münzpresse (1817) bahnte dem Kniehebelprinzip den Weg. Im Jahr 1809 brachte Uhlhorn ein Buch heraus mit dem Titel „Entdeckungen in der höhern Geometrie“. Darin stellt er zahlreiche höhere Kurven vor, zusätzlich auch Werkzeuge zu deren Erzeugung. Die Ophiuride bildet den Auftakt. Ihre Bezeichnung leitet er her aus dem Altgriechischen: „Schlangenschwanzlinie“.^[3.1]

Erklärtes Ziel bei der Vorstellung dieser Kurve ist es, einen Großteil der antiken Lösungen zu den „Großen Problemen“ (Würfelverdoppelung, Dreiteilung des Winkels) – die berüchtigten Neusis-Konstruktionen – von dem Vorwurf zu befreien, eine Verwirklichung sei hier nur möglich mittels Probieren. Johann Christoph Sturm hatte von „Hin- und Wiederrukken“ eines Lineals gesprochen (1670),^[4] Jean-Étienne Montucla erstmals von Herantasten (« une sorte de tâtonnement », 1758).^[5] Uhlhorn betont wiederholt: „Ohne Probieren lässt sich das Gesuchte auf folgende Art finden: […]“^[3.2][6]

Die Kurve zeichnet sich zunächst einmal dadurch aus, dass sie in das Umfeld der aus der Antike überlieferten Lösungen eingepasst ist: Auch die Lösungen von Nikomedes basieren auf einer Kurve, der Konchoide. Uhlhorn stellt drei Geräte zur Erzeugung seiner Kurve vor,^[3.3] ausgehend von unterschiedlichen Lösungsansätzen der Antike (Platon, Apollonius und Philo). Dem im Abschnitt Mittels Doppelgnomon abgebildeten Gerät gibt er den Vorzug.^[3.4]

Der Ansatz der Lösung Platon legt einen Rückgriff auf eine Kurve nahe. Das war bereits Thomas Heath aufgefallen. In seiner History of Greek Mathematics (1921) – mehr als 100 Jahre nach Uhlhorn – leitet er die Gleichung einer Ortskurve her. Diese Gleichung stellt die Ophiuride dar. Eine Darstellung der Kurve fehlt hier ebenso wie eine Bezeichnung.^[7] Anders bei Wilbur Richard Knorr: Dieser mutmaßt, die Bezeichnung sei erst in der Neuzeit aufgekommen, und er verweist auf das Buch von Uhlhorn. Zu der Kurve selbst meint Knorr, sie könne auf Eudoxus zurückgehen. In der Zissoide des Diokles erkennt er einen Spezialfall der Ophiuride. Eigentlich habe sogar Platon diese Kurve erfinden können. Das Gerät, das diesem zur Lösung des Delischen Problems zugeschrieben wird, lege jedenfalls einen Einsatz als Kurvenplotter nahe: “the method for doing so is evident.”^[8] Das erste der Uhlhornschen Zeichengeräte für die Ophiuride wendet eben diesen Ansatz praktisch an.

Gegeben sei ein Rechtwinkelhaken A B C {\displaystyle ABC} mit den kartesischen Koordinaten der Punkte A = ( 0 | 0 ) {\displaystyle A=(0|0)} und den frei wählbaren B = ( 2 | 0 ) {\displaystyle B=(2|0)} und C = ( 2 | − 1 ) {\displaystyle C=(2|-1)} , den Kantenlängen | A B ¯ | = a {\displaystyle |{\overline {AB}}|=a} und | B C ¯ | = b {\displaystyle |{\overline {BC}}|=b} sowie mit | A F ¯ | = | E D ¯ | = x {\displaystyle |{\overline {AF}}|=|{\overline {ED}}|=x} und | F D ¯ | = | A E ¯ | = y {\displaystyle |{\overline {FD}}|=|{\overline {AE}}|=y} .

Der Punkt P {\displaystyle P} bewege sich auf der Geraden, die durch | A B ¯ | {\displaystyle |{\overline {AB}}|} verläuft. Die Ophiuride zum Rechtwinkelzug A B C {\displaystyle ABC} ist dann die Ortslinie des Schnittpunktes D {\displaystyle D} der Parallelen zu C P ¯ {\displaystyle {\overline {CP}}} durch A {\displaystyle A} mit der Senkrechten zu C P ¯ {\displaystyle {\overline {CP}}} in P {\displaystyle P} .

Eine Gleichung der Ophiuride leitet Uhlhorn allgemein her:^[9.1][3.5]

„Bei Uhlhorn sind x und y vertauscht“^[9.1]

x 3 + ( y 2 − a y ) x − b y 2 = 0 {\displaystyle x^{3}+\left(y^{2}-ay\right)x-by^{2}=0}

Damit würde die Ophiuride, z. B. mit a = 2 , b = 1 {\displaystyle a=2,\;b=1} , im Gegensatz zu den betreffenden Darstellungen in den Tabellen, parallel zur y-Achse verlaufen.^[3.6][10.1]

Herleitung der Gleichung

Aufgrund der ähnlichen Dreiecke △ D A F ∼ △ P D F ∼ △ C P B {\displaystyle \triangle {DAF}\sim \triangle {PDF}\sim \triangle {CPB}} gilt:

| A F ¯ | : | F D ¯ | = | F D ¯ | : | F P ¯ | {\displaystyle |{\overline {AF}}|:|{\overline {FD}}|=|{\overline {FD}}|:|{\overline {FP}}|} , oder auch x : y = y : | F P ¯ | {\displaystyle x:y=y:|{\overline {FP}}|} ,

daraus folgt: | F P ¯ | = y 2 x {\displaystyle |{\overline {FP}}|={\frac {y^{2}}{x}}} .

Darüber hinaus gilt: | F D ¯ | : | A F ¯ | = | B C ¯ | : | B P ¯ | {\displaystyle |{\overline {FD}}|:|{\overline {AF}}|=|{\overline {BC}}|:|{\overline {BP}}|} ,

oder auch y : x = b : | B P ¯ | {\displaystyle y:x=b:|{\overline {BP}}|} ,

daraus folgt: | B P ¯ | = b x y {\displaystyle |{\overline {BP}}|={\frac {bx}{y}}} .

Nun ist | F B ¯ | = | A B ¯ | − | A F ¯ | {\displaystyle |{\overline {FB}}|=|{\overline {AB}}|-|{\overline {AF}}|} , oder | F B ¯ | = a − x {\displaystyle |{\overline {FB}}|=a-x}

und | F P ¯ | = | F B ¯ | + | B P ¯ | {\displaystyle |{\overline {FP}}|=|{\overline {FB}}|+|{\overline {BP}}|} , oder | F P ¯ | = a − x + b x y {\displaystyle |{\overline {FP}}|=a-x+{\frac {bx}{y}}} .

Wegen | F P ¯ | = y 2 x {\displaystyle |{\overline {FP}}|={\frac {y^{2}}{x}}} (siehe oben) ist folglich^[3.5]

y 2 x = a − x + b x y {\displaystyle {\frac {y^{2}}{x}}=a-x+{\frac {bx}{y}}}    | ⋅ x y {\displaystyle |\cdot xy}

y 3 = a y x − y x 2 + b x 2 {\displaystyle \;y^{3}=ayx-yx^{2}+bx^{2}}

Somit gilt:^[9.2]

y 3 − a x y + x 2 y − b y 2 = 0 {\displaystyle y^{3}-axy+x^{2}y-by^{2}=0} ,

schließlich umgeformt:

y 3 + ( x − a ) x y − b x 2 = 0 {\displaystyle y^{3}+\left(x-a\right)xy-bx^{2}=0} .^{[A 1]}

Im Eingangsbeispiel mit ( a = 2 ; b = 1 ) {\displaystyle \left(a=2;\;b=1\right)} führt das auf die Gleichung

y 3 + ( x − 2 ) x y − 1 x 2 = 0 {\displaystyle y^{3}+\left(x-2\right)xy-1x^{2}=0} .

Wählt man andererseits a = 1 {\displaystyle a=1} und b {\displaystyle b} beliebig, erhält man eine Kurvenschar (siehe Abschnitt Würfelverdoppelung)

y 3 + ( x − 1 ) x y − b x 2 = 0 {\displaystyle y^{3}+\left(x-1\right)xy-bx^{2}=0} .

Gegeben sei eine Parabel p {\displaystyle p} , l {\displaystyle l} die zugehörige Leitlinie. P {\displaystyle P} sei ein beweglicher Punkt auf der Parabel p {\displaystyle p} , t {\displaystyle t} die zugehörige Tangente. X {\displaystyle X} sei ein beliebiger Punkt auf einer Linie, die parallel zur Leitlinie und durch den Scheitel S {\displaystyle S} verläuft. Die Ortslinie des Schnittpunkts D {\displaystyle D} von t {\displaystyle t} mit dem Lot von X {\displaystyle X} auf t {\displaystyle t} ist dann eine Ophiuride. Ist P {\displaystyle P} der Scheitelpunkt der Parabel p {\displaystyle p} , so ergibt sich die Zissoide des Diokles.^[11.1]

Konstruktion^[9.3]

Es beginnt mit dem Einzeichnen der Parabel p : y = x 2 {\displaystyle p:y=x^{2}} mit Scheitelpunkt S ( 0 | 0 ) {\displaystyle S(0|0)} , dem Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems. Der Kreis mit Radius 0 , 25 {\displaystyle {0{,}25}} (entspricht 1 4 {\displaystyle {\tfrac {1}{4}}} des Koeffizienten 1 {\displaystyle 1} der Parabelgleichung y = 1 x 2 {\displaystyle y=1x^{2}} ) um Punkt S {\displaystyle S} schneidet die y {\displaystyle y} -Achse im Brennpunkt F {\displaystyle F} und im Punkt A {\displaystyle A} . Durch A {\displaystyle A} wird die Leitlinie l {\displaystyle l} parallel zur x {\displaystyle x} -Achse gezogen.

Der bewegliche Punkt P {\displaystyle P} wird auf die Parabel gesetzt, anschließend die zugehörige Tangente t {\displaystyle t} bestimmt. Hierzu dient ein Kreis mit Radius | F P ¯ | {\displaystyle |{\overline {FP}}|} um den Punkt F {\displaystyle F} , generiert wird damit der Schnittpunkt B {\displaystyle B} auf der y {\displaystyle y} -Achse. Nach dem Ziehen der Tangente t {\displaystyle t} durch P {\displaystyle P} und B {\displaystyle B} setzt man den festen Punkt X {\displaystyle X} beliebig auf die x {\displaystyle x} -Achse. Eine Senkrechte durch X {\displaystyle X} schneidet die Leitlinie l {\displaystyle l} in C {\displaystyle C} . Im dargestellten Beispiel hat der Rechtwinkelhaken S X C {\displaystyle SXC} die Längen a = 1 {\displaystyle a=1} und b = 0 , 25 {\displaystyle b=0{,}25} . Abschließend zieht man eine, auf die Tangente t {\displaystyle t} senkrecht stehende Gerade g {\displaystyle g} durch X {\displaystyle X} . Schnittpunkt ist D {\displaystyle D} , der liegt auf der Ortslinie der Ophiuride.

Wird der Punkt P {\displaystyle P} auf der Parabel p {\displaystyle p} bewegt (siehe Animation), generiert Punkt D {\displaystyle D} den Graphen der Ophiuride mit deren Berührpunkt E {\displaystyle E} auf der Parabel. Für den so erzeugten Graphen der Ophiuride gilt die kubische Gleichung:

y 3 + ( x − a ) x y + b ( x − 1 ) 2 = 0 {\displaystyle y^{3}+\left(x-a\right)xy+b\left(x-1\right)^{2}=0} ^[10.2]

Gegeben sei ein Kreis k {\displaystyle k} und eine Gerade g {\displaystyle g} außerhalb. P {\displaystyle P} sei ein fester Punkt auf dem Kreis k {\displaystyle k} . X {\displaystyle X} sei ein beliebiger Punkt auf k {\displaystyle k} . Die Strecke X P ¯ {\displaystyle {\overline {XP}}} sei verlängert bis zum Schnittpunkt S {\displaystyle S} mit der Geraden g {\displaystyle g} . Die Ortslinie der Mittelpunkte D {\displaystyle D} der Strecke X S ¯ {\displaystyle {\overline {XS}}} ist dann eine Ophiuride. Die Zissoide des Diokles – ein Spezialfall der Ophiuride – ergibt sich hier, wenn der Punkt P {\displaystyle P} auf dem Lot vom Zentrum des Kreises auf die Gerade g {\displaystyle g} liegt.^[9.4]

Konstruktion^[9.5]

• Für die nebenstehende Darstellung „Ophiuride gleich Zissoide des Diokles …“ setzt man beispielsweise den Kreis k {\displaystyle k} mit Radius r = 2 a = 1 {\displaystyle r=2a=1} auf die Koordinaten ( 0 | − 1 ) {\displaystyle (0|-1)} eines kartesischen Koordinatensystems. Schnittpunkt ist P ( 0 | 0 ) {\displaystyle P(0|0)} . Nach dem Bestimmen des Punktes E ( 0 | 2 ) {\displaystyle E(0|2)} wird die zur x {\displaystyle x} -Achse parallele Gerade g {\displaystyle g} gezogen. Nun wird der Punkt X {\displaystyle X} beliebig auf den Kreis k {\displaystyle k} gesetzt. Es folgt eine Gerade, die durch X {\displaystyle X} und P {\displaystyle P} verläuft und dabei den Schnittpunkt S {\displaystyle S} generiert. Abschließend wird die Strecke X S ¯ {\displaystyle {\overline {XS}}} in D {\displaystyle D} halbiert. Der so erzeugte Punkt D {\displaystyle D} liegt auf der Ortslinie der Ophiuride.

Wird der Punkt S {\displaystyle S} auf der Geraden g {\displaystyle g} bewegt, generiert Punkt D {\displaystyle D} den gesuchten Graphen der Ophiuride gleich einer Zissoide des Diokles, darin ist 2 a = 1 {\displaystyle 2a=1} :

x 2 ( 2 a − y ) − y 3 = 0 {\displaystyle x^{2}\left(2a-y\right)-y^{3}=0} ^[10.3]

• Für die darunter stehende Darstellung „Ophiuride von Kreis und Gerade“ setzt man den Kreis k {\displaystyle k} beispielsweise auf den Mittelpunkt M ( 1 , 2 | 0 , 7 ) {\displaystyle M(1{,}2|0{,}7)} , damit ist a = 1 , 2 {\displaystyle a=1{,}2} und b = 0 , 7 {\displaystyle b=0{,}7} sowie der Radius | M P ¯ | {\displaystyle |{\overline {MP}}|} . Der Punkt E {\displaystyle E} wird mittels Kreisbogen und dem Radius | P M ¯ | {\displaystyle |{\overline {PM}}|} bestimmt und anschließend die zur x {\displaystyle x} -Achse parallele Gerade g {\displaystyle g} gezogen. Die nächste Gerade verläuft durch X {\displaystyle X} und P {\displaystyle P} ; sie erzeugt dabei den Schnittpunkt S {\displaystyle S} . Abschließend wird die Strecke X S ¯ {\displaystyle {\overline {XS}}} in D {\displaystyle D} halbiert. Der so erzeugte Punkt D {\displaystyle D} liegt auf der Ortslinie der Ophiuride.

Wird der Punkt S {\displaystyle S} auf der Geraden g {\displaystyle g} bewegt, generiert Punkt D {\displaystyle D} den gesuchten Graphen der Ophiuride von Kreis und Gerade:

y 3 + ( x − a ) x y − b x 2 = 0 {\displaystyle y^{3}+\left(x-a\right)xy-bx^{2}=0} ^[10.4]

Das Gerät besteht aus zwei rechtwinkligen U-förmigen Holzgestellen. Die freien Schenkel des oberen U {\displaystyle U} verfügen in Längsrichtung über Aussparungen, in denen die freien Schenkel des unteren U {\displaystyle U} beweglich geführt werden. Auf dem Bügel des unteren U {\displaystyle U} ist ein Stift L {\displaystyle L} angebracht. Ihm genau gegenüber auf dem Bügel des oberen U {\displaystyle U} befindet sich ein Schreibstift K {\displaystyle K} .

Gegeben sei eine Gerade, die durch | G H ¯ | {\displaystyle |{\overline {GH}}|} verläuft, mit dem Teilpunkt I {\displaystyle I} . In I {\displaystyle I} sei eine Strecke der Länge a {\displaystyle a} abgetragen bis zum Punkt N {\displaystyle N} , auf dem Lot in N {\displaystyle N} eine Strecke der Länge b {\displaystyle b} bis zum Punkt M {\displaystyle M} . Das Gerät liegt dann mit seinem Innenbügel E F ¯ {\displaystyle {\overline {EF}}} im Punkt I {\displaystyle I} fest an, gleichzeitig mit dem Außenbügel A B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}} im Punkt M {\displaystyle M} . Der auf dem Außenbügel A B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}} fixierte Punkt L {\displaystyle L} wird über den Stift L {\displaystyle L} in der „Rinne“ G H ¯ {\displaystyle {\overline {GH}}} geführt. Dreht man den Bügel E F ¯ {\displaystyle {\overline {EF}}} um den Punkt I {\displaystyle I} , so bewegt sich der Punkt L {\displaystyle L} auf G H ¯ {\displaystyle {\overline {GH}}} voran. Der Schreibstift K {\displaystyle K} zeichnet dann die Kurve auf.^[3.7][3.8]

Die Kantenlänge | x ¯ | {\displaystyle |{\overline {x}}|} des verdoppelten Einheitswürfels lässt sich mit der Ophiuride als Quadratwurzel aus der Ordinate des Schnittpunkts D {\displaystyle D} konstruieren. Setzt man a = 1 {\displaystyle a=1} und lässt b {\displaystyle b} (siehe Abschnitt Definition) die Werte von 1 {\displaystyle 1} bis 8 {\displaystyle 8} durchlaufen, so wird die Konstruktion von kubischen Wurzeln noch einfacher: Die Seite für die entsprechende Vervielfachung des Einheitswürfels ergibt sich jeweils direkt als Länge auf der Geraden zu x = 1 {\displaystyle x=1} .^[9.6]

Abschließend stellt Uhlhorn eine Lösung des zweiten der Großen Probleme der Antike mithilfe der Ophiuride vor, der Dreiteilung eines Winkels (Bild 1 rechts).^[3.9] Uhlhorn erklärt: Die zusätzlichen Lösungen zur Dreiteilung des 60 ∘ {\displaystyle 60^{\circ }} –Winkels gelten für die Winkel ( 180 − 60 ) ∘ {\displaystyle \left(180-60\right)^{\circ }} und ( 180 + 60 ) ∘ {\displaystyle \left(180+60\right)^{\circ }} .^[3.10]

Konstruktion

(Bild 2, angepasst an Bild 1; animiert in Bild 3)

Auf einer Geraden wird zunächst der Punkt H {\displaystyle H} (entspricht dem Nullpunkt eines kartesischen Koordinatensystems) festgelegt und anschließend die Strecke H A ¯ = 2 = a {\displaystyle {\overline {HA}}=2=a} bestimmt. Es folgen der Halbkreis mit Radius | A B ¯ | {\displaystyle |{\overline {AB}}|} um A {\displaystyle A} , Schnittpunkt mit der Geraden ist B {\displaystyle B} (der zweite Schnittpunkt ist ohne Bezeichnung). Nun wird die Strecke H B ¯ {\displaystyle {\overline {HB}}} in M {\displaystyle M} halbiert. Das Errichten der Senkrechten, auf H B ¯ {\displaystyle {\overline {HB}}} in M {\displaystyle M} , schließt sich an. Der beispielsweise zu drittelnde Winkel α 1 = 60 ∘ {\displaystyle \alpha _{1}=60^{\circ }} wird mit dem Einzeichnen des Winkelschenkels | A C ¯ | {\displaystyle |{\overline {AC}}|} eingetragen. Dabei ergibt sich auch dessen Supplementwinkel α 2 = 120 ∘ {\displaystyle \alpha _{2}=120^{\circ }} . Mit dem Fällen des Lots ab C {\displaystyle C} auf den feststehenden Winkelschenkel ergibt sich der Fußpunkt D {\displaystyle D} sowie mit C D ¯ {\displaystyle {\overline {CD}}} der Sinuswert der Winkel α 1 = 60 ∘ {\displaystyle \alpha _{1}=60^{\circ }} und α 2 = 120 ∘ {\displaystyle \alpha _{2}=120^{\circ }} .

Weiter geht es mit dem Einzeichnen der Ophiuride mithilfe der Gleichung:

y 3 + ( x − a ) x y + sin ⁡ ( α ) x 2 = 0 {\displaystyle y^{3}+\left(x-a\right)xy+\sin(\alpha )x^{2}=0} .

Dabei schneidet die Ophiuride die Senkrechte über M {\displaystyle M} in den Punkten O {\displaystyle O} und P {\displaystyle P} . Abschließend zieht man eine Parallele zu M A ¯ {\displaystyle {\overline {MA}}} durch O {\displaystyle O} und eine zweite Parallele durch P {\displaystyle P} . Die so erzeugten Schnittpunkte E {\displaystyle E} und Q {\displaystyle Q} mit dem Halbkreis liefern die gesuchten Winkel β 1 = 20 ∘ {\displaystyle \beta _{1}=20^{\circ }} bzw. β 2 = 40 ∘ {\displaystyle \beta _{2}=40^{\circ }} .

Die wichtigsten Stationen auf dem Weg zum exakten Lösen von kubischen Gleichungen markieren Omar Chayyām (um 1100) mit seinem Algebra-Buch,^[12] François Viète (Vieta) mit seiner Abhandlung „Supplementum Geometriae“ (1593) und René Descartes (Cartesius) mit seiner „Géométrie“ (1637). Chayyam hatte für jede der 19 Typen kubischer Gleichungen eine Lösung „mit Kegelschnitten“ (Parabel und Hyperbel) vorgelegt. Vieta hatte grundsätzlich klargestellt: Mit der Neusis-Option sind alle Fälle abgedeckt. Eine Anwendung in Form eines Beispiels fehlt bei ihm. Isaac Newton setzt diesen Ansatz später konkret um in seinen „Lucasian Lectures on Algebra“.

Descartes hatte gezeigt: Der Schnitt der Normalparabel mit einem Kreis reicht in jedem Fall aus.^[3.11] Gleichzeitig hat Descartes die Möglichkeit eröffnet, für derartige Aufgaben neue Kurven einzuführen,^[13.1] « […] qui peuvent aussi estres descrites par un mouvement regulier & continu […]. »^[13.2] Einfacher gesagt: Eine zulässige Kurve muss durch die stetige Bewegung eines Punktes erzeugbar sein. Seit dieser Zeit sind zur Festlegung von Punkten und Strecken einzig Kurven zulässig. Genau dieses Cartesische Konzept greift Uhlhorn mit seinen Kurven auf. Die Lösungen, die sich speziell auf die Ophiuride gründen, zeichnen sich dabei dadurch aus – so betont Uhlhorn selbst –, dass man in jedem Fall „mit nur einer krummen Linie“ auskommt.^[3.12]

Weitergehend zeigt Uhlhorn im Anschluss: Alle kubischen Gleichungen lassen sich mit der Ophiuride lösen.^[3.13] Mit dieser grundlegenden Feststellung setzt Uhlhorn einen Schlusspunkt unter ein Jahrhunderte anhaltendes Bemühen um ein exaktes Lösen von höheren – insbesondere kubischen – Gleichungen. Die Zahlwerte der Lösungen von kubischen Gleichungen lassen sich in der Regel nur näherungsweise angeben.

Bei dem im Abschnitt Konstruktion 1 erläuterten Beispiel liegt der sog. „casus irreducibilis“ der Cardanischen Formeln vor. Diese erfordern das Ziehen von kubischen Wurzeln aus imaginären Zahlen. Im Beispiel ergibt sich für den Hauptwert x {\displaystyle x} die Näherung 0,347 29 … {\displaystyle 0{,}34729\ldots } . Die geschlossene Darstellung lautet: x = 2 ⋅ sin ⁡ ( 10 ∘ ) {\displaystyle x=2\cdot \sin(10^{\circ })} .

Im Abschnitt Methode 2 wird beispielhaft gezeigt, wie eine kubische Gleichung mit x 2 {\displaystyle x^{2}} -Term grafisch gelöst wird.

Eine formal korrekte Einführung dazu – als Rechnen mit gerichteten Strecken – gelang dem Norweger Caspar Wessel (1799). Allgemein bekannt wurde dieser Ansatz erst durch eine Arbeit von Carl Friedrich Gauß (1831).^[14]

Gegeben sei die kubische Gleichung^[3.14]

x 3 − f x − g = 0 {\displaystyle x^{3}-fx-g=0} .

Darin fehlt das noch zu ermittelnde zweite Glied y {\displaystyle y} . Sind die Koeffizienten mit f {\displaystyle f} und g {\displaystyle g} bezeichnet und nutzt man für das Bestimmen von y {\displaystyle y} die folgende Gleichung nach Uhlhorn^[3.14]

x 3 − ( a y − y 2 ) x − b y 2 = 0 {\displaystyle x^{3}-\left(ay-y^{2}\right)x-by^{2}=0} ,

folgt daraus:

a y − y 2 = f {\displaystyle ay-y^{2}=f} und b y 2 = g {\displaystyle by^{2}=g} .

Aus diesen zwei Gleichungen sind die unbekannten Größen a , b {\displaystyle a,b} und y {\displaystyle y} bestimmbar. Eine von den Dreien kann ausgewählt werden, allerdings ist es vorteilhaft y {\displaystyle y} (im Beispiel als ganze Zahl) festzulegen. Somit gilt:

a = f + y 2 y {\displaystyle a={\frac {f+y^{2}}{y}}}  und  b = g y 2 {\displaystyle b={\frac {g}{y^{2}}}} .

Graphische Lösung der kubischen Gleichung x 3 − 3 x + 1 = 0 {\displaystyle x^{3}-3x+1=0} .

Es beginnt mit der Berechnung der Werte a {\displaystyle a} und b {\displaystyle b} , mit y = 2 {\displaystyle y=2} , für die Ophiuride.^[3.14]

a = f + y 2 y {\displaystyle a={\frac {f+y^{2}}{y}}} ,   darin ist f {\displaystyle f} der Koeffizient 3 {\displaystyle 3} von x {\displaystyle x} aus der kubischen Gleichung,

a = 3 + 2 2 2 = 3 , 5 {\displaystyle a={\frac {3+2^{2}}{2}}=3{,}5} ,

b = g y 2 {\displaystyle b={\frac {g}{y^{2}}}} ,   darin ist g {\displaystyle g} die Zahl 1 {\displaystyle 1} aus der kubischen Gleichung,

b = 1 2 2 = 1 4 {\displaystyle b={\frac {1}{2^{2}}}={\frac {1}{4}}} .

Es geht weiter mit dem Eintragen des Rechtwinkelhakens (blau) mit Kantenlänge a = 3 , 5 = | A B ¯ | {\displaystyle a=3{,}5=|{\overline {AB}}|} ( A {\displaystyle A} entspricht dem Nullpunkt eines kartesischen Koordinatensystems) auf der y {\displaystyle y} -Achse und der auf | A B ¯ | {\displaystyle |{\overline {AB}}|} senkrecht stehenden Kantenlänge b = 1 4 = | B C ¯ | {\displaystyle b={\tfrac {1}{4}}=|{\overline {BC}}|} . Nun wird auf | A B ¯ | {\displaystyle |{\overline {AB}}|} der Punkt M {\displaystyle M} mit Abstand | A M ¯ | = y = 2 {\displaystyle |{\overline {AM}}|=y=2} bestimmt sowie eine auf | A B ¯ | {\displaystyle |{\overline {AB}}|} senkrecht stehende Gerade p {\displaystyle p} durch M {\displaystyle M} gezogen. Abschließend generiert man die Ophiuride (rot) mit den ermittelten Werten für a {\displaystyle a} und b {\displaystyle b} anhand der Gleichung:

x 3 + ( y − a ) y x + b y 2 = 0 {\displaystyle x^{3}+\left(y-a\right)yx+by^{2}=0} .

Die Ophiuride wird dabei dreimal von der Geraden p {\displaystyle p} durch M ( 2 | 0 ) {\displaystyle M(2|0)} geschnitten. Die Schnittpunkte x 1 , x 2 {\displaystyle x_{1},x_{2}} und x 3 {\displaystyle x_{3}} sind die drei möglichen Lösungen der gegebenen kubischen Gleichung.^[10.5] Zwei davon sind irrational und eine entspricht 2 ⋅ sin ⁡ ( 10 ∘ ) {\displaystyle 2\cdot \sin(10^{\circ })} :

x 3 − 3 x + 1 = 0 {\displaystyle x^{3}-3x+1=0} ,

x 1 = 1,532 08 … {\displaystyle x_{1}=1{,}53208\ldots } ,

x 2 = 0,347 29 … = 2 ⋅ sin ⁡ ( 10 ∘ ) {\displaystyle x_{2}=0{,}34729\ldots =2\cdot \sin(10^{\circ })} ,

x 3 = − 1,879 38 … {\displaystyle x_{3}=-1{,}87938\ldots } .

Gegeben sei die kubische Gleichung x 3 − 7 x 2 + 16 x − 12 = 0 {\displaystyle x^{3}-7x^{2}+16x-12=0} ^[15]

Um für die graphische Lösung wieder die Gleichung x 3 + ( y − a ) y x + b y 2 = 0 {\displaystyle x^{3}+\left(y-a\right)yx+by^{2}=0} der Ophiuride verwenden zu können, bedarf es der Reduktion der Gleichung auf die Normalform z 3 + p ⋅ z + q = 0 {\displaystyle z^{3}+p\cdot z+q=0} und einer weiteren Umformung — mittels Einsetzen des ermittelten Wertes für z {\displaystyle z} — um schließlich die erforderliche Cardanische Formel x 3 + p x + q = 0 {\displaystyle x^{3}+px+q=0} der gegebenen Gleichung zu erhalten.

(1)   x 3 − 7 x 2 + 16 x − 12 = 0 {\displaystyle x^{3}-7x^{2}+16x-12=0} ,

Normalform mit dem reduzierten quadratischen Glied − 7 x 2 {\displaystyle -7x^{2}}

(2)   z 3 + p ⋅ z + q = 0 {\displaystyle z^{3}+p\cdot z+q=0} ,

verwendete Substitution

(3)   x = z + 7 3 {\displaystyle x=z+{\frac {7}{3}}} , daraus folgt:

(4)   z = x − 7 3 {\displaystyle z=x-{\frac {7}{3}}} ,

x {\displaystyle x} aus Gleichung (3) eingesetzt in (1) ergibt nach div. Rechenschritten

(5)   z 3 − 1 3 z − 2 27 = 0 {\displaystyle z^{3}-{\frac {1}{3}}z-{\frac {2}{27}}=0} ,^[10.6]

somit ist p = − 1 3 {\displaystyle p=-{\frac {1}{3}}} und q = − 2 27 {\displaystyle q=-{\frac {2}{27}}} . z {\displaystyle z} aus Gleichung (4) eingesetzt in die Cardanische Formel x 3 + p x + q = 0 {\displaystyle x^{3}+px+q=0} :

(6)   ( x − 7 3 ) 3 − 1 3 ( x − 7 3 ) − 2 27 = 0 {\displaystyle \left(x-{\frac {7}{3}}\right)^{3}-{\frac {1}{3}}\left(x-{\frac {7}{3}}\right)-{\frac {2}{27}}=0} ,

Der Summand − 7 3 {\displaystyle -{\frac {7}{3}}} von x {\displaystyle x} weist auf den Abstand d ( A , B ) = 7 3 {\displaystyle d(A,B)={\frac {7}{3}}} hin, den die implizite Kurve (6) zum Koordinatenursprung hat.

Berechnung der Werte a {\displaystyle a} und b {\displaystyle b} mit y = 1 {\displaystyle y=1} für die Ophiuride,^[3.14] darin sind f {\displaystyle f} der Koeffizient 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} und g {\displaystyle g} die Zahl 2 27 {\displaystyle {\frac {2}{27}}} aus der Gleichung (6).

a = f + y 2 y = 1 3 + 1 2 1 = 4 3 {\displaystyle a={\frac {f+y^{2}}{y}}={\frac {{\frac {1}{3}}+1^{2}}{1}}={\frac {4}{3}}}

b = g y 2 = 2 27 1 = 2 27 {\displaystyle b={\frac {g}{y^{2}}}={\frac {\frac {2}{27}}{1}}={\frac {2}{27}}}

Wird ( x − 7 3 ) {\displaystyle \left(x-{\frac {7}{3}}\right)} für x {\displaystyle x} in die allgemeine Gleichung der Ophiuride x 3 + ( y − a ) y x + b y 2 = 0 {\displaystyle x^{3}+\left(y-a\right)yx+by^{2}=0} eingesetzt (siehe (6), Abstand d ( A , B ) = 7 3 {\displaystyle d(A,B)={\frac {7}{3}}} zum Koordinatenursprung), so erhält man schließlich deren angepasste Gleichung:

(7)   ( x − 7 3 ) 3 + ( y − a ) y ( x − 7 3 ) + b y 2 = 0 {\displaystyle \left(x-{\frac {7}{3}}\right)^{3}+\left(y-a\right)y\left(x-{\frac {7}{3}}\right)+by^{2}=0} .^[10.7]

Nun wird in einem kartesischen Koordinatensystem der Rechtwinkelhaken (blau) senkrecht zur x {\displaystyle x} -Achse, ab x = 7 3 {\displaystyle x={\tfrac {7}{3}}} eingetragen. Die Kantenlängen sind a = 4 3 = | B C ¯ | {\displaystyle a={\tfrac {4}{3}}=|{\overline {BC}}|} und b = 2 27 = | C D ¯ | {\displaystyle b={\tfrac {2}{27}}=|{\overline {CD}}|} . Nach dem Ziehen der Geraden p : y = 1 {\displaystyle p:y=1} generiert man die Ophiuride (rot) mit den ermittelten Werten für a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} und y = 1 {\displaystyle y=1} anhand der Gleichung (7). Die Ophiuride wird von der Geraden p {\displaystyle p} geschnitten, dabei ist der Berührpunkt mit der Ophiuride x 1 , x 2 {\displaystyle x_{1},x_{2}} eine sogenannte Doppellösung. Die drei möglichen Lösungen der kubischen Gleichung x 3 − 7 x 2 + 16 x − 12 = 0 {\displaystyle x^{3}-7x^{2}+16x-12=0} sind:

x 1 = 2 {\displaystyle x_{1}=2} ,

x 2 = 2 {\displaystyle x_{2}=2} ,

x 3 = 3 {\displaystyle x_{3}=3} .

Eine Spiegelung am Einheitskreis führt für die Ophiuride zur Würfelverdoppelung auf eine Hyperbel.^[9.7] Uhlhorn zeigt: Auf ebendiese Hyperbel führt der Ansatz der Neusis-Lösung von Sporus.^[3.15] Vor allem aber lässt sich damit auch die Neusis-Lösung von Pappus retten. Immerhin hatte dieser erklärt, allein Kegelschnitte seien als Mittel zum Lösen zulässig. Eine Lösung, die sich an seine Vorgabe hält, hatte Pappus aber nie vorgelegt. Im Untertitel seiner „Entdeckungen“ heißt es bei Uhlhorn: „theoretisch und practisch abgehandelt“. So fehlt auch bei dieser speziellen Hyperbel nicht ein Werkzeug zu ihrer praktischen Erzeugung: Die Neusis-Bedingung der Längengleichheit der Abschnitte | a b ¯ | {\displaystyle |{\overline {ab}}|} und | b c ¯ | {\displaystyle |{\overline {bc}}|} wird hier rein mechanisch sichergestellt. Die Kurve wird aufgezeichnet durch einen Stift im Punkt c {\displaystyle c} .^[3.16][3.17]

Konstruktion

Nach dem Einzeichnen des Einheitskreises (Inversionskreis) mit Radius r = 1 {\displaystyle r=1} um den Nullpunkt O {\displaystyle O} eines kartesischen Koordinatensystems, wird die Ophiuride mit den Parametern für die Würfelverdoppelung a = 2 {\displaystyle a=2} bzw. b = 1 {\displaystyle b=1} mithilfe der folgenden Gleichung eingetragen:

y 3 + ( x − 2 ) x y − x 2 = 0 {\displaystyle y^{3}+\left(x-2\right)xy-x^{2}=0} .^[10.8]

Die Ophiuride schneidet dabei den Inverskreis in den Punkten A {\displaystyle A} und B {\displaystyle B} sowie den Nullpunkt O {\displaystyle O} . Es folgt je ein Kreis mit Radius r = 0 , 5 {\displaystyle r=0{,}5} um O {\displaystyle O} sowie um den erzeugten Schnittpunkt C {\displaystyle C} . Die Gerade g 1 {\displaystyle g_{1}} , senkrecht stehend zur x {\displaystyle x} -Achse und durch den Punkt C {\displaystyle C} verlaufend, schneidet die Ophiuride in M {\displaystyle M} .

Es folgt das Einzeichnen der Geraden g 2 {\displaystyle g_{2}} durch M {\displaystyle M} und D {\displaystyle D} . Die Geraden g 1 {\displaystyle g_{1}} und g 2 {\displaystyle g_{2}} sind die Asymptoten der gesuchten Hyperbel. Nun wird der Winkel ∠ C M D {\displaystyle \angle CMD} mithilfe der Winkelhalbierenden w {\displaystyle w} geteilt und die zu w {\displaystyle w} senkrecht stehende Gerade g 3 {\displaystyle g_{3}} durch den Punkt M {\displaystyle M} gezogen. Um die gesuchte Hyperbel graphisch darstellen zu können, bedarf es bekanntlich außer den auf der Ophiuride liegenden drei Punkten A , B {\displaystyle A,B} und M {\displaystyle M} noch zwei weitere, also fünf auf der Hyperbel liegende Punkte.^[16] Die beiden erforderlichen Punkte A ′ {\displaystyle A'} und B ′ {\displaystyle B'} erhält man durch Spiegelung der Punkte A {\displaystyle A} und B {\displaystyle B} an der Geraden g 3 {\displaystyle g_{3}} .

Abschließend wird die Hyperbel mithilfe dieser fünf bestimmten Punkte eingezeichnet. Die Gleichung der Hyperbel ist bezüglich der irrationalen Koeffizienten noch zu vereinfachen, sodass gilt:

( 2 x − 1 ) y + x 2 = 0 {\displaystyle \left(2x-1\right)y+x^{2}=0} .^[10.9]

Uhlhorn sagte zutreffend voraus, die Zukunft gelte einer Art von „Construction, wo die Gleichungen durch den Zug krummer Linien abgebildet werden.“^[3.18] Die Ophiuride fällt aber in der Folgezeit bald dem Vergessen anheim. Die entscheidende Quelle für eine Rezeption der Uhlhornschen Kurven in der Fachliteratur ist das Werk von Loria (1902). Hier findet sich auch eine weitere seiner Kurven, die „Toxoide“ (Bogenlinie). Die Zuschreibung dieser kubischen Duplikatrix zu Gohierte de Longchamp wird richtiggestellt.^[11.2] Sie erweist sich als schlichtere, aber gleichmächtige Schwester der sog. „Kampyle des Eudoxus“.^[9.8]

• Diedrich Uhlhorn: Entdeckungen in der höhern Geometrie. Band 1, Oldenburg 1809. Tabelle 1, Tabelle 2, Tabelle 3 und Tabelle 4
• Bodo von Pape: Die Großen Probleme der Antike II (Von Vieta bis Uhlhorn) Wuppertal 2022, ISBN 978-3-7568-3589-8 (Dissertation, bod.de).
• Thomas Little Heath: A History of Greek Mathematics. Volume 1. From Thales to Euclid. Clarendon Press 1921 (Nachdruck Elibron Classics 2006), S. 225–230 (archive.org).
• Wilbur Richard Knorr: The Ancient Tradition of Geometric Problems. Boston, 1986.
• S. Linden: Die Algebra des Omar Chayyam. Springer, Berlin / Heidelberg 2017, ISBN 978-3-662-55346-6.
• G. Loria: Spezielle algebraische und transzendente ebene Kurven. B. G. Teubner, Leipzig 1902 (quod.lib.umich.edu).

• Ophiuride auf mathcurve
• Eric W. Weisstein: Ophiuride. In: MathWorld (englisch).

1. ↑ Je nachdem, ob die Kantenlänge b {\displaystyle b} des Rechtwinkelhakens A B C {\displaystyle ABC} bzw. die Kurvenschleife unterhalb der x-Achse (-) oder oberhalb (+) liegt, ist der Term − b x 2 {\displaystyle -bx^{2}} oder + b x 2 {\displaystyle +bx^{2}} .

1. ↑ Wilhelm Pape, Max Sengebusch (Bearb.): Handwörterbuch der griechischen Sprache. 3. Auflage, 6. Abdruck. Vieweg & Sohn, Braunschweig 1914. 
   1. ↑ Lemma ὀφίουρος, Band 2, S. 426 (Digitalisat. zeno.org)
   2. ↑ Lemma εἶδος, Band 1, S. 724 (Digitalisat. zeno.org)
2. ↑ Heinrich Wilhelm Brandes: Lehrbuch der höhern Geometrie, in analytischer Darstellung. Kummer, Leipzig 1822, S. 176 ff. sowie Figur 107 in Tafel V (Digitalisate, Bibliothek Universität Göttingen [JPEG-Dateien]: S. 176 [1,3 MB], Tafel V [2,4 MB]). 
3. ↑ Diederich Uhlhorn: Entdeckungen in der höhern Geometrie. Band 1. Oldenburg 1809. 
   1. ↑ Ophiuride (Schlangenschwanzlinie), S. 8 ff. (books.google.de)
   2. ↑ § 23. Ohne Probieren […], S. 36 (books.google.de)
   3. ↑ Tabelle I, Fig. 3, Fig. 8 und Fig. 11 (books.google.de; alternativ: Bibliothek Universität Göttingen: JPEG-Datei [2,6 MB])
   4. ↑ § 34 „[…] weil es sehr zuverlässig und sicher ist“, S. 42 (books.google.de)
   5. ↑ ^{a b} Die Gleichung für diese krumme Linie wird leicht gefunden., S. 11 ff. (books.google.de)
   6. ↑ Tabelle I, Fig. 2 und Fig. 5 (books.google.de; alternativ: Bibliothek Universität Göttingen: JPEG-Datei [2,6 MB])
   7. ↑ „[…] Es ist leicht einzusehen, […]“, S. 31 (books.google.de)
   8. ↑ Tabelle I, Fig. 3, Bibliothek Universität Göttingen: JPEG-Datei [2,6 MB]
   9. ↑ S. 51 (books.google.de)
   10. ↑ Tabelle I, Fig. 5 (books.google.de; alternativ: Bibliothek Universität Göttingen: JPEG-Datei [2,6 MB])
   11. ↑ „Descartes war der erste […]“, S. 46 (books.google.de)
   12. ↑ „[…] weil man nur eine einzige krumme Linie braucht […]“, S. 50 (books.google.de)
   13. ↑ „[…] kann man alle cubische Gleichungen dadurch auflösen […]“, S. 50 (books.google.de)
   14. ↑ ^{a b c d} §§ 41, S.46 ff. (books.google.de)
   15. ↑ „Auf diesem Wege lernte ich […]“ S.8 ff. (books.google.de)
   16. ↑ „Es seyn (Fig. 14.) […]“ S.45 (books.google.de)
   17. ↑ Tabelle 2, Fig. 14 (books.google.de; alternativ: Bibliothek Universität Göttingen: JPEG-Datei [2,6 MB])
   18. ↑ S.46 (books.google.de)
4. ↑ Johann Christoph Sturm: Hin– und Wiederrukken … In: Des Unvergleichlichen Archimedis Kunst-Bücher. Nürnberg 1670, S. 105 (deutschestextarchiv.de). 
5. ↑ Jean-Étienne Montucla: une sorte de tâtonnement. In: Histoire de Mathematique. Paris 1758, S. 177 (gallica.bnf.fr). 
6. ↑ Bodo v. Pape: Neusis-Lösungen in der Rezeption der Antike. (PDF; 219 kB) Technische Universität Dortmund, S. 1–4, abgerufen am 22. August 2025. 
7. ↑ Thomas Little Heath: The duplication of the cube. In: A history of Greek mathematics. Band 1. The Clarendon Press, Oxford 1921, S. 256–258 (englisch, Textarchiv – Internet Archive). 
8. ↑ Wilbur Richard Knorr: The Ancient Tradition of Geometric Problems. Dover Publicatons Inc., New York 1993, ISBN 0-486-67532-7, S. 59–60 (englisch). 
9. ↑ Bodo v. Pape: Die Großen Probleme der Antike. Von Eudoxus zu Uhlhorn II: Die Neuzeit. BoD – Books on Demand, Norderstedt 2022. 
   1. ↑ ^{a b} S. 152
   2. ↑ S. 194, 3.6 Die Herleitung der Gleichung der Ophiuride
   3. ↑ S. 158–159, aus der Grafik im Buch entnommen.
   4. ↑ S. 160–161
   5. ↑ S. 160–161, aus der Grafik im Buch entnommen.
   6. ↑ S. 150–151
   7. ↑ S. 162
   8. ↑ S. 181–189
10. ↑ Berechnung bei WolframAlpha
    1. ↑ x^3 + (y^2 - 2y)x - 1y^2 = 0
    2. ↑ y³ + (x - a)xy + b (x - 1)² = 0
    3. ↑ x²(1 - y) - y³ = 0
    4. ↑ y³ + (x - 1,2)xy - 0,7x² = 0
    5. ↑ x³ + (y - 3,5)yx + 1/4y² = y - 2 = 0
    6. ↑ x³-7x²+16x-12 with x=z+7/3
    7. ↑ ((x - 7/3)³ + (y - 4/3) y (x - 7/3) - 2/27* y²=0; x=7/3, y=1)
    8. ↑ y³ + (x - 2)xy - x² = 0
    9. ↑ (2x - 1)y + x²
11. ↑ Gino Loria: Spezielle algebraische und transzendente ebene Kurven. B. G. Teubner, Leipzig 1902. 
    1. ↑ Fünftes Kapitel: Verallgemeinerung der Cissoide, S. 49 (Digitalisat [PDF, 61 MB])
    2. ↑ Die kubische Duplikatrix und das parabolische Blatt, S. 89 (Digitalisat [PDF, 61 MB])
12. ↑ Sebastian Linden: Die Algebra des Omar Chayyam. Springer, Berlin/Heidelberg 2017, ISBN 978-3-662-55346-6. 
13. ↑ René Descartes: Discours de la méthode & Essais. Hrsg.: Charles Adam & Paul Tannery. Band VI. Léopold Cerf, Imprimeur-Èditeur, Paris 1902 (französisch). 
    1. ↑ S. 434 (Textarchiv – Internet Archive)
    2. ↑ S. 412 (Textarchiv – Internet Archive)
14. ↑ Blog der DMV: Eine kurze Geschichte der komplexen Zahlen.
15. ↑ Edmund Weitz: Kubische Gleichungen: Woher die komplexen Zahlen kommen. youtube ⇒ Video, 29. September 2017, abgerufen am 19. Januar 2026. 
16. ↑ Dörte Haftendorn: Kurven erkunden und verstehen. 7.6 Anwendungen der Kegelschnitte: „Kegelschnitt aus 5 Punkten“. Springer Spektrum, Wiesbaden 2017, ISBN 978-3-658-14748-8, S. 205.