Numerische Funktion

Eine numerische Funktion ist in der Mathematik eine Funktion, deren Funktionswerte erweiterte reelle Zahlen sind, also reelle Zahlen zuzüglich − ∞ {\displaystyle -\infty } und + ∞ {\displaystyle +\infty } .

Betrachtet man eine Folge reeller Funktionen, so sind deren Supremum und deren Infimum im Allgemeinen nicht reell. In der Maßtheorie betrachtet man daher numerische Funktionen.^[1]

Sei Ω ≠ ∅ {\displaystyle \Omega \neq \emptyset } und bezeichne R ¯ = R ∪ { − ∞ , ∞ } {\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}} die Zweipunktkompaktifizierung der Menge der reellen Zahlen. Eine Funktion

f : Ω → R ¯ {\displaystyle f\colon \Omega \to {\bar {\mathbb {R} }}}

heißt numerische Funktion.

Jede reellwertige Funktion f : Ω → R {\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {R} } ist eine numerische Funktion, ebenso die erweiterten Funktionen.

• Die konstante Funktion f : Ω → R ¯ {\displaystyle f\colon \Omega \to {\bar {\mathbb {R} }}} mit f ( ω ) : = c {\displaystyle f(\omega )\colon =c} , wobei c ∈ R ¯ {\displaystyle c\in {\bar {\mathbb {R} }}} also auch als + ∞ {\displaystyle +\infty } bzw. − ∞ {\displaystyle -\infty } definiert werden kann.
• Die Funktion

f : R → R ¯ {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow {\bar {\mathbb {R} }}} , f ( x ) = { 1 x 2 , falls  x ≠ 0 + ∞ , falls  x = 0 {\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x^{2}}},&{\text{falls }}x\not =0\\+\infty ,&{\text{falls }}x=0\end{cases}}}

ist eine numerische Funktion. Mit der üblichen Definition der Konvergenz gegen ∞ ist sie sogar stetig.

• Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer, Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-21026-6, doi:10.1007/978-3-642-21026-6. 

1. ↑ Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. ISBN 978-3-642-21026-6, S. 91.