Normaler Operator

In der Funktionalanalysis verallgemeinert der normale Operator den Begriff der normalen Matrix aus der linearen Algebra.

Ist X {\displaystyle X} ein Hilbertraum und bezeichnet L ( X ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(X)} die Menge aller stetigen Endomorphismen von X {\displaystyle X} (d. h. beschränkte lineare Operatoren), so heißt ein Operator A ∈ L ( X ) {\displaystyle A\in {\mathcal {L}}(X)} normal, falls er mit seinem adjungierten Operator A ∗ {\displaystyle A^{\ast }} kommutiert, also wenn

A A ∗ = A ∗ A {\displaystyle AA^{\ast }=A^{\ast }A}

gilt.

• Selbstadjungierte und unitäre Operatoren sind offenbar normal.
• Der unilaterale Shift ist ein Beispiel für einen nicht-normalen Operator.

Sei A ∈ L ( X ) {\displaystyle A\in {\mathcal {L}}(X)} ein normaler Operator. Dann gilt:

• ‖ A x ‖ = ‖ A ∗ x ‖ {\displaystyle \|Ax\|=\|A^{\ast }x\|} für alle x ∈ X {\displaystyle x\in X}
• er ist paranormal:

‖ A x ‖ 2 ≤ ‖ A 2 x ‖ ‖ x ‖ {\displaystyle \|Ax\|^{2}\leq \|A^{2}x\|\|x\|} für alle x ∈ X {\displaystyle x\in X}

• Für alle n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } ist auch A n {\displaystyle A^{n}} normal.
• Die Operatornorm von A {\displaystyle A} ist gleich dem Spektralradius: ‖ A ‖ = sup { | λ | : λ ∈ σ ( A ) } . {\displaystyle \|A\|=\sup\{|\lambda |\colon \lambda \in \sigma (A)\}.} Dabei bezeichnet σ ( A ) {\displaystyle \sigma (A)} das Spektrum von A {\displaystyle A} .
• Die von A {\displaystyle A} erzeugte C^*-Algebra und die von A {\displaystyle A} erzeugte Von-Neumann-Algebra sind kommutativ. Dieser Sachverhalt ermöglicht einen Funktionalkalkül.
• Die Diagonalisierbarkeit normaler Matrizen in der linearen Algebra verallgemeinert sich auf normale Operatoren in Form des Spektralsatzes.
• Eine Klassifikation normaler Operatoren besteht bzgl. unitärer Äquivalenz modulo kompakter Operatoren, indem man zur Calkin-Algebra übergeht, die im endlich-dimensionalen Fall { 0 } {\displaystyle \{0\}} ist. Das ist im Artikel zur Calkin-Algebra ausgeführt.
• Ein beschränkter Operator A {\displaystyle A} in einem komplexen Hilbertraum lässt sich zerlegen in A = W 1 + i W 2 {\displaystyle A=W_{1}+i\,W_{2}} mit dem „Realteil“ W 1 = 1 2 ( A + A ∗ ) {\displaystyle W_{1}={\tfrac {1}{2}}(A+A^{\ast })} und dem „Imaginärteil“ W 2 = 1 2 i ( A − A ∗ ) . {\displaystyle W_{2}={\tfrac {1}{2i}}(A-A^{\ast }).} Dabei sind die Operatoren W i {\displaystyle W_{i}} selbstadjungiert. A {\displaystyle A} ist genau dann normal, wenn W 1 W 2 = W 2 W 1 {\displaystyle W_{1}W_{2}=W_{2}W_{1}} .

Ein Operator A ∈ L ( X ) {\displaystyle A\in {\mathcal {L}}(X)} heißt

• quasinormal, falls A {\displaystyle A\,\!} mit A ∗ A {\displaystyle A^{\ast }A} vertauscht, das heißt A A ∗ A = A ∗ A A {\displaystyle AA^{\ast }A=A^{\ast }AA} .
• subnormal, falls es einen Hilbertraum Y {\displaystyle Y} gibt, so dass X {\displaystyle X} Unterraum von Y {\displaystyle Y} ist, und einen normalen Operator B ∈ L ( Y ) {\displaystyle B\in {\mathcal {L}}(Y)} , so dass B ( X ) ⊂ X {\displaystyle B(X)\subset X} und A = B | X {\displaystyle A=B|_{X}} .
• hyponormal, falls ‖ A ∗ x ‖ ≤ ‖ A x ‖ {\displaystyle \|A^{\ast }x\|\leq \|Ax\|} für alle x ∈ X {\displaystyle x\in X} .
• Class A, falls | A 2 | ≥ | A | 2 {\displaystyle |A^{2}|\geq |A|^{2}} , wobei | A | := ( A ∗ A ) 1 / 2 {\displaystyle |A|:=(A^{\ast }A)^{1/2}} der Betrag von A {\displaystyle A} ist, also ausgeschrieben A ∗ A ≤ ( ( A ∗ ) 2 A 2 ) 1 / 2 {\displaystyle A^{\ast }A\leq {\big (}(A^{\ast })^{2}A^{2}{\big )}^{1/2}} .^[1]
• paranormal, falls ‖ A x ‖ 2 ≤ ‖ A 2 x ‖ ‖ x ‖ {\displaystyle \|Ax\|^{2}\leq \|A^{2}x\|\|x\|} für alle x ∈ X {\displaystyle x\in X} .
• normaloid, falls Operatornorm = Spektralradius, d. h.: ‖ A ‖ = sup { | λ | ; λ ∈ σ ( A ) } {\displaystyle \|A\|=\sup\{|\lambda |;\lambda \in \sigma (A)\}} .

Es gelten folgende Implikationen:

normal ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } quasinormal ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } subnormal ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } hyponormal ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } Class A ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } paranormal ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } normaloid.

Der Satz von Ando von Tsuyoshi Ando sagt, gibt es für einen paranormalen Operator T {\displaystyle T} ein n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } , so dass T n {\displaystyle T^{n}} normal ist, dann ist T {\displaystyle T} normal.^[2] Der Satz verallgemeinert ein Resultat von Joseph Gail Stampfli, der die Aussage für hyponormale Operatoren gezeigt hat.^[3]

Ein unbeschränkter Operator A : D ( A ) ⊆ X → X {\displaystyle A:D(A)\subseteq X\to X} mit Definitionsbereich D ( A ) {\displaystyle D(A)} heißt normal falls

‖ A x ‖ = ‖ A ∗ x ‖ , ∀ x ∈ D ( A ) = D ( A ∗ ) {\displaystyle \|Ax\|=\|A^{\ast }x\|,\qquad \forall x\in D(A)=D(A^{\ast })}

gilt. Oben genannte äquivalente Charakterisierung der Normalität zeigt, dass es sich um eine Verallgemeinerung der Normalität beschränkter Operatoren handelt. Alle selbstadjungierten Operatoren sind normal, denn für diese gilt A ∗ = A {\displaystyle A^{\ast }=A} .

• Harro Heuser: Funktionalanalysis. B.G. Teubner, Stuttgart (1986), ISBN 3-519-22206-X.
• Gerald Teschl: Mathematical Methods in Quantum Mechanics, American Mathematical Society, Providence (2009), ISBN 978-0-8218-4660-5. (freie Online-Version)

1. ↑ Jung, Sungeun; Ko, Eungil; Lee, Mee-Jung: On class A operators. In: Studia Mathematica. Band 198, 2010, ISSN 0039-3223, S. 249–260, doi:10.4064/sm198-3-4 (englisch). 
2. ↑ Tsuyoshi Ando: Operators with a norm condition. In: Acta Scientiarum Mathematicarum (Szeged). Band 33, 1972, S. 169–172. 
3. ↑ Stampfli, Joseph Gail: Hyponormal operators. In: Pacific Journal of Mathematics. Band 12. New York University, New York 1962, S. 1453–1458.