Multilinearform

Eine p {\displaystyle p} -Multilinearform ω {\displaystyle \omega } ist in der Mathematik eine Funktion, die p {\displaystyle p} Argumenten v i ∈ V i , i ∈ { 1 , … , p } {\displaystyle v_{i}\in V_{i},\;i\in \{1,\ldots ,p\}} aus K {\displaystyle K} -Vektorräumen V 1 , … , V p {\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{p}} einen Wert ω ( v 1 , … , v p ) ∈ K {\displaystyle \omega (v_{1},\ldots ,v_{p})\in K} zuordnet und in jeder Komponente linear ist. Im allgemeineren Fall, dass der Bildraum selbst ein Vektorraum ist, oder Bild- und Zielräume Moduln sind, spricht man von einer multilinearen Abbildung.

Eine Abbildung

ω :   V 1 × ⋯ × V p → K ( v 1 , … , v p )   ↦ ω ( v 1 , … , v p ) {\displaystyle {\begin{aligned}\omega :\ V_{1}\times \cdots \times V_{p}&\rightarrow K\\(v_{1},\ldots ,v_{p})\ &\mapsto \omega \left(v_{1},\dots ,v_{p}\right)\end{aligned}}}

heißt Multilinearform, wenn für alle v j ∈ V j , j ∈ { 1 , … , p } {\displaystyle v_{j}\in V_{j},j\in \{1,\ldots ,p\}} und alle i ∈ { 1 , … , p } {\displaystyle i\in \{1,\ldots ,p\}} folgende zwei Bedingungen erfüllt sind:

Für alle λ ∈ K {\displaystyle \lambda \in K} gilt

ω ( v 1 , … , λ v i , … , v p ) = λ ω ( v 1 , … , v i , … , v p ) {\displaystyle \omega \left(v_{1},\ldots ,\lambda \;v_{i},\ldots ,v_{p}\right)=\lambda \;\omega \left(v_{1},\ldots ,v_{i},\ldots ,v_{p}\right)}

und für alle w ∈ V i {\displaystyle w\in V_{i}}

ω ( v 1 , … , v i + w , … , v p ) = ω ( v 1 , … , v i , … , v p ) + ω ( v 1 , … , w , … , v p ) {\displaystyle \omega \left(v_{1},\ldots ,v_{i}+w,\ldots ,v_{p}\right)=\omega \left(v_{1},\ldots ,v_{i},\ldots ,v_{p}\right)+\omega \left(v_{1},\ldots ,w,\ldots ,v_{p}\right)} .

Die Menge aller multilinearen Abbildungen J p ( V 1 , … , V p ) {\displaystyle {\mathcal {J}}^{p}(V_{1},\ldots ,V_{p})} bildet einen K {\displaystyle K} -Vektorraum. Im Fall V 1 = ⋯ = V p =: V {\displaystyle V_{1}=\cdots =V_{p}=:V} schreibt man J p ( V ) := J p ( V , … , V ) {\displaystyle {\mathcal {J}}^{p}(V):={\mathcal {J}}^{p}(V,\ldots ,V)} .

Eine Multilinearform ω ∈ J p ( V ) {\displaystyle \omega \in {\mathcal {J}}^{p}(V)} heißt alternierend, falls sie null ergibt, wenn zweimal derselbe Vektor eingesetzt wird, d. h.

ω ( … , v , … , v , … ) = 0 {\displaystyle \omega \left(\dots ,v,\dots ,v,\dots \right)=0}

für alle v ∈ V {\displaystyle v\in V} .^[1]

In diesem Fall folgt auch, dass die Form schiefsymmetrisch ist, das heißt, dass sie bei Vertauschung von zwei beliebigen Argumenten ihr Vorzeichen wechselt, also

ω ( v 1 , … , v i , … , v j , … , v p ) = − ω ( v 1 , … , v j , … , v i , … , v p ) {\displaystyle \omega \left(v_{1},\dots ,v_{i},\dots ,v_{j},\dots ,v_{p}\right)=-\omega \left(v_{1},\dots ,v_{j},\dots ,v_{i},\dots ,v_{p}\right)}

für alle v k ∈ V , k ∈ { 1 , … , p } {\displaystyle v_{k}\in V,\;k\in \{1,\ldots ,p\}} und i , j ∈ { 1 , … , p } , i ≠ j {\displaystyle i,j\in \{1,\ldots ,p\},\;i\neq j} . Die umgekehrte Implikation – dass alle schiefsymmetrischen Multilinearformen alternierend sind – gilt aber nur, wenn die Charakteristik von K {\displaystyle K} nicht 2 ist, also zum Beispiel für K = R {\displaystyle K=\mathbb {R} } .^[1]

Ist allgemeiner π ∈ S p {\displaystyle \pi \in S_{p}} eine beliebige Permutation der Indizes, dann gilt

ω ( v π ( 1 ) , … , v π ( p ) ) = sign ⁡ ( π ) ⋅ ω ( v 1 , … , v p ) {\displaystyle \omega \left(v_{\pi (1)},\dotsc ,v_{\pi (p)}\right)=\operatorname {sign} (\pi )\cdot \omega \left(v_{1},\dotsc ,v_{p}\right)} ,

wobei sign ⁡ ( π ) {\displaystyle \operatorname {sign} (\pi )} das Signum der Permutation bezeichnet.

Die Menge aller alternierenden Multilinearformen Ω p ( V ) {\displaystyle \Omega ^{p}(V)} ist ein Untervektorraum von J p ( V ) {\displaystyle {\mathcal {J}}^{p}(V)} . Wichtig ist der Spezialfall   p = dim ⁡ V {\displaystyle \ p=\dim V} . Dann ist Ω p ( V ) {\displaystyle \Omega ^{p}(V)} ein eindimensionaler Unterraum von J p ( V ) {\displaystyle {\mathcal {J}}^{p}(V)} , und seine Elemente heißen Determinantenfunktionen.

Auf dem durch alle Ω p ( V ) , p = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle \Omega ^{p}(V),p=0,1,2,\ldots } erzeugten Vektorraum lässt sich die Struktur einer Algebra definieren. Diese Algebra heißt Graßmann-Algebra.

1. Linearformen sind genau die 1-Multilinearformen.
2. Bilinearformen sind genau die 2-Multilinearformen. Antisymmetrische Bilinearformen sind alternierende Multilinearformen (wenn die Charakteristik von K {\displaystyle K} nicht 2 ist).
3. Bildet man aus n {\displaystyle n} Vektoren durch Zusammenfassen eine quadratische Matrix, so ist die Determinante dieser Matrix eine alternierende, normierte Multilinearform. Im dreidimensionalen Fall ist also ω {\displaystyle \omega } definiert durch
   ω ( v 1 , v 2 , v 3 ) := det ( v 1 x v 2 x v 3 x v 1 y v 2 y v 3 y v 1 z v 2 z v 3 z ) {\displaystyle \omega \left(v_{1},v_{2},v_{3}\right):=\det {\begin{pmatrix}v_{1x}&v_{2x}&v_{3x}\\v_{1y}&v_{2y}&v_{3y}\\v_{1z}&v_{2z}&v_{3z}\end{pmatrix}}}
   eine alternierende 3-Multilinearform. Dabei sind die Vektoren v 1 , v 2 , v 3 {\displaystyle v_{1},v_{2},v_{3}} folgendermaßen in Koordinaten dargestellt:
   v 1 = ( v 1 x v 1 y v 1 z ) , v 2 = ( v 2 x v 2 y v 2 z ) , v 3 = ( v 3 x v 3 y v 3 z ) {\displaystyle v_{1}={\begin{pmatrix}v_{1x}\\v_{1y}\\v_{1z}\end{pmatrix}},\quad \quad v_{2}={\begin{pmatrix}v_{2x}\\v_{2y}\\v_{2z}\end{pmatrix}},\quad \quad v_{3}={\begin{pmatrix}v_{3x}\\v_{3y}\\v_{3z}\end{pmatrix}}} .
4. Kovariante Tensoren sind Multilinearformen: In dem Fall, dass alle Vektorräume V i {\displaystyle V_{i}} identisch sind (also V i = V {\displaystyle V_{i}=V} ), ist die p {\displaystyle p} -Multilinearform auch ein kovarianter Tensor p {\displaystyle p} -ter Stufe. Im selben Fall sind die alternierenden p {\displaystyle p} -Multilinearformen auch total antisymmetrische Tensoren p {\displaystyle p} -ter Stufe.
5. Eine Differentialform ordnet einem Punkt einer Mannigfaltigkeit eine alternierende Multilinearform auf dem zugehörigen Tangentialraum zu.

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-03217-0.
• Hans-Joachim Kowalsky, Gerhard O. Michler: Lineare Algebra. De Gruyter, Berlin 2003, ISBN 978-3-11-017963-7.

1. ↑ ^{a b} Arkady L'vovich Onishchik: Multilinear mapping. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).