Momentenproblem

Das Momentenproblem ist ein klassisches Problem der Analysis. Statt aus einer Verteilung die Momente zu berechnen, wird das inverse Problem gelöst: aus einer gegebenen Folge von Momenten sollen Rückschlüsse auf eine mögliche, zugrundeliegende Verteilung gezogen werden, insbesondere in der Stochastik, siehe Moment (Stochastik)^[1].

Dabei können zwei Fragestellungen unterschieden werden. Existiert zu einer gegebenen Folge reeller Zahlen ( c k ) k ∈ N 0 {\displaystyle (c_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}} eine Verteilungsfunktion F {\displaystyle F} , so dass diese Zahlen die Folge der k {\displaystyle k} -ten Momente für die Verteilungsfunktion bilden, dass also für ein Intervall I ⊆ R {\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }

c k = ∫ I x k d F ( x ) , k ∈ N 0 {\displaystyle c_{k}=\int _{I}x^{k}\mathrm {d} F(x),\quad k\in \mathbb {N} _{0}}

gilt? Ist diese Verteilungsfunktion durch die Angabe der Momente eindeutig bestimmt?^[2]

Die Bezeichnung Momentenproblem wurde von Thomas Jean Stieltjes eingeführt, der das Problem 1894 erstmals ausführlich untersuchte und dabei die Bezeichnungen und Konzepte aus der Mechanik übernahm.^[3][4][5] Je nach Träger der Verteilung (das ist das Komplement der größten offenen Menge vom Maß null), werden unterschiedliche Varianten des Momentenproblems unterschieden.

Beim Hamburgerschen Momentenproblem werden Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf I = R = ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle I=\mathbb {R} =(-\infty ,\infty )} betrachtet. Eine Verteilungsfunktion F {\displaystyle F} mit der Eigenschaft

c k = ∫ R x k d F ( x ) , k ∈ N 0 {\displaystyle c_{k}=\int _{\mathbb {R} }x^{k}\mathrm {d} F(x),\quad k\in \mathbb {N} _{0}}

existiert genau dann, wenn c 0 = 1 {\displaystyle c_{0}=1} und für beliebige n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } , x 0 , x 1 , … , x n ∈ R {\displaystyle x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}\in \mathbb {R} } die Beziehung

∑ j , k = 0 n c j + k x j x k ≥ 0 {\displaystyle \sum _{j,k=0}^{n}c_{j+k}x_{j}x_{k}\geq 0}

gilt.^[2] Dabei ist im Allgemeinen die Verteilungsfunktion F {\displaystyle F} nicht eindeutig bestimmt.^[2] Eine hinreichende Bedingung für die Eindeutigkeit von F {\displaystyle F} ist die Bedingung von Carleman

∑ n = 1 ∞ 1 c 2 n 2 n = ∞ . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt[{2n}]{c_{2n}}}}=\infty \;.} ^[2]

Die Verteilungsfunktion einer Normalverteilung ist eindeutig durch die Folge der Momente bestimmt.^[6] Die Verteilungsfunktion einer Lognormalverteilung ist nicht eindeutig durch die Folge der Momente bestimmt, da es andere Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit denselben Momenten gibt.^[7][8]

Beim Stieltjesschen Momentenproblem ist I = [ 0 , ∞ ) {\displaystyle I=[0,\infty )} .^[2] Beim Hausdorffschen Momentenproblem ist I {\displaystyle I} ein beschränktes Intervall; o. B. d. A. I = [ 0 , 1 ] {\displaystyle I=[0,1]} .^[2]

Eine weitere Variante ist das trigonometrische Momentenproblem, bei dem die Verteilung auf einem Einheitskreis in Abhängigkeit vom Winkel, also ein trigonometrisches Moment gesucht wird.^[9] Gegeben sei eine Folge ( d k ) k ∈ N 0 {\displaystyle (d_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}} komplexer Zahlen. Unter welchen Voraussetzungen existiert eine Verteilungsfunktion auf dem Intervall [ 0 , 2 π ) {\displaystyle [0,2\pi )} mit der Eigenschaft

d k = ∫ 0 2 π e i k x d F ( x ) , k ∈ N 0 {\displaystyle d_{k}=\int _{0}^{2\pi }\mathrm {e} ^{\mathrm {i} kx}\mathrm {d} F(x),\quad k\in \mathbb {N} _{0}}

und ist diese Verteilungsfunktion eindeutig?

Die Antwort gibt ein Satz von Gustav Herglotz, der besagt, dass eine Verteilungsfunktion mit diesen Eigenschaften genau dann existiert, wenn d 0 = 1 {\displaystyle d_{0}=1} und für beliebige n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } , ξ 0 , ξ 1 , … , ξ n ∈ C {\displaystyle \xi _{0},\xi _{1},\dots ,\xi _{n}\in \mathbb {C} } die Beziehung

∑ j , k = 0 n d j + k ξ j ξ k ≥ 0 {\displaystyle \sum _{j,k=0}^{n}d_{j+k}\xi _{j}\xi _{k}\geq 0}

gilt.^[2] In diesem Fall ist F {\displaystyle F} eindeutig bestimmt.^[2]

Eine Variante der Fragestellung ergibt sich, wenn nur endlich viele Konstanten d 0 , d 1 , … , d n {\displaystyle d_{0},d_{1},\dots ,d_{n}} gegeben sind und eine Verteilungsfunktion mit der Eigenschaft

d k = ∫ 0 2 π e i k x d F ( x ) , k = 1 , … , n {\displaystyle d_{k}=\int _{0}^{2\pi }\mathrm {e} ^{\mathrm {i} kx}\mathrm {d} F(x),\quad k=1,\dots ,n}

gesucht ist. Dieses Problem heißt gestutztes Momentenproblem (engl. truncated moment problem).^[10]

• Momentenproblem (moment problem). In: P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, S. 271–272. 

1. ↑ Momentenproblem. Abgerufen am 15. Dezember 2020. 
2. ↑ ^{a b c d e f g h} Momentenproblem. In: Lexikon der Stochastik. S. 272. 
3. ↑ Thomas Jean Stieltjes: Recherches sur les Fractions continues. 1894 (numdam.org [PDF]). 
4. ↑ Gene H. Golub, Gérard Meurant: Matrices, Moments and Quadrature with Applications. Princeton University Press, 2009, ISBN 1-4008-3388-4, S. 15 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche). 
5. ↑ James Alexander Shohat, Jacob David Tamarkin: The Problem of Moments. American Mathematical Society, 1943, ISBN 0-8218-1501-6, S. vii (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche). 
6. ↑ Galen R. Shorack: Probability for Statisticians (= Springer Texts in Statistics). Springer, New York 2000, ISBN 0-387-98953-6, Theorem 8.2, S. 293. 
7. ↑ Galen R. Shorack: Probability for Statisticians (= Springer Texts in Statistics). Springer, New York 2000, ISBN 0-387-98953-6, Exercise 8.4, S. 293. 
8. ↑ C. C. Heyde: On a property of the lognormal distribution. In: Journal of the Royal Statistical Society, Series B. Band 25, Nr. 2, 1963, S. 392–393. 
9. ↑ Henry J. Landau: Moments in Mathematics. American Mathematical Society, 1987, ISBN 0-8218-0114-7, S. 1 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche). 
10. ↑ Henry J. Landau: Moments in Mathematics. S. 3.